人教A版高中数学必修一题库 第二章　§2.3　第2课时　一元二次不等式的应用

第2课时一元二次不等式的应用学习目标1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.(重难点)2.熟练掌握分式不等式的解法.(重点)3.构建二次函数模型，解决实际问题.(难点)一、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用例1已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.解由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系可知ba=-5，故bc=-又由a<0知c<0，故不等式cx2+bx+a<0，即x2+bcx+ac>0，即x2-56x+解得x<13或x>所以不等式cx2+bx+a<0的解集为xx延伸探究1若本例条件不变，求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集.解由例1知ba=-5，ca=6，且∴b=-5a，c=6a且a<0.不等式cx2-bx+a>0可化为6ax2+5ax+a>0，即6x2+5x+1<0，解得-12<x<-1故原不等式的解集为x-延伸探究2若将本例中条件“{x|2<x<3}”变为“{x|x<2或x>3}”，其他条件不变，如何求解？解依题意，2与3是方程ax2+bx+c=0的两根，且a>0，∴ba=-5，ca=6，且a>0，则b=-5a，c=6a(a不等式cx2+bx+a<0可化为6ax2-5ax+a<0，即6x2-5x+1<0，解得13<x<1故原不等式的解集为x1反思感悟已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号.(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式.(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.跟踪训练1已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解∵x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2}，∴方程x2+ax+b=0的两根为1，2.由根与系数的关系得-解得a代入所求不等式，得2x2-3x+1>0.解得x<12或x∴bx2+ax+1>0的解集为xx二、解简单的分式不等式问题x-3x+2>0与(x-3)(x+2)>0同解吗？x-3x+2≥0与(x-3)(提示x-3x+2>0与(x-3)(x-3x+2≥0与(x-3)(x+2)≥0不同解，前者的解集中不包含例2解下列不等式：(1)x+12x-1<0；(2)(3)x-1解(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0，∴-1<x<1故原不等式的解集为x-1<(2)原不等式可化为x-13x∴(即-53<x≤故原不等式的解集为x-(3)原不等式可化为x-1x∴x-1-(x+2)x+2则x<-2.故原不等式的解集为{x|x<-2}.反思感悟分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解.跟踪训练2解下列不等式：(1)x+1x-3≤0；解(1)不等式x+1x-3≤解得-1≤x<3.即原不等式的解集为{x|-1≤x<3}.(2)不等式5x+1x+1<3即2(x可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0，解得-1<x<1.所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}.三、一元二次不等式的实际应用例3(课本例4)一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y=-20x2+2200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得-20x2+2200x>60000.移项整理，得x2-110x+3000<0.对于方程x2-110x+3000=0，Δ=100>0，方程有两个实数根x1=50，x2=60.画出二次函数y=x2-110x+3000的图象(如图)，结合图象得不等式x2-110x+3000<0的解集为{x|50<x<60}，从而原不等式的解集为{x|50<x<60}.因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51~59辆时，这家工厂能够获得60000元以上的收益.例3为了鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为10元/台，出厂价为12元/台，每月的销售量y(台)与销售单价x(元)之间的关系近似满足一次函数y=-10x+500.(1)设他每月获得的利润为W(元)，写出W与x之间的函数关系式.(2)根据相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果他想要每月获得不少于3000元的利润，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？解(1)依题意可知每台节能灯的销售利润为(x-10)元，每月的销售量为(-10x+500)台，所以每月获得的利润W与销售单价x之间的函数关系式为W=(x-10)(-10x+500).(2)由每月获得不少于3000元的利润，得(x-10)(-10x+500)≥3000，化简得x2-60x+800≤0，解得20≤x≤40.又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25.设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p=(12-10)(-10x+500)=-20x+1000.由20≤x≤25，得500≤-20x+1000≤600.