北师大版高中数学选修2-2概率统计专题练习题

2026年北师大版高中数学选修2-2概率统计专题练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高中数学选修2-2中，若某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，其密度函数图像关于直线x=μ对称，则P(X<μ)与P(X>μ)的关系是（）A.P(X<μ)=P(X>μ)=0.5B.P(X<μ)>P(X>μ)C.P(X<μ)<P(X>μ)D.无法确定，需根据具体数据计算解析：正态分布的密度函数图像具有对称性，其对称轴为x=μ。根据正态分布的性质，分布曲线下的面积在μ左侧与右侧各占50%，即P(X<μ)=P(X>μ)=0.5。这一结论源于正态分布的对称性，无需具体数据即可确定。选项B、C错误，因为对称性决定了概率相等；选项D错误，因为对称性提供了明确的概率关系。2.某班级进行小组活动，将全班60名学生随机分成10组，每组6人。现要计算某特定学生被分到同一组的概率，若用组合数C(n,k)表示，则该概率表达式为（）A.C(59,5)/C(60,6)B.C(59,5)/C(60,10)C.C(59,4)/C(60,6)D.C(59,4)/C(60,10)解析：计算特定学生被分到同一组的概率时，可先固定该学生，再从剩余59名学生中选出5人与其组成一组。组合数C(59,5)表示从59人中选5人的方式数。同时，将60人随机分成10组，每组6人的总方式数为C(60,6)×C(54,6)×…×C(6,6)，但直接计算复杂。根据分层抽样原理，固定一组的概率为C(59,5)/C(60,6)，因为每组6人的选择方式数相同。选项B、C、D错误，因为它们未正确反映固定特定学生后的组合方式。3.在北师大版选修2-2中，若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.4，且P(AB)=0.2，则事件A与事件B是否独立？（）A.独立B.不独立C.无法判断D.依赖样本量解析：事件A与事件B独立的定义是P(AB)=P(A)P(B)。根据题意，P(A)P(B)=0.6×0.4=0.24≠0.2=P(AB)，因此事件A与事件B不独立。选项A、C、D错误，因为独立性有明确的数学判定条件，且与样本量无关。4.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现进行4次射击，求恰好命中3次的概率，若用二项分布B(n,p)表示，则该概率为（）A.C(4,3)×0.8³×0.2B.C(4,3)×0.8²×0.2²C.0.8⁴D.0.2⁴解析：根据二项分布的定义，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。题中n=4，p=0.8，k=3，因此概率为C(4,3)×0.8³×0.2。选项B错误，因为0.8²×0.2²对应命中2次的情况；选项C、D错误，因为它们分别对应命中全部或全不中的情况。5.在北师大版选修2-2中，样本容量为n的样本均值记为x̄，总体均值为μ，若样本容量增加一倍至2n，则新样本均值的方差Var(x̄)与原样本均值的方差Var(x̄)的关系是（）A.Var(x̄)变为2倍B.Var(x̄)变为1/2倍C.Var(x̄)不变D.Var(x̄)变为1/4倍解析：根据样本均值的抽样分布性质，样本均值的方差Var(x̄)=σ²/n，其中σ²为总体方差。当样本容量从n变为2n时，新样本均值的方差Var(x̄)=σ²/(2n)=Var(x̄)/2，即方差变为原来的1/2。选项A、C、D错误，因为方差的缩放与样本容量的平方根成反比，而非线性关系。6.在北师大版选修2-2中，某校随机抽取100名学生调查身高，得到样本频率分布直方图，其中某组频率为0.18，则该组身高区间对应的累积频率为（）A.0.18B.0.36C.0.72D.无法确定解析：累积频率是样本数据中小于等于某组上限的数据占比。若某组频率为0.18，则该组累积频率至少为0.18（若该组为第一组）。若该组非第一组，则累积频率为前一组累积频率加上当前组频率。题目未明确组序，因此无法确定具体累积频率。选项A、B、C错误，因为它们假设了特定组序。7.在北师大版选修2-2中，若一组样本数据为5,7,9,11,13，则其四分位数Q1和Q3分别为（）A.7,11B.6.5,12.5C.7.5,12D.8,10解析：四分位数Q1是样本数据中25%的位置值，Q3是75%的位置值。样本排序后为5,7,9,11,13，Q1位于第1.25位置（取7），Q3位于第4.75位置（取11）。选项B、C、D错误，因为它们未正确计算四分位数的位置值。8.在北师大版选修2-2中，若某随机变量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=0.25，则随机变量Y=3X-4的期望E(Y)和方差Var(Y)分别为（）A.2,0.25B.2,0.75C.2,3D.2,0.75解析：根据期望和方差的线性性质，E(Y)=aE(X)+b，Var(Y)=a²Var(X)。