2026-2027学年天津东丽区锐华高级中学高二（上）第一次学情调查数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年天津东丽区锐华高级中学高二（上）第一次学情调查数学试卷（9月份）一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若向量a=(2,0,−1)，向量b=(0,1,−2)，则2aA.(−4,1,−4) B.(−4,1,0) C.(4,−1,0) D.(4,−1,−4)2.已知直线经过点A(2,−8)，B(5,1)，则直线的斜率为(

)A.−3 B.13 C.3 D.3.直线x−3y+5=0的倾斜角是A.60° B.120° C.30° D.150°4.如图所示，在三棱锥A−BCD中，点E是BC的中点，记AB=a,AC=bA.−12a−12b+c5.已知直线l1：y=k1x+b1与l2：y=kA.充分不必要 B.必要不充分

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知空间向量a=(2,−1,2)，b=(1,−2,1)，则向量b在向量a上的投影向量是(

)A.(43,−23,43)7.已知向量a=(4,2,4)，b=(1,−2,2)，若(a+λbA.1 B.−1 C.2 D.−28.若直线l1：mx+3y−1=0与直线l2：2x+(m−5)y+1=0垂直，则m=(

)A.−3 B.−1 C.3 D.69.已知A(−2,3)、B(2,1)，若斜率存在的直线l经过点P(0,−1)，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为(

)A.[−2,1] B.[−1,2]

C.(−∞,−2]∪[1,+∞) D.(−∞,−1]∪[2,+∞)二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。10.已知向量a=(0,−1,1),b=(2,2,1)，则cos〈a,11.在空间直角坐标系中，A(1,1,1)，B(2,3,4)，平面BCD的一个法向量是(−1,2,1)，则点A到平面BCD的距离为

．12.直线l1：2x+(m+1)y+2=0与直线l2：mx+3y−4=0平行，则实数m=

．13.过定点P(2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线l的方程是

．14.已知直线l1：x−3y−3=0，则l1在y轴上的截距为

；若直线l2⊥l15.设直线l的倾斜角α∈(π6,3π4]，则其斜率k的取值范围是

；若直线l的斜率k∈(−1,3三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

已知向量a=(1,1,m)，b=(1,0,1)，且a⊥b．

(1)求|a+2b|的值；

17.(本小题10分)

如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=3，|AA1|=2，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M|，点N在D1C上且为D1C的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，18.(本小题12分)

根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．

(1)斜率是3，且经过点(2,1)；

(2)斜率为4，在x轴上的截距为−2；

(3)经过两点A(−1,5)，B(2,−1)；

(4)在x轴、y轴上的截距分别是−3，−1．19.(本小题14分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//DC，AB=AA1=2，AD=DC=1.M，N分别为DD1，B1C1的中点，

(1)求证：D120.(本小题14分)

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，DE//BF，AD=DE=2，BF=12．

(1)求证：AC⊥EF；

(2)求直线EC与平面ACF所成角的正弦值；

(3)在线段DE上是否存在点G，使得直线BG与AD所成角的余弦值为23，若存在，求出点G到平面ACF

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】−11.【答案】612.【答案】−3或2

13.【答案】2x−y=0或x+y−6=0

14.【答案】−120°

15.【答案】(−∞,−1]∪([0,

16.【答案】11．

−17.【答案】C1(3,3,2)，D1(0,3,2)；

18.【答案】3x−y−5=0；

4x−y+8=0；

2x+y−3=0；

x+3y+3=0

19.【答案】(1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP，

由N是B1C1的中点，可得NP//CC1，且NP=12CC1，

由M是DD1的中点，可得D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，

则有20.【答案】解：依题意，以D为原点，分别以DA，DC，DE的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，F(2,2,12)，

(1)证明：AC=(−2,0,0)，EF=(2,2,−32)，

所以AC⋅EF=(−2)×2+2×2+0=0，

所以AC⊥EF，

所以AC⊥EF．

(2)依题意可得AC=(−2,2,0)，AF=(0,2,12)，

设n=(x,y,z)为平面ACF的法向量，

则−2x+2y=02y+12z=0，

设x=1，可得n=(1,1,−4)，

因为EC=(0,2,−2)，