概率论与数理统计试题及答案

年月日第2页共4页考试科目：概率论与数理统计考试时间：120分钟试卷总分100分题号一二三四总分得分123456一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题,每小题3分,总计15分）1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为(A）。（A）1/3（B）2/3（C）1/6(D)3/62．设随机变量的概率密度，则K=（B)。（A）1/2(B）1（C）-1(D)3/23．对于任意随机变量，若，则(B）。（A）(B)（C）一定独立（D）不独立5．设,且,，则P｛-2<〈4}=（A）.（A）0.8543（B）0。1457(C）0.3541（D）0。2543二、填空题（在每个小题填入一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1．设A、B为互不相容的随机事件则（0。9）。2．设有10件产品,其中有1件次品,今从中任取出1件为次品的概率为（1/10）。3．设随机变量X的概率密度则（8/10)。4．设D()=9,D(）=16,，则D()=(13）.*5．设,则（N(0，1））。三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％，35％,40％，又这三条流水线的次品率分别为0。05，0。04，0。02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？（1）全概率公式2．设连续型随机变量的密度为(1）确定常数A（2）求（3)求分布函数F(x).（2）①故A=5。②(3分)③当x〈0时，F(x）=0;(1分)当时,（2分）故.（1分）3．设二维随机变量（)的分布密度求关于和关于的边缘密度函数。（3）4．设连续型随即变量的概率密度，求E(x)，D（x)(4）（4分）（3分）（3分）四．证明题（本大题共2小题，总计10分）2．设是独立随机变量序列，且，试证服从大数定理.(2)由切比雪夫大数定理可知服从大数定理。 （1分)考试科目：概率论与数理统计考试时间：120分钟试卷总分100分一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题,每小题3分，总计15分）1．设为两随机事件，且，则下列式子正确的是＿＿A＿＿A．B．Ｃ。Ｄ．2.设那么当增大时,CA．增大B．减少C．不变D．增减不定3．设＿A＿Ａ．1B.2C．3D．0二、填空题(本大题共5小题，每小题3分,总计15分1.设A、B、C、是三个随机事件。用A、B、C表示事件“A、B、C至少有一个发生”;2．设有10件产品,其中有1件次品,今从中任取出1件为次品的概率是0。13．设随机变量X与Y相互独立，则随机变量的概率密度函数;4．已知则1。16三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）１．设考生的报名表来自三个地区，各有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份.随机的从一地区先后任取两份报名表。求先取到一份报名表是女生的概率。解。设为“取得的报名表为女生的”,为“考生的报名表是第i个地区的”,i=1，2,3由全概率公式2分3分3分1分即先取到一份报名表为女生的概率为。1分２．设随机变量X的概率密度为，求=1\*GB3①A值；=2\*GB3②X的分布函数；=3\＊GB3③(1）,2分(2）1分3分1分（3）3分３．设二维随机变量有密度函数：求：（1）常数;（2）落在区域D的概率,其中3。,5分5分4。设足球队A与B比赛,若有一队胜4场,则比赛结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为，试求平均需比赛几场才能分出胜负?4.设为需要比赛的场数，1分则，，,，4分所以4分答：平均需比赛6场才能分出胜负1分２．设为相互独立的随机变量序列，证明服从大数定律。2．1分1分令则2分,由切比雪夫不等式知1分故有，即服从大数定律。1分1．对于事件，下列命题正确的是＿＿D＿＿A．若互不相容，则B．若相容，则Ｃ．若互不相容,则Ｄ．若那么2.假设随机变量Ｘ的分布函数为，密度函数为．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数,则下列各式中正确的是＿＿C＿＿A．＝；B．＝；C．＝；D．＝;３.若，，那么的联合分布为＿＿C＿＿Ａ.二维正态，且；Ｂ.二维正态，且不定；Ｃ.未必是二维正态；Ｄ.以上都不对．４。设随机变量Ｘ和Ｙ的方差存在且不等于０，则是Ｘ和Ｙ的＿＿C＿＿A。不相关的充分条件，但不是必要条件；B.