题中a=3,b=-4，因此E(Y)=3×2-4=2，Var(Y)=3²×0.25=2.25。选项B、C、D错误，因为方差计算错误。9.在北师大版选修2-2中，某班级期中考试成绩服从正态分布N(80,16)，若成绩在70分至90分之间的学生占比为0.6826，则该班级成绩在85分以上的学生占比为（）A.0.1587B.0.3413C.0.5D.0.8413解析：正态分布的对称性表明，若区间μ±σ包含68.26%的数据，则μ±2σ包含95.44%。题中μ=80,σ=4，70分至90分对应μ±σ，因此85分（μ+5）以上对应μ+2σ以外的部分。根据对称性，占比为(1-0.9544)/2=0.0228，但题目选项未包含该值，可能存在数据误差。根据标准正态分布表，Z=1.25对应0.8944，Z=2.5对应0.9938，85分对应Z=1.25，占比为0.5-0.3413=0.1587。选项B、C、D错误。10.在北师大版选修2-2中，某工厂生产的产品合格率为0.9，现随机抽取5件产品，求至少有3件合格的概率，若用超几何分布H(n,M,k)表示，则该概率为（）A.C(5,3)×0.9³×0.1²B.C(100,3)/C(1000,5)C.1-C(5,0)-C(5,1)-C(5,2)D.C(90,3)/C(100,5)解析：超几何分布适用于不放回抽样，但题中抽样量较小（5件），可近似为二项分布B(5,0.9)。至少3件合格的概率为P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)。选项A错误，因为它是二项分布的写法；选项B、D错误，因为超几何分布参数与题意不符；选项C正确，但未明确分布类型。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若某随机变量X服从二项分布B(10,0.3)，则P(X=4)的值为______。参考答案：C(10,4)×0.3⁴×0.7⁶≈0.2001解析：根据二项分布公式，P(X=4)=C(10,4)×0.3⁴×0.7⁶≈0.2001。计算步骤：C(10,4)=210，0.3⁴≈0.0081，0.7⁶≈0.1176，乘积为0.2001。2.在北师大版选修2-2中，样本数据为8,9,10,11,12，其极差为______。参考答案：4解析：极差为最大值减最小值，12-8=4。3.若某随机变量X的密度函数为f(x)=kx(0≤x≤1)，则k的值为______。参考答案：2解析：密度函数积分为1，∫₀¹kxdx=k/2=1，解得k=2。4.在北师大版选修2-2中，样本数据的中位数为8，众数为7，则该样本的均值x̄为______（假设样本量为奇数）。参考答案：7.8解析：若样本量为奇数，中位数是排序后中间值，众数是出现次数最多的值。假设样本量为5，排序后为7,8,a,b,c，其中a,b,c均大于8。若众数为7，则a=b=c=7，样本为7,7,8,7,7，均值为7.8。5.若事件A与事件B互斥，且P(A)=0.4,P(B)=0.3，则P(A∪B)的值为______。参考答案：0.7解析：互斥事件概率加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7。6.在北师大版选修2-2中，样本数据的标准差为2，若每个数据都减去5，则新样本数据的标准差为______。参考答案：2解析：标准差不受平移影响，减去5仅改变均值，标准差不变。7.若某随机变量X的期望E(X)=3，方差Var(X)=4，则随机变量Y=2X+1的方差Var(Y)为______。参考答案：16解析：Var(Y)=4Var(X)=4×4=16。8.在北师大版选修2-2中，某班级身高数据服从正态分布N(170,25)，则身高在165cm至175cm之间的学生占比约为______。参考答案：0.6826解析：μ±σ区间包含68.26%的数据，165至175对应μ±σ。9.若某工厂产品合格率为0.95，现随机抽取10件，求恰有2件不合格的概率，若用二项分布B(n,p)表示，则该概率为______。参考答案：C(10,2)×0.05²×0.95⁸≈0.0746解析：二项分布，P(X=2)=C(10,2)×0.05²×0.95⁸≈0.0746。10.在北师大版选修2-2中，样本数据为6,7,7,8,9，其四分位数Q1为______。参考答案：7解析：排序后为6,7,7,8,9，Q1位于第1.25位置，取7。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.6,P(B)=0.7，则P(AB)=0.42。（）参考答案：正确解析：独立事件概率乘法公式，P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42。2.在北师大版选修2-2中，样本数据的极差为0，则该样本的所有数据均相同。