2025-2026学年湖南省长沙市博纳二附中青山高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省长沙市博纳二附中青山高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=3−i1+i(其中i为虚数单位)，则|z|=A.2 B.2 C.5 2.已知圆锥的体积为223π，侧面展开图扇形的圆心角为2A.8132π B.814π C.3.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数不大于4”，B=“点数大于3且小于6”，C=“点数是3的倍数”，D=“点数为奇数”，E=“点数为偶数”，则(

)A.A，B为互斥事件 B.B，C为对立事件

C.C，D为互斥事件 D.D，E为对立事件4.在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD|=13|DC|，点E为线段AD上任意一点(除端点外)，若实数x，y满足BE=xBA+yA.22 B.4+23 C.5.若m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题不正确的是(

)A.若m⊥α，n//α，则m⊥n B.若α⊥β，m//α，则m⊥β

C.若m⊥α，m//β，则α⊥β D.若n⊥α，n//m，则6.有一道数学难题，学生甲解出的概率为12，学生乙解出的概率为13，学生丙解出的概率为14，若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则A.三人都解出的概率为14 B.没有人能解出的概率为124

C.恰有一人解出的概率为1724 7.中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，若点P是其内部任意一点，则OA⋅AP+OFA.(−2,2+1) B.(−8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=4csinC，cosA=−14，则acA.16 B.15 C.14 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z(1+i)=−1+3i，则下列叙述正确的是(

)A.z的实部为1 B.z的共轭复数为1−2i

C.|z|=5 10.已知函数f(x)=2sin(2x−π6)+1，则A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的值域为[−1,3]

C.f(x)的图象关于直线x=7π12对称 D.f(x)有111.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1A.存在点P使得AP⊥EF

B.三棱锥P−AB1D1体积的最大值为83

C.当点P在侧面B1BCC1且满足PE=2时，二面角A−CD−P的正切的最大值为2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数：4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练营中学员投篮投中的比例为

．13.在三棱锥S−ABC中，已知底面△ABC是边长为23的等边三角形，侧棱SA⊥平面ABC.若二面角S−BC−A的大小为π3，则该三棱锥外接球的表面积为

14.已知函数f(x)=x22x+1−12x2+1，若∃m∈[1,4]四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：

(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数：

(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为45，乙复赛获优秀等级的概率为3416.(本小题15分)

已知函数f(x)=3sin2x+2cos2x+m在区间在[0,π2]上的最大值为6，

(1)求常数m的值，及f(x)在[0,π2]上的最小值；

(2)△ABC的内角A满足f(A)=5，内角B，C所对的边b=317.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ca=sinA+2sinBcosA2sinA．

(1)求B的大小；

(2)若b=22，△ABC18.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点．

(1)求四棱锥P−ABCD的体积；

(2)证明：DM⊥PC；

(3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=4x+14x+a为奇函数．

(1)求实数a的值；

(2)判断函数f(x)的单调性并证明；

(3)设函数g(x)=log2x2⋅lo1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】ABC

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】0.6

13.【答案】43π

14.【答案】8

15.【答案】2

71，2203

1916.【答案】m=3，f(x)在[0,π2]上的最小值为3

417.【答案】解：(1)由题意得及正弦定理可得sinCsinA=sinA+2sinBcosA2sinA

因为sinA≠0，所以sinA+2sinBcosA=2sinC=2sin(A+B)=2sinAcosB+2cosAsinB，

得sinA=2sinAcosB，得cosB=12，而B∈(0,π)，

可得B=π3；

(2)由S△ABC=12acsinB=23，由(1)可得ac=8，

而b=22，

由余弦定理cosB=a18.【答案】433；

证明见解析；

19.【答案】解：(1)由已知函数需满足4x+a≠0，当a≥0时，函数的定义域为R，

函数f(x)=4x+14x+a为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，

即4−x+14−x+a=−4x+14x+a在R上恒成立，即(a+1)(4x+1)=0，a=−1(舍)，

当a<0时，x≠log4(−a)，函数的定义域为(−∞,log4(−a))∪(log4(−a),+∞)，

又函数f(x)=4x+14x+a为奇函数，所以log4(−a)=0，a=−1，

此时f(x)=4x+14x−1，函数定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

f(−x)=4−x+14−x−1=4x+1−4x+1=−f(x)，函数为奇函数，满足，

综