独立的必要条件，但不是充分条件;C。不相关的充分必要条件；D。独立充分必要条件．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分,总计15分1。设A、B、C、是三个随机事件.用A、B、C表示事件“A、B、C恰有一个发生”；2。设离散型随机变量X分布律为则A=1/53。用的联合分布函数表示=;4．已知且则7.4三、计算题(本大题共6小题，每小题10分,共计60分)１．轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标400，200，100(米）的概率分别为0。5,0.3，0.2,又设他在距离目标400，200，100（米）的命中率分别为0.01，0.02，0.1。求目标被命中的概率。1.由全概率公式2分7分目标被命中的概率为。1分２．设随机变量的概率密度为，求=1\＊GB3①值;=2\＊GB3②的分布函数；=3\＊GB3③求落在区间内的概率。2。（1），2分(2)1分4分（3)3分３．设二维随机变量的密度函数：求：求关于与关于的边缘分布密度;3.当时，3分于是2分同理5分4.设随机变量具有密度函数,求及。4。5分5分四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）２．设，是独立随机变量序列,证明服从大数定律。2．由切比雪夫大数定理可知服从大数定理. （1分）一、填空题(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1.设为随机事件，，，，则2/32．设10把钥匙中有2把能打开门，现任意取两把,能打开门的概率是17/453．设~～,且与相互独立，则354．设随机变量上服从均匀分布,则关于未知量的方程有实根的概率为____5/6_____5.设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得4/5.二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中,本大题共5个小题，每小题4分，总计20分）1．设事件相互独立,且,,，则有B(A);（B）;(C)；(D)2。设～,那么概率D(A)随增加而变大;(B）随增加而减小；（C)随增加而不变;(D)随增加而减小3.设,，则C（A）;（B）；（C)；(D）4．设相互独立，服从上的均匀分布，的概率密度函数为，则＿＿D＿＿(A)；(B);(C）;（D）三、计算题(本大题共5小题，每小题10分,共计50分)1．某产品整箱出售,每一箱中20件产品,若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别为80％,10％，10％,现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件,如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货,求：(1）顾客买下该箱产品的概率；(2)在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率.解:设表示“顾客买下该箱产品”，分别表示“箱中次品数为0件，1件，2件”则80％，10％10％，，1，,,(3分）由全概率公式得：448/475，（7分)由贝叶斯公式得:95/112（10分)2．已知随机变量的密度为,且，求:（1)常数的值;(2）随机变量的分布函数解:（1)由，解得(4分）（2）,当时，,当时,，当时，，所以（10分)3．设二维随机变量有密度函数：（1)求边缘概率密度；（2）求条件密度；（3）求概率。解：（1）（4分)（2)当时，=当时，（8分)（3)(10分）4.设随机变量独立同分布，都服从参数为的泊松分布，设,，求随机变量与的相关系数4。解:,，,，,(8分）=3/5(10分）四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分)1。设事件相互独立,证明事件与事件也相互独立1。证明：由于事件相互独立，所以，,，,（2分)所以即,所以事件与也相互独立(5分)一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1.设是两个随机事件，,，则事件“同时发生”的对立事件的概率为0.62．设有40件产品,其中有4件次品，从中不放回的任取10次，每次取一件，则最后一件取的为次品的概率是0。13．设随机变量与相互独立，~~则随机变量的方差为244．设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得,则10二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分,总计20分）1．