（）参考答案：正确解析：极差为最大值减最小值，若极差为0，则最大值等于最小值，所有数据相同。3.若某随机变量X的密度函数关于x=0对称，则P(X<0)=P(X>0)。（）参考答案：正确解析：对称密度函数两侧概率相等，P(X<0)=P(X>0)=0.5。4.在北师大版选修2-2中，样本数据的中位数一定是样本数据中出现次数最多的值。（）参考答案：错误解析：中位数是排序后中间值，众数是出现次数最多的值，两者可能不同。5.若事件A与事件B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，则事件A与事件B不独立。（）参考答案：正确解析：互斥事件P(AB)=0≠P(A)P(B)>0，因此不独立。6.在北师大版选修2-2中，样本均值的方差Var(x̄)与样本容量n成正比。（）参考答案：错误解析：Var(x̄)=σ²/n，与n成反比。7.若某随机变量X的期望E(X)=0，则其密度函数关于y轴对称。（）参考答案：错误解析：期望为0仅说明数据中心在原点，不保证密度函数对称。8.在北师大版选修2-2中，样本数据的四分位数Q1一定是样本数据的中位数。（）参考答案：错误解析：Q1是25%位置值，中位数是50%位置值，两者一般不同。9.若某工厂产品合格率为0.8，现随机抽取5件，求至少有1件合格的概率，则该概率为1-0.2⁵。（）参考答案：正确解析：至少1件合格的概率为1-全不合格的概率=1-0.2⁵。10.在北师大版选修2-2中，样本数据的方差Var(x)为0，则该样本的所有数据均相同。（）参考答案：正确解析：方差为0表示数据无波动，所有数据相同。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述二项分布B(n,p)的应用场景。参考答案：二项分布适用于n次独立重复试验，每次试验只有两种结果（成功/失败），成功概率为p。应用场景包括：产品质量检验、医学临床试验、民意调查等。解析：二项分布的核心特征是独立重复试验和两分类结果，其应用广泛于统计推断和概率建模。例如，工厂抽样检验产品合格率、医学实验评估药物疗效等。2.解释样本均值x̄的抽样分布性质。参考答案：样本均值x̄的抽样分布性质包括：①期望E(x̄)=μ；②方差Var(x̄)=σ²/n；③当n足够大时，x̄近似服从N(μ,σ²/n)。解析：抽样分布描述样本统计量的概率分布。样本均值的抽样分布具有无偏性（E(x̄)=μ）和方差缩放（Var(x̄)与n成反比），中心极限定理进一步表明大样本下x̄近似正态分布。3.什么是正态分布N(μ,σ²)的标准化？参考答案：将随机变量X标准化为Z，公式为Z=(X-μ)/σ。标准化后的Z服从标准正态分布N(0,1)。解析：标准化的目的是消除不同正态分布的参数差异，便于使用标准正态分布表。标准化后的Z值表示数据偏离均值的距离（以标准差为单位）。4.解释互斥事件与独立事件的区别。参考答案：互斥事件指A发生则B必不发生，P(AB)=0；独立事件指A发生不影响B发生的概率，P(AB)=P(A)P(B)。互斥事件必不独立（除非概率为0），独立事件未必互斥。解析：互斥强调事件间的排他性，独立强调事件间的独立性。例如，掷骰子时“出现偶数”与“出现6”互斥，但“出现偶数”与“出现奇数”独立。5.什么是样本数据的四分位数Q1和Q3？参考答案：Q1是样本数据中25%的位置值，Q3是75%的位置值。排序后，Q1位于第n×0.25位置，Q3位于第n×0.75位置。解析：四分位数将数据分为四等份，Q1和Q3分别代表下四分位数和上四分位数。它们与中位数共同描述数据的分布形态。6.解释超几何分布H(n,M,k)与二项分布B(n,p)的区别。参考答案：超几何分布适用于不放回抽样，概率P(X=k)=C(M,k)×C(N-M,n-k)/C(N,n)；二项分布适用于放回抽样或独立重复试验，概率P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。解析：超几何分布考虑抽样顺序和重复性，二项分布简化为独立重复。当抽样比例较小时，超几何分布可近似为二项分布。7.什么是样本数据的极差？参考答案：极差是样本数据中的最大值减最小值。极差反映数据的波动范围，但易受极端值影响。解析：极差计算简单，但敏感性高。例如，数据5,6,7的极差为2，加入极端值100后极差变为95。因此，极差常与其他统计量结合使用。8.解释概率密度函数f(x)的性质。参考答案：概率密度函数f(x)满足：①f(x)≥0；②∫_-∞^+∞f(x)dx=1；③P(a<X<b)=∫_a^bf(x)dx。解析：f(x)描述随机变量取值的密集程度，积分为1保证概率完备，积分区间表示特定概率。例如，正态分布的f(x)是钟形曲线。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某班级有60名学生，其中男生40名，女生20名。现随机抽取5名学生组成小组，求小组中恰好有3名男生、2名女生的概率。参考答案：C(40,3)×C(20,2)/C(60,5)≈0.2381解析：超几何分布，n=60,M=40,k=3。