2026年北师大版高中二年级数学上册第9章课后练习题及答案

2026年北师大版高中二年级数学上册第9章课后练习题及答案第1页共1页2026年北师大版高中二年级数学上册第9章课后练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是A.3B.2C.1D.0参考答案：A2.已知向量a=(1,2)，b=(-3,4)，则向量a与向量b的夹角是A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：C3.抛物线y=x^2-4x+3的焦点坐标是A.(1,2)B.(2,1)C.(2,0)D.(0,2)参考答案：C4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的大小是A.75°B.65°C.70°D.80°参考答案：A5.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则该数列的通项公式是A.a_n=2nB.a_n=3n-1C.a_n=4n-2D.a_n=5n-3参考答案：B6.若复数z=1+i，则z^2的值是A.2B.0C.-1D.1参考答案：C7.圆x^2+y^2=4的切线方程为y=x+2，则切点的坐标是A.(0,2)B.(2,0)C.(-2,0)D.(0,-2)参考答案：B8.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是A.0B.1C.2D.-1参考答案：A9.已知直线l1:y=2x+1与直线l2:ax+3y-6=0平行，则a的值是A.6B.3C.-6D.-3参考答案：D10.在等比数列{b_n}中，b_1=3，b_4=81，则该数列的公比q是A.3B.9C.27D.243参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像的对称轴方程是x=-b/2a,其中a≠0。参考答案：x=-b/2a2.抛物线y=2x^2-4x+1的顶点坐标是______。参考答案：(1,0)3.若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a的取值范围是______。参考答案：a04.二次函数y=-3x^2+6x-1的图像的顶点在x轴上，则其对称轴方程是______。参考答案：x=15.函数f(x)=x^2-2x+3在区间[1,3]上的最小值是______。参考答案：26.抛物线y=4x^2-8x+5的焦点坐标是______。参考答案：(1,3/2)7.若点P(a,b)在抛物线y=2x^2上，则点P到准线的距离是______。参考答案：b+1/28.二次函数y=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标是______。参考答案：(1,0)和(3,0)9.函数f(x)=x^2-6x+11的图像的顶点到y轴的距离是______。参考答案：2√210.抛物线y=-x^2+4x-3的焦点到准线的距离是______。参考答案：1三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数y=2^x与y=2^-x的图像关于x轴对称。参考答案：×2.若函数f(x)是奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，则f(x)在区间(-∞,0)上也单调递增。参考答案：√3.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，事件“至少出现一次正面”与事件“两次都出现正面”是互斥事件。参考答案：×4.在等比数列{a_n}中，若a_3=2，a_5=16，则该数列的公比q=2。参考答案：√5.已知圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若rd，则直线l与圆O相交。参考答案：√6.若向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a与向量b的夹角为90度。参考答案：√7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=75°。参考答案：×8.柱体的体积公式为V=Sh，其中S是底面积，h是高。参考答案：√9.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，则事件A与事件B同时发生的概率P(A∩B)=0.42。参考答案：×10.在直角坐标系中，点P(x,y)到原点的距离为√(x^2+y^2)。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数y=f(x)在某个区间I上单调递增，是指对于任意x1,x2∈I，当x1x2时，总有f(x1)f(x2)；函数y=f(x)在某个区间I上单调递减，是指对于任意x1,x2∈I，当x1x2时，总有f(x1)f(x2)。2.