设总体~,是取自总体的一个样本,则为参数的无偏估计量的是(A)(A);(B);（C）；（D）2.设~，则满足的参数(C）（A）0；(B）1；(C）2;（D）33．设,,则（C）（A);（B)；(C）；(D)三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）1．两个箱子中都有10个球，其中第一箱中4个白球，6个红球,第二箱中6个白球，4个红球，现从第一箱中任取2个球放入第二箱中,再从第二箱中任取1个球，（1）求从第二箱中取的球为白球的概率；(2）若从第二箱中取的球为白球，求从第一箱中取的2个球都为白球的概率 1．解:设表示“从第二箱中取的球为白球”，分别表示“从第一箱中取的2个球都为白球,1白1红，2个球都为红球”,则=2/15，=8/15,=1/3，2/3，7/12,1/2,(4分)由全概率公式得：17/30，由贝叶斯公式得：8/51（10分）2．设随机变量与同分布，的概率密度为，事件与事件相互独立，且,求常数的值.2．解：由于事件相互独立，所以，所以，解得或（舍去)，（5分）所以,得（10分)3．设二维随机变量有密度函数：（1）求常数；（2）求边缘概率密度；（3）是否相互独立.3．解：（1），（4分）（2)(8分）（3），所以相互独立。(10分）4.设随机变量～，~,相关系数，设求：(1）随机变量的期望与方差;(2)随机变量与的相关系数 4.解：（1）～，～,所以,，,,，所以，（5分）(2)由于，所以(10分)四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）1。设事件相互独立，证明事件与事件也相互独立。1。证明：由于事件相互独立,所以，,，，所以即，所以事件与也相互独立。(5分)一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）1。设为随机事件,，,则2/32．10个球队平均分成两组进行比赛,则最强的两个队分到同一组的概率为2/93．设随机变量在区间上服从均匀分布,则的数学期望为4．设～为二项分布，且,，则___8___0。25。设随机变量在区间上服从均匀分布，用切比雪夫不等式估计得1/12.二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分）1．设为事件,且，则下列式子一定正确的是(B)（A)；（B）;(C)；（D）2。设随机变量的分布率为，,则(D）（A)；(B)；（C);(D)3.设,概率密度为,分布函数为，则有(A)（A)；（B）;(C）,；（D），4。设,,则（A）（A）;（B);（C);(D)5。设随机变量满足方差,则必有(B）（A)与独立;（B）与不相关；（C)与不独立；(D）或三、计算题(本大题共6小题,每小题10分，共计60分）1．有三个盒子,第一个盒子中有2个黑球,4个白球,第二个盒子中有4个黑球，2个白球，第三个盒子中有3个黑球,3个白球,今从3个盒子中任取一个盒子，再从中任取1球。（1）求此球是白球的概率；(2）若已知取得的为白球,求此球是从第一个盒子中取出的概率。 解：设表示“取得的为白球”，分别表示“取得的为第一，二，三盒的球”则，，，,(2分）由全概率公式得：1/2，（6分）由贝叶斯公式得：4/9(10分）2．已知连续型随机变量的分布函数为,其中为常数。求：（1)常数的值；(2）随机变量的密度函数；（3)解:(1）由右连续性，，得，,解得(6分）（2)，（8分)（3)=1/3（10分）3．设随机变量在区间上服从均匀分布，求概率密度。3．解：的概率密度为，，,反函数导数,,，所以的概率密度为(10分）4．设二维随机变量的密度函数：（1）求常数的值；（2）求边缘概率密度;（3）和是否独立?4．解:(1）由，得（3分）（2)（6分）(9分）(3）,不独立(10分）5.设二维随机变量的概率密度函数：求(1）数学期望与；（2)与的协方差5。解:,（2分)，（4分）（6分）,所以=9/40（10分）四、证明题（本大题共1小题，每小题4分,共4分）设三个事件满足,试证明:1。证明:由于,所以，所以(4分)一、填空题（本大题共6小题,每小题3分，总计18分)1.设为随机事件,,，则0.12．10件产品中有4件次品,从中任意取2件，则第2件为次品的概率为0。43．设随机变量在区间上服从均匀分布，则的概率密度函数为4．设随机变量的期望,方差，则期望545。设随机变量服从参数为2的泊松分布，则应用切比雪夫不等式估计得1/2.二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分,总计18分）1．设为对立事件，,则下列概率值为1的是（C)(A)；（B);（C）;（D)2.设随机变量~，概率密度为，分布函数，则下列