计算步骤：C(40,3)=9880，C(20,2)=190，C(60,5)=65780，概率≈0.2381。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现进行5次射击，求恰好命中3次的概率。参考答案：C(5,3)×0.7³×0.3²≈0.3087解析：二项分布，n=5,p=0.7,k=3。计算步骤：C(5,3)=10，0.7³≈0.343，0.3²≈0.09，乘积为0.3087。3.某校随机抽取100名学生调查身高，得到样本频率分布直方图，其中身高在160cm至170cm区间的频率为0.3，求该区间内学生人数。参考答案：100×0.3=30人解析：频率×样本容量=频数。身高在160cm至170cm区间的学生人数为30人。4.某工厂生产的产品合格率为0.95，现随机抽取10件，求至少有1件不合格的概率。参考答案：1-0.95¹⁰≈0.0437解析：至少1件不合格的概率为1-全合格的概率=1-0.95¹⁰≈0.0437。5.某班级期中考试成绩服从正态分布N(85,16)，求成绩在80分至90分之间的学生占比。参考答案：P(80<X<90)=P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826解析：正态分布的μ±σ区间包含68.26%的数据，成绩在80分至90分之间的学生占比为0.6826。6.某班级随机抽取10名学生调查身高，得到样本数据为168,170,172,174,176,178,180,182,184,186，求样本均值x̄和样本方差Var(x)。参考答案：x̄=178,Var(x)≈35.2解析：x̄=(168+…+186)/10=178，Var(x)=Σ(xᵢ-x̄)²/10≈35.2。7.某随机变量X的密度函数为f(x)=kx(0≤x≤1)，求P(0.5<X<0.8)。参考答案：∫_0.5^0.8kxdx=0.125k解析：首先求k，∫₀¹kxdx=k/2=1，解得k=2。P(0.5<X<0.8)=∫_0.5<sup>0.8</sub>2xdx=0.125k=0.25。8.某班级期中考试成绩服从正态分布N(80,25)，求成绩在70分以上的学生占比。参考答案：P(X>70)=P(Z>1)=0.5-0.3413=0.1587解析：标准化Z=(X-80)/5，Z=1对应X=85。P(X>70)=P(Z>1)=0.5-0.3413=0.1587。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.A5.B6.D7.A8.B9.A10.A二、填空题1.0.200112.413.214.7.815.0.716.217.1618.0.682619.0.074620.7三、判断题1.√22.√23.√24.×25.√26.×27.×28.×29.√30.√四、简答题1.二项分布适用于n次独立重复试验，每次试验只有两种结果（成功/失败），成功概率为p。应用场景包括：产品质量检验、医学临床试验、民意调查等。解析：二项分布的核心特征是独立重复试验和两分类结果，其应用广泛于统计推断和概率建模。例如，工厂抽样检验产品合格率、医学实验评估药物疗效等。2.样本均值x̄的抽样分布性质包括：①期望E(x̄)=μ；②方差Var(x̄)=σ²/n；③当n足够大时，x̄近似服从N(μ,σ²/n)。解析：抽样分布描述样本统计量的概率分布。样本均值的抽样分布具有无偏性（E(x̄)=μ）和方差缩放（Var(x̄)与n成反比），中心极限定理进一步表明大样本下x̄近似正态分布。3.正态分布N(μ,σ²)的标准化是将随机变量X标准化为Z，公式为Z=(X-μ)/σ。标准化后的Z服从标准正态分布N(0,1)。解析：标准化的目的是消除不同正态分布的参数差异，便于使用标准正态分布表。标准化后的Z值表示数据偏离均值的距离（以标准差为单位）。4.互斥事件指A发生则B必不发生，P(AB)=0；独立事件指A发生不影响B发生的概率，P(AB)=P(A)P(B)。互斥事件必不独立（除非概率为0），独立事件未必互斥。解析：互斥强调事件间的排他性，独立强调事件间的独立性。例如，掷骰子时“出现偶数”与“出现6”互斥，但“出现偶数”与“出现奇数”独立。5.样本数据的四分位数Q1和Q3分别是样本数据中25%和75%的位置值。Q1位于第n×0.25位置，Q3位于第n×0.75位置。解析：四分位数将数据分为四等份，Q1和Q3分别代表下四分位数和上四分位数。它们与中位数共同描述数据的分布形态。6.超几何分布H(n,M,k)与二项分布B(n,p)的区别在于：超几何分布适用于不放回抽样，概率P(X=k)=C(M,k)×C(N-M,n-k)/C(N,n)；二项分布适用于放回抽样或独立重复试验，概率P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。解析：超几何分布考虑抽样顺序和重复性，二项分布简化为独立重复。当抽样比例较小时，超几何分布可近似为二项分布。7.样本数据的极差是样本数据中