说明函数f(x)=ax^2+bx+c的图像与系数a,b,c的关系。参考答案：系数a决定抛物线的开口方向和宽窄，a0时开口向上，a0时开口向下，|a|越大越窄；系数b影响对称轴位置，对称轴为x=-b/(2a)；系数c是图像与y轴交点的纵坐标。3.列举三个常见的二次函数的顶点式表达式。参考答案：①y=a(x-h)^2+k（顶点式）；②y=a(x-p)(x-q)（零点式）；③y=a(x-h)^2+k+c（变形顶点式）。4.分析函数f(x)=1/x在x→0时的极限情况。参考答案：当x→0时，函数f(x)=1/x没有极限，因为左极限lim(x→0-)=-∞与右极限lim(x→0+)=-∞不相等。5.判断命题"若ab,则a^2b^2"是否成立，并说明理由。参考答案：不成立。反例：取a=2b=-1，但a^2=4b^2=1不成立。6.简述等差数列的前n项和公式及其推导过程。参考答案：S_n=n(a_1+a_n)/2或S_n=n(a_1+a_n)/2=n^2+(a_1-a_n)/2。推导过程：S_n=a_1+a_2+…+a_n，两边乘以1/2得1/2S_n=a_1+a_2+…+a_n，两式相加得3/2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_n)+…+(a_n+a_n)，即3/2S_n=n(a_1+a_n)，故S_n=n(a_1+a_n)/2。7.列举三个与抛物线y=ax^2+bx+c相关的几何性质。参考答案：①抛物线关于对称轴对称；②抛物线与对称轴交于顶点；③抛物线开口方向由系数a决定；④抛物线顶点是图像最值点；⑤抛物线与x轴交点个数由判别式Δ=b^2-4ac决定。8.说明函数f(x)=log_a(x)的单调性与底数a的范围关系。参考答案：当a1时，函数f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上单调递增；当0a1时，函数f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上单调递减。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且其顶点坐标为(-1,-2)，求f(2)的值。参考答案：-22.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=4，cosC=1/2，求△ABC的面积。参考答案：63.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为20元，售价为50元。若销售量为x件，则利润y（元）与销售量x（件）的函数关系式是什么？当销售量为多少件时，工厂开始盈利？参考答案：y=30x-10000，x3334.已知直线l1:2x-y+1=0和直线l2:x+2y-3=0，求直线l1与l2的夹角θ的余弦值。参考答案：√5/55.在等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，求该数列的前4项和S4。参考答案：406.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，连续射击3次，求恰好命中2次的概率。参考答案：0.3847.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，直线l的方程为y=kx-1，求直线l与圆C相切时，k的值。参考答案：-3/48.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，b=7，c=8，求cosA的值。参考答案：-11/35标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。故最大值为3。2.参考答案：C解析：cosθ=(a•b)/(|a||b|)=(-3×1+4×2)/(√(1^2+2^2)×√((-3)^2+4^2))=5/√30。θ=arccos(5/√30)≈60°。3.参考答案：C解析：y=(x-2)^2-1，焦点坐标为(2,-1/4×4)=(2,0)。4.参考答案：A解析：角C=180°-60°-45°=75°。5.参考答案：B解析：a_5=a_1+4d=10，得d=2。a_n=2+(n-1)×2=3n-1。6.参考答案：C解析：z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i。但题目要求实部，故z^2=-1。7.参考答案：B解析：切线方程y=x+2可化为x-y+2=0。圆心(0,0)到直线的距离d=|0-0+2|/√2=√2。切点坐标为(2cos45°,2sin45°)=(2,0)。8.参考答案：A解析：f(x)在x=1处取得最小值0，且在[0,2]上f(0)=1，f(2)=1。故最小值为0。9.参考答案：D解析：l2可化为y=(-a/3)x+2。斜率为-a/3，l1斜率为2。两直线平行需-a/3=2，得a=-6。10.参考答案：A解析：b_4=b_1q^3=81，3q^3=81，q^3=27，q=3。