2027届湖北云学联盟高三8月阶段训练数学试题及答案

2026年高三年级8月阶段训练数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。2．已知等差数列{an}满足a3+a4=a5，则a2=224．已知函数=2cos的解集为5．已知点是曲线y=ax3上的点，若该曲线有两条斜率为1的切线，则这两条切线间的距离为 6．已知锐角α,β满足tanα=5tanβ,sin,则cos(α+β)=7．已知△ABC的三条边分别为a,b,c,且b,c是方程bx2—cx+a=0的两个根，若b<c,则 8．已知集合A={-1,0,1}，若函数f(x)满足对任意的x,y∈A均有f(x),f(y)∈A且f(x)+f(y)≤f(xy)．在所有函数f(x)构成的集合中随机取出一个元素,定义随机变量X=f(-1)+f(0)+f(1)，则X的数学期望为二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。9．设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn，则下列说法正确的是A．若an>0,则数列{log2an}是等差数列C．若0<q<1,则数列{an}是递减D．记{an}的前2n项中所有奇数项之和为M,所有偶数项之和为N,则N=qMA．函数f(x)定义域为RD．若φ=在区间(0,π)上的所有零点之和为则不同零点共有3个11．已知函数,a∈R，则下列说法正确的是A．任意a∈R，函数f(x)一定存在极大值和极小值B．当a=0时，对任意x>0，都有f(x)<4e-2+e-xC．存在a∈R，使函数f(x)在区间(1,2)上单调递减D．存在a∈R，使方程f(x)=a有三个不同的实数解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13．若关于x的不等式(lnx-1)(2x-a)≥0在(0,+∞)上恒成立，则a=.14．边长为2的正方形ABCD，E为AB中点，将△ADE沿DE翻折得到△A1DE，记M为线段AC上一点，且满足A1B=2MC，若在翻折过程中，记二面角-DE-B为，则点M到直线DE的距离的范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1513分）已知函数=Asin的部分图象如下图所示.（1）求函数f(x)的解析式；（2）将函数f(x)的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，求.1615分）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，sinB=2sinC,b=(2cosA+1)c․（1）求A；（2）若D为线段AC的中点，△ABC的面积为23，求线段BD的长.1715分）已知动点P(x,y)满足：点P到直线l:x=4的距离是点P到点F(1,0)距离的2倍.（1）求点P的轨迹方程C；（2）若圆O:x2+y2=R2与曲线C有且仅有四个交点A,B,C,D，求四边形ABCD面积S的取值范围；（3）若点M(a,b)在曲线C上运动，求关于a,b的表达式的范围.1817分）已知函数f(x)=ex-ax,a∈R.（1）若a>0，讨论函数f(x)的单调性；*，证明：在数列{f(1),f(2),f(3),…,f(n)}中，必存在两个不同下标，使得1917分）小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为，投篮命中率为；选择二分投篮的概率是，投篮命中率为.某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分投篮都相互独立，记其投篮总得分为n(n∈N)的概率为Pn.（1）若小明投篮失败就退出比赛.（i）在n=6的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率；（ii）写出Pn的递推式及计算P8.（2）若小明持续参赛且投篮次数足够多，求Pn的表达式.2026年高三年级8月阶段训练数学试卷答案一、单选题12345678CADCDBCA7．C【解析】由题意可得c=b(b+c),a=b2c,:,:b<c,<b,:<b<1，c=f:a+b>c,:b2+b-1<0,:b<，从而C正确；b3>D错.8．A【解析】根据题意,f(x)的所有情况共有6种（以下按(f(−1),f(0),f(1))的顺序列出）(-1,-1,-1),(-1,0,-1),(-1,-1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(0,0,0),从而X的取值可能为-3，-2，-1，0，对应的概率分别为的数学期望为-二、多选题9．AD10．BCD11．ABD9．AD【解析】对选项A，log2an-log2an-1=log2q，即数列{log2an}是等差数列，即选项A正确.1，即选项C错误.2n3510．BCD【解析】选项A错误；则所有零点之和为，n=3，即选项D正确.恒成立，即导函数存在两个变号零点，不妨设为x1,x2，且x1<x2，当x1<x<x2时，f,(x)>0，2时，f,(x)<0，所以f(x)一定存在极大值和极小值，即选项A正确；对选项B，当a=0时，对任意x>0，f,在x=2处取得极大值，且>0恒成立，对任意x>0，都有f(x)<4e2+ex，即选项B正确；对选项C，f,>0，且f,连续，所以总是存在较小的δ>0，使得函数f(x)在区间(1,1+δ)上单调递增，即不会存在a∈R使得函数f(x)在区间(1,2)上递减，即选项C错误；对选项D，方程f(x)=a的实数解即函数h(x)=x2+ax与函数g(x)=aex的交点个数，a<0时，显然没有3个交点，当a>0时，在y轴左侧必有一个交点；在y轴右侧，取一个充分小的a>0，g(0)>h(0)类指数函数g(x)=aex在初始阶段增长缓慢，而二次函数h(x)单调递增，故存在0)，即两曲线在(0,x0)内有第二个交点，又由指数爆炸性质可知，当充分大时g(x)>h(x)，可知两曲线在(x0,+∞)内必有第三个交点，即选项D正确.