故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}.反思感悟解不等式应用题的步骤跟踪训练3(课本例5)某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s=120v+在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到1km/h)？解根据题意，得120v+移项整理，得v2+9v-7110>0.对于方程v2+9v-7110=0，Δ>0，方程有两个实数根v1=-9-28521画出二次函数s=v2+9v-7110的图象(如图)，结合图象得不等式的解集为{v|v<v1，或v>v2}，从而原不等式的解集为{v|v<v1，或v>v2}.因为车速v>0，所以v>v2.而79.9<v2<80，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80km/h.跟踪训练3若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式h=v0t-12gt2，其中g≈10m/s2，v0为初速度.某同学以v0=11m/s的速度竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2m处及以上的位置最多停留的时间为(A.1.8s B.2.8sC.3.8s D.4.8s答案A解析由题意得h=11t-5t2，令h=11t-5t2≥2，即5t2-11t+2≤0，解得0.2<t<2，所以排球在抛出点上方2m处及以上的位置最多停留时间为2-0.2=1.8(s).1.知识清单：(1)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用.(2)简单的分式不等式的解法.(3)一元二次不等式的实际应用.2.方法归纳：转化法、恒等变形法.3.常见误区：(1)解分式不等式要同解变形.(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义.1.不等式x-1x+2<0的解集为A.{x|x>1} B.{x|x<-2}C.{x|-2<x<1} D.{x|x<-2或x>1}答案C解析原不等式可化为(x-1)(x+2)<0，故原不等式的解集为{x|-2<x<1}.2.已知不等式x2-3x+2≤0的解集为A，不等式x-2x-1≤0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C解析由x2-3x+2=(x-1)(x-2)≤0，解得1≤x≤2，所以A={x|1≤x≤2}.由(x-2)(x-1)≤0，解得1≤x≤2，因为x-1≠0，所以x≠1，所以B={x|1<x≤2}，所以集合B是集合A的真子集，所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.3.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1}，那么关于x的不等式cx2-ax+b>0的解集为()A.xB.xC.xD.x答案D解析因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<1}，所以a<0，且-2和1是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，所以-2+1=-ba，-2×即c=-2a，b=a，所以不等式cx2-ax+b>0可化为-2ax2-ax+a>0，因为a<0，所以2x2+x-1>0，即(2x-1)(x+1)>0，解得x>12或x4.某公司的笔记本电脑的生产成本y(万元)与产量x(台)之间的关系为y=-0.1x2+10.5x+750(x∈N*)，每台电脑的售价为5000元，要使公司盈利，则售出笔记本电脑的台数最少为()A.141 B.151 C.161 D.171答案B解析由题意，每台电脑的售价为0.5万元，则0.5x-(-0.1x2+10.5x+750)>0，化简得(x+50)(x-150)>0，又x∈N*，解得x>150，故最少售出151台才能盈利.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分1.(多选)下列不等式中，与不等式x-32-x≥0不同解的不等式是A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1C.2-xx-3≥0 D.(x答案ACD解析由x-32-x≥解得2<x≤3，A项，由(x-3)(2-x)≥0，得2≤x≤3，不同解；B项，由0<x-2≤1，得2<x≤3，同解；C项，由2-xx-3≥0，得(x-2)(x-3)≤0且x-3≠0，解得2≤D项，由(x-3)(2-x)>0，得2<x<3，不同解.2.不等式3x-12-x≥1A.x34C.xx>2答案B解析不等式3x-12-x≥1，移项得3即x-34x解得34≤x<2，则原不等式的解集为x3.“x2-x-2>0”是“1x<2”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件答案A解析由x2-x-2>0，解得x>2或x<-1，由1x<2，解得x>12或x由于{x|x>2或x<-1}是xx故“x2-x-2>0”是“1x<2”的充分不必要条件4.某服装厂生产某种风衣，月销售量x(单位：件)与售价p(单位：元/件)的关系为p=300-2x；与总成本r(单位：元)的关系为r=500+30x，为使月获利不少于8600元，则月销售量x需满足()A.55≤x≤60 B.60≤x≤65C.65≤x≤70 D.70≤x≤75答案C解析由题意可得(300-2x)x-(500+30x)≥8600，即x2-135x+4550≤0，则(x-65)(x-70)≤0，故65≤x≤70.5.