重庆市九校联考2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试卷（解析版）

高一数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【详解】因为，所以，解得，则，由模长公式得，故B正确.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】.3.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】B【解析】【分析】利用线面位置关系的判定定理以及性质定理逐项分析即可.【详解】选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，若，，则，故A正确；选项B，若，，则或，故B错误；选项C，根据面面垂直的判定定理知，若，，则，故C正确；选项D，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故D正确.4.下图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中为圆台下底面圆心，分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为，，，圆台下底面圆半径为，则该组合体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别根据公式计算圆柱的底面积侧面及圆台的侧面积，再求和计算可得.

【详解】圆柱的上底面面积为；圆柱的侧面面积为；圆台的下底面面积为；圆台的母线长为，所以圆台的侧面面积为，则该组合体的表面积为．故选:B．5.已知向量，满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积即可求解.【详解】由得，两式相减得，，所以，则.故选：A.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，满足条件的有两解，则边长a的可能取值为（）A.3 B. C. D.4【答案】C【解析】【详解】若有两解，则，即：，所以.7.已知正方体的棱长为2，E为棱的中点，则经过，D，E三点的正方体的截面周长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定四边形为经过，D，E三点的正方体的截面，结合四边形的周长公式求解即可.【详解】正方体中，平面，则平面与平面的交线与平行，取中点F，连接，，因为，有，所以四边形为经过，D，E三点的正方体的截面，在梯形中，，，，，所以四边形周长为.8.在三棱锥中，，均是边长为的等边三角形，当平面平面时，三棱锥内切球的半径为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等体积法进行求解.【详解】如图所示，作，因为，所以是中点，因为平面平面，所以平面，所以，设，则，在直角三角形中，，即：，解得：，即：，，因为，，所以和是直角三角形，且，则，设三棱锥内切球的半径为，则，，代入得：，解得：，即：三棱锥内切球的半径为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.三棱台的各侧棱所在直线必交于一点B.棱台的侧面都是梯形C.因为四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥D.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥【答案】ABD【解析】【分析】根据棱台的性质直接判断AB选项，结合反例判断C选项，当棱锥的各个侧面都是等边三角形，底面为正五边形时判断D.【详解】对于A，由三棱台的性质得三棱台的各侧棱延长后必交于一点，故正确；对于B，由棱台的性质可知，棱台的侧面都是梯形，故正确；对于C，三棱台也是五面体，不满足，故错误；对于D，当棱锥的各个侧面都是等边三角形，底面为正五边形时，这个棱锥为五棱锥，故正确.10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，则为锐角三角形C.若，则一定是等腰三角形D.若，则【答案】AB【解析】【详解】选项A，根据余弦定理已知，则，因此.又因为，所以为钝角，故为钝角三角形，A正确；选项B，，说明三个余弦值全为正，或一正两负.三角形中若有两个钝角，则内角和会超过，矛盾.因此只能是三个余弦值全为正，即均为锐角，为锐角三角形，B正确；选项C，，根据正弦函数性质或，即或.当时，为直角三角形，不一定是等腰三角形，C错误；选项D，余弦函数在上单调递减.若，且，则，而非，D错误.11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.存在点Q，使得平面 B.不存在点Q，使得B，N，P，Q四点共面C.三棱锥的体积为 D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AD【解析】【详解】对于A，连接.当是的中点时，因为，且在正方体中易得，所以.因为平面，平面，所以平面，故A正确.对于B，连接.因为分别是的中点，所以.又易得，所以，所以四点共面，即当与点重合时，四点共面，故B错误.对于C，连接.因为，所以，故C错误.对于D，分别取的中点，构造长方体，则经过四点的球即为长方体的外接球.设所求外接球的直径为，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，即，所以经过四点的球的表面积为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设是虚数单位，，则________【答案】13【解析】【详解】因为，所以.13.已知向量满足，，向量在向量上的投影向量的坐标为，则________【答案】或【解析】【分析】设，进而根据投影向量的概念求得，再结合模的坐标表示求得即可得答案.【详解】设，因为，所以，，因为向量在向量上的投影向量的坐标为，所以向量在向量上的投影向量为，即，因为，所以，将代入解得，所以或.14.若向量满足，，则的最小值为________【答案】2【解析】【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，得到，化简得到，结合向量不等式，即可求解.【详解】由，所以，所以，又由，，所以，所以，当且仅当与同向时，等号成立.所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，．（1）证明：．（2）证明：平面平面．【答案】（1）证明：连接．在中，因为E，F分别是，的中点，所以是的中位线，则，同理可得，所以．（2）证明：设，连接．因为四边形为平行四边形，所以互相平分，在中，，O是的中点，所以，在中，，O是的中点，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【解析】【分析】（1）根据三角形中位线即可证明；（2）根据平行四边形及等腰三角形的性质，结合线面垂直和面面垂直的判定即可证明．【小问1详解】略【小问2详解】略16.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式、二倍角公式化简计算即可；（2）利用余弦定理、三角形面积公式、基本不等式计算即可.【小问1详解】因为，所以，易知，则，即，则或，所以或（舍去），故；【小问2详解】由余弦定理知，即，当且仅当时取得等号，所以，即面积的最大值为.17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，且平面平面，分别是，的中点.（1）证明：.（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）如图，连接，，作出符合题意的图形，底面是菱形，，是等边三角形，又是的中点，，又，面，平面而面，.（2）【解析】【分析】（1）结合菱形的性质得到线面垂直，再证明线线垂直即可.（2）结合题意并利用转换法求解体积即可.【小问1详解】略【小问2详解】为的中点，，又是的中点，，，由（1）可知，平面平面，且面，平面，.18.重庆市渝东北某规划部门计划在一个半径为2km的扇形滨江公园中打造特色景观，该扇形的圆心角为直角，，分别为公园的两条垂直边界道路.现要在弧上选取一个景观节点P，使得，其中.为提升广场实用性，规划方案如下：1．过点P向，分别作垂直步道，，围出一个矩形，用于打造亲子游乐区，记该矩形区域的面积为；2．连接，，，在区域内打造城市花境景观带，记该三角形区域的面积为.请你尝试帮助规划部门解决以下问题：（1）分别用表示亲子游乐区面积与花境景观带面积；（2）若综合考虑游乐区实用性与景观带观赏性，定义综合效益函数，求的最大值及对应此时景观点P的位置.【答案】（1），（2），此时景观点为弧的中点【解析】【分析】（1）根据三角函数定义求出与，进而得到，再根据三角形面积公式求出.（2）方法一：先对函数进行三角恒等变换，再通过换元法转化为二次函数，结合范围确定范围，进而求最值；方法二：令并确定范围，将用表示，把转化为关于的二次函数求最值.【小问1详解】由题设，，得，，【小问2详解】（方法一），，则，，对应，此时景观点P为弧的中点（方法二）．令，则，则，当时，，对应，此时景观点为弧的中点19.由代数基本定理，给定，方程有个复数根，且，将称为n次单位根.（1）求三次单位根，并计算与的值.（2）欧拉公式给出了复数的指数形式，借助欧拉公式进行复数的乘除、求模运算，可简化运算过程．例如，.（i）证明：.（ii）证明：.【答案】（1）（2）证明：（ⅰ）当时，，即，所以，所以，因为是方程的根，所以.（ⅱ）当为偶数时，为整数，则，则原式为，当为奇数时，由题可知