上恒成立，所以f(x),g(x)有相同零点，即=e,a=2e.取A1在DE上的投影点P为原点，以DE所在直线为x轴，在平面BCDE内过P作垂直于DE的直线为y轴，垂直于平面BCDE的方向为z轴，计算可得B(-r,r,0),C(r,2r,0)AB1AB12AC2(32cosθ2AC(32cosθ)所以A1C=A1B=2MC,即M是A1C中点，且坐标为四、解答题4((4,6,(3,4((4,6,(3,π周期T(8,(23,(8,(23,(8,(23,(8,(23,(8,(23,(8,(23,.(8,(23,(8,(23,.8,(8,(8,.8,(8,(8,.（1）因为b=(2cosA+1)c，由正弦定理sinB=(2cosA+1)sinC.·······················································2分又sinB=2sinC，2cosA+1=2，cosA=.（2）由余弦定理cosA==,b2+c2-a2=bc.·····························································7分所以b2=c2+a2，即△ABC是直角三角形.·······································································11分22又由圆与椭圆对称性可知四个交点构成矩形ABCD，所以边长分别为2·4R2-12,2·12-3R27仅当4-R2=R2-3，即R2=时等号成立，27即四边形ABCD面积S的取值范围为(0,4·i37」.·······························································（3）设定点，直线l,:x+y+2=0，且MQ所在直线与定直线l,:x+y+2=0所成角为θ,则点M(a,b)到直线的距离为d=MQMQ32,即f(x)的单调递增区间是(lna,+∞)，f(x)的单调递减区间是(-∞,lna).···························3分（2）证明：若b≤1，结论显然成立.·······················································································4分由零点存在定理知x0∈(1,2)，·······················································································7分即x0是函数h(x)的极小值点，所以h(x0)=ex0-x02=2x0-x02>0，h(x)=ex-x2>0恒成立，（2）也可以用如下方法作答给分（3）反证法:令M=假设结论不成立，对任意i,j(1≤i<j≤n)，必有f(i)-f(j)≥M.由前·······························································································································12分即对每一个k=1,2,3,…,n-1都有，f(k+1)-f(k)≥M，将这n-1个式子累加有f(n)-f(1)=Σf(k+1)-f(k)≥(n-1)M=en-e①·······························································································································14分另一方面f(n)-f(1)=en-an-e+a=en-e-a(n-1)，··············································15分*，所以a(n-1)>0，即f(n)-f(1)<en-e与①矛盾，故假设不成立，必存在两个不同下标i,j(1≤i<j≤n)，使f(i)-f(j)<.·······························································································································17分19．【解析】（1）(i)由题意，设小明投篮得2分得概率为q2，qq3小明最后一次投篮成功为二分投篮意味着得分为6是3次二分投篮，记“小明3次二分投篮成功得分为6”为事件A,P(A)=3×=，····························································2分P()32由条件概率计算公式，在n=6的条件下小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率为P625（ii）由题意，小明遇到投篮失败就退出比赛，所以若第一次投篮失败则得分为0，P0=且P1=0.对于n≥2，若第一次投篮得2分，则后续还需得n-2分，若第一次投篮得3分，则后续得分为n-320Pq30PP2PPPPPP（2）小明持续参赛且投篮次数足够多,说明小明投篮失败次后也可继续投篮，则P23+Pn2,Sn22令Tn=PnPn1Pn2,Tn=Pn2+Pn3Pn1Pn2=Pn1+Pn2+Pn3=Tn1TP