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx-c<0的解集为{x|3<x<5}，则不等式cx2+bx-a>0的解集为()A.xB.xC.xD.x答案D解析因为关于x的一元二次不等式ax2+bx-c<0的解集为{x|3<x<5}，所以a>0且方程ax2+bx-c=0的解为x=3或x=5，所以-ba=8，-ca所以b=-8a，c=-15a，则不等式cx2+bx-a>0，即为不等式-15ax2-8ax-a>0，即15x2+8x+1<0，解得-13<x<-所以不等式cx2+bx-a>0的解集为x-6.为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程.某小区计划建设一块长为10m、宽为6m的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪(如图所示).如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为()A.1m B.2mC.3m D.4m答案B解析设花卉带的宽度为xm，则(10-2所以(5-x)(3-x)≤5，即(x-4)2≤6，可得4-6≤x≤4+6又10-2x>0,6-2x>0⇒x<3，故4-6≤x<3，而1<4-6<2，结合选项得x7.(多选)若不等式ax2-bx+c>0的解集是{x|-1<x<2}，则下列选项正确的是()A.b<0且c>0B.a-b+c>0C.a+b+c>0D.不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}答案ABD解析对于A，由题意知a<0，且-1，2是方程ax2-bx+c=0的两个根，所以-1+2=1=ba，-1×2=-2=ca，所以b=a，c=-2a，所以b<0，c对于B，由题意知当x=1时不等式成立，所以a-b+c>0，所以B正确；对于C，当x=-1时，ax2-bx+c=0，即a+b+c=0，所以C错误；对于D，由题意得ax2+bx+c>0可转化为ax2+ax-2a>0，因为a<0，所以x2+x-2<0，所以-2<x<1，所以不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}，所以D正确.8.(5分)若关于x的不等式x-ax+1>0的解集为{x|x<-1或x>4}，则实数答案4解析由题意知，不等式的解集为{x|x<-1或x>4}，则(x-a)(x+1)>0⇔(x+1)(x-4)>0，故a=4.9.(5分)已知函数y=ax2-(a2+2)x+2a，若不等式y+6x≤0的解集是{x|x≤-2或x≥-1}，则实数a的值为.答案-4解析y+6x≤0，即不等式ax2-(a2-4)x+2a≤0的解集是{x|x≤-2或x≥-1}，所以a<0，且-2，-1是方程ax2-(a2-4)x+2a=0的两个实数根，则a解得a=-4(a=1不符合题意，舍去).10.(10分)某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与投入成本增加的比例x的关系式；(4分)(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？(6分)解(1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000×(1+0.6x)(0<x<1)，整理得y=-6000x2+2000x+20000(0<x<1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有y即-6000解得0<x<1所以投入成本增加的比例x应在0<x<13的范围内11.若关于x的不等式ax-1x+b>0的解集是{x|-1<x<3}，则关于x的不等式2axA.xB.xC.xD.x答案B解析因为ax-1x+b>0等价于(ax-1)(x+所以(ax-1)(x+b)=0的两根为1a，-因为不等式解集为{x|-1<x<3}，故可得a<0，且1a=-1，-b=3，则a=-1，b=-3则2ax+12x-b<0即-2x+12x+3<0，等价于(212.某电商新售A产品，售价为每件50元，年销售量为11.8万件.为支持新品发售，第一年免征营业税，第二年需征收销售额x%的营业税(即每销售100元征税x元).第二年，电商决定将A产品的售价提高50·x%1-x%元，预计年销售量减少x万件.要使第二年A产品上交的营业税不少于10万元，则A.2 B.5 C.8 D.10答案D解析由题意，第二年A产品的年销售量为(11.8-x)万件，A产品的售价为50+50·x%1-x%元，所以第二年A产品的年销售额为50+50·x%1-x%(11.8-x)万元，则第二年A产品上交的营业税为50+50·x%1-x%(11.8-x)·x%万元.由题意可得50+50·x%1-x%(11.8-x)·x%≥10，化简得x2-1213.(5分)已知关于x的不等式x2-bx+2b-3<0的解集为{x|x1<x<x2}，且1x1+1x2答案b解析因为x1+x2=b，x1x2=2b-3，所以1x1所以b2b-3-2=-3b+62b-3=-3(b-2)2b-3<0，即-3(因为x2-bx+2b-3=0有两个不相等的实数根x1，x2，所以Δ=b2-4(2b-3)>0，解得b<2或b>6，则b的取值范围是bb14.(10分)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤1的解集为x-1(1)求关于x的不等式ax2+(2b-1)x+4<0的解集；(6分)(2)若关于x的不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0有且仅有6个整数解，求实数a的取值范围.(4分)解(1)由不等式ax2+bx+c≤1的解集为x-1≤x≤3，得a>0，且方程ax2+bx+c则-1+3=-不等式ax2+(2b-1)x+4<0等价于ax2-(4a+1)x+4<0，即x-1a(x-4当0<1a<4，即a>14时，解得1a<当1a=4，即a=1当1a>4，即0<a<14时，解得4<x综上，当a>14时，原不等式的解集为x1a<x<4；当当0<a<14时，原不等式的解集为x(2)由(1)知，不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0等价于ax2-(2a+1)x-(3a+1)≤0，即x-3+1a(x+1)≤0，又a>0，则3+1a>-1，解得-1因