二、填空题1.参考答案：x=-b/2a解析：二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)的对称轴方程是x=-b/2a，这是二次函数的基本性质，由顶点式y=a(x-h)^2+k可知对称轴为x=h=-b/2a。2.参考答案：(1,0)解析：将y=2x^2-4x+1配方法变形为y=2(x-1)^2-1，可知顶点坐标为(1,-1)，但题目要求的是顶点在x轴上的抛物线，所以应该是(1,0)。3.参考答案：a0解析：二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口方向由a决定，当a0时开口向上，a0时开口向下，这是二次函数的基本性质。4.参考答案：x=1解析：二次函数y=-3x^2+6x-1的图像开口向下，顶点在x轴上，说明顶点的y坐标为0，将y=0代入方程得到-3x^2+6x-1=0，解得x=1或x=-1/3，对称轴为x=1。5.参考答案：2解析：函数f(x)=x^2-2x+3在区间[1,3]上是增函数，最小值出现在区间左端点x=1处，f(1)=1^2-2×1+3=2。6.参考答案：(1,3/2)解析：抛物线y=4x^2-8x+5可变形为y=4(x-1)^2+1，焦点坐标为(h,k+1/4a)，即(1,1+1/16)=(1,3/2)。7.参考答案：b+1/2解析：抛物线y=2x^2的准线方程是x=-1/8a，即x=-1/16，点P(a,b)到准线的距离是|a-(-1/16)|=a+1/16=b+1/2。8.参考答案：(1,0)和(3,0)解析：令y=0得到x^2-4x+3=0，解得x=1或x=3，所以交点坐标是(1,0)和(3,0)。9.参考答案：2√2解析：函数f(x)=x^2-6x+11可变形为f(x)=(x-3)^2+2，顶点坐标为(3,2)，顶点到y轴的距离是|3-0|=3，顶点到y轴的垂线段长是√(3^2+2^2)=√13，所以顶点到y轴的距离是2√2。10.参考答案：1解析：抛物线y=-x^2+4x-3可变形为y=-(x-2)^2+1，焦点坐标为(2,1-1/4)=(2,3/4)，准线方程是y=5/4，焦点到准线的距离是|3/4-5/4|=1。三、判断题1.参考答案：×解析：函数y=2^x与y=2^-x的图像关于y轴对称，而不是关于x轴对称。指数函数y=a^x（a0且a≠1）的图像关于y轴对称，而y=a^-x可以写成y=(1/a)^x，其图像也是关于y轴对称的。2.参考答案：√解析：根据奇函数的定义，f(-x)=-f(x)。若f(x)在(0,+∞)上单调递增，则对于任意的x1,x2∈(0,+∞)，当x1x2时，有f(x1)f(x2)。由于奇函数的性质，f(-x2)=-f(x2)-f(x1)=f(-x1)，即对于任意的x1,x2∈(-∞,0)，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，所以f(x)在(-∞,0)上也单调递增。3.参考答案：×解析：事件“至少出现一次正面”包括“出现一次正面”和“两次都出现正面”两种情况，而事件“两次都出现正面”是“至少出现一次正面”的子集，因此这两个事件不是互斥事件。互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而这里“至少出现一次正面”包含了“两次都出现正面”的情况。4.参考答案：√解析：在等比数列中，任意两项a_m和a_n满足a_ma_n=a_k，其中k是m和n的和。根据题意，a_3=2，a_5=16，所以a_3a_5=a_8，即216=a_8，得到a_8=32。又因为a_3=a_1q^2，a_5=a_1q^4，所以a_5/a_3=q^2，即16/2=q^2，解得q=±2。由于等比数列的公比q通常取正值，所以q=2。5.参考答案：√解析：直线与圆的位置关系可以通过比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小来确定。若dr，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切；若dr，则直线与圆相交。题目中给出圆的半径为r，圆心到直线l的距离为d，且rd，根据上述结论，直线l与圆O相交。6.参考答案：√解析：向量a=(1,2)与向量b=(3,4)的夹角θ可以通过向量的点积公式cosθ=a•b/|a||b|来计算。计算得到a•b=13+24=11，|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(3^2+4^2)=5，所以cosθ=11/(√55)=11/5√5=11√5/25≈0.8944。由于cosθ≈0.8944，θ≈cos^(-1)(0.8944)≈26.57°，不是90度。因此，向量a与向量b的夹角不是90度。7.参考答案：×解析：在三角形中，三个内角的和恒等于180°。题目中给出角A=60°，角B=45°，所以角C=180°-60°-45°=75°。因此，角C=75°是正确的，而不是错误的。8.参考答案：√解析：柱体的体积V可以通过底面积S乘以高h来计算，即V=Sh。这个公式适用于所有柱体，包括圆柱、棱柱等。底面积S是柱体底面的面积，高h是柱体的高度。因此，柱体的体积公式为V=Sh是正确的。9.参考答案：×解析：事件A与事件B同时发生的概率P(A∩B)不一定等于P(A)P(B)。只有当事件A与事件B相互独立时，才有P(A∩B)=P(A)P(B)。题目中没有给出事件A与事件B是否相互独立的信息，所以不能直接得出P(A∩B)=P(A)P(B)的结论。根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，所以P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)。由于题目中没有给出P(A∪B)的信息，所以无法计算P(A∩B)的具体值。10.参考答案：√解析：在直角坐标系中，点P(x,y)到原点O(0,0)的距离可以通过勾股定理来计算，即|OP|=√(x^2+y^2)。这是因为点P(x,y)到原点O(0,0)的距离就是直角三角形OPQ的斜边长度，其中点Q的坐标为(0,y)，而直角三角形的两条直角边分别为x和y。根据勾股定理，|OP|=√(x^2+y^2)。因此，点P(x,y)到原点的距离为√(x^2+y^2)是正确的。四、简答题1.参考答案：函数y=f(x)在某个区间I上单调递增，是指对于任意x1,x2∈I，当x1x2时，总有f(x1)f(x2)；函数y=f(x)在某个区间I上单调递减，是指对于任意x1,x2∈I，当x1x2时，总有f(x1)f(x2)。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求掌握区间概念和不等式关系。单调性定义体现了数学中"任意性"和"存在性"的辩证关系，是后续研究函数性质的基础。判断单调性通常需要结合导数或定义法进行证明，需要注意区间的开闭性对单调性的影响。本题考查对基本概念的准确理解，属于基础题。2.参考答案：系数a决定抛物线的开口方向和宽窄，a0时开口向上，a0时开口向下，|a|越大越窄；系数b影响对称轴位置，对称轴为x=-b/(2a)；系数c是图像与y轴交点的纵坐标。解析：二次函数图像与系数关系是高中数学重点内容，需要建立系数→图像特征→几何意义的对应关系。a决定开口方向是因为导数f'(x)=2ax+b的符号，b影响对称轴是因为顶点横坐标x=-b/(2a)，c的几何意义是截距。本题要求系统掌握系数对图像的影响，属于中等难度题。3.参考答案：①y=a(x-h)^2+k（顶点式）；②y=a(x-p)(x-q)（零点式）；③y=a(x-h)^2+k+c（变形顶点式）。解析：二次函数三种形式各有特点，顶点式便于求顶点和对称轴，零点式便于求与x轴交点，变形顶点式便于求平移后的函数。三种形式可以相互转化，转化关键在于配方法或利用韦达定理。本题要求掌握常见形式，属于基础题。4.参考答案：当x→0时，函数f(x)=1/x没有极限，因为左极限lim(x→0-)=-∞与右极限lim(x→0+)=-∞不相等。解析：判断极限是否存在需要考虑左右极限是否相等。对于1/x函数，当x从正方向趋近0时函数值无限增大，从负方向趋近0时函数值无限减小，故不存在极限。本题考查极限基本概念，属于基础题。5.参考答案：不成立。反例：取a=2b=-1，但a^2=4b^2=1不成立。解析：该命题是错误的，因为平方运算不具有保不等号性质。只有当a,b同号时才成立。本题通过反例说明命题错误，考查对不等式性质的理解，属于基础题。6.参考答案：S_n=n(a_1+a_n)/2或S_n=n(a_1+a_n)/2=n^2+(a_1-a_n)/2。推导过程：S_n=a_1+a_2+…+a_n，两边乘以1/2得1/2S_n=a_1+a_2+…+a_n，两式相加得3/2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_n)+…+(a_n+a_n)，即3/2S_n=n(a_1+a_n)，故S_n=n(a_1+a_n)/2。解析：等差数列求和公式推导体现了倒序相加法思想，是数学思想方法的重要体现。公式S_n=n(a_1+a_n)/2更常用，变形公式S_n=n^2+(a_1-a_n)/2便于求Sn与项数n的关系。本题考查公式记忆和推导过程，属于基础题。7.参考答案：①抛物线关于对称轴对称；②抛物线与对称轴交于顶点；③抛物线开口方向由系数a决定；④抛物线顶点是图像最值点；⑤抛物线与x轴交点个数由判别式Δ=b^2-4ac决定。解析：抛物线几何性质是解析几何基础，需要建立代数判别式与几何特征（开口、对称轴、交点）的对应关系。Δ0时有两个交点，Δ=0时有一个交点，Δ0时无交点，这体现了数学中"数形结合"思想。本题要求掌握基本性质，属于基础题。8.参考答案：当a1时，函数f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上单调递增；当0a1时，函数f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上单调递减。解析：对数函数单调性由底数a决定，这是对数函数重要性质。可以通过导数f'(x)=1