人教版数学 寒假作业04 整式的乘法（梳理讲练培优） 同步练习 含答案

整式的乘法（知识梳理+31个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共77题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 2知识点梳理01：完全平方公式 2知识点梳理02：完全平方公式的几何背景 3知识点梳理03：完全平方式 3知识点梳理04：平方差公式 3知识点梳理05：平方差公式的几何背景 4优选题型考点讲练 4高频考点1：同底数冪相乘 4高频考点2：同底数幂乘法的逆用 5高频考点3：幂的乘方运算 5高频考点4：幂的乘方的逆用 6高频考点5：积的乘方运算 7高频考点6：积的乘方的逆用 7高频考点7：幂的混合运算 8高频考点8：计算单项式乘单项式 8高频考点9：利用单项式乘法求字母或代数式的值 9高频考点10：单项式乘多项式的应用 9高频考点11：利用单项式乘多项式求字母的值 9高频考点12：计算多项式乘多项式 10高频考点13：(x+p)(x+q)型多项式乘法 10高频考点14：已知多项式乘积不含某项求字母的值 11高频考点15：多项式乘多项式—化简求值 11高频考点16：多项式乘多项式与图形面积 12高频考点17：多项式乘法中的规律性问题 14高频考点18：整式乘法混合运算 15高频考点19：同底数幂的除法运算 15高频考点20：同底数幂除法的逆用 16高频考点21：零指数冪 16高频考点22：计算单项式除以单项式 17高频考点23：多项式除以单项式 17高频考点24：整式四则混合运算 18高频考点25：运用平方差公式进行运算 19高频考点26：平方差公式与几何图形 20高频考点27：运用完全平方公式进行运算 22高频考点28：通过对完全平方公式变形求值 22高频考点29：完全平方公式在几何图形中的应用 23高频考点30：求完全平方式中的字母系数 25高频考点31：整式的混合运算 26中考真题实战演练 27难度分层拔尖冲刺 29基础夯实 29培优拔高 29知识点梳理01：完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．知识点梳理02：完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）知识点梳理03：完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”知识点梳理04：平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．知识点梳理05：平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．高频考点1：同底数冪相乘【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：x2⋅x4−【变式训练】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标等于横坐标的n倍的点称为“n倍关联点”，如2,4是“2倍关联点”，4,−16是“−4倍关联点”．(1)我们已知，当am=ana≠0,1,−1时，则有m=n．若点P32x+4(2)若t为正整数，点M−x2t,18是“(3)若点Ax,y的坐标满足方程y=3kx+s−1（k，s是常数），请问点A能否成为“−1倍关联点”？若能，请求出此时点A高频考点2：同底数幂乘法的逆用【典例精讲】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）（1）am=2，an（2）若16m=4×22n−2，【变式训练】（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）下列说法；①若ax=2，ay=3则a2x+y=7；②若a+b=5，ab=3则a2+b2=19高频考点3：幂的乘方运算【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期末）化简：23x3y【变式训练】（21-22八年级上·广西南宁·期中）（1）若4x+2y−3=0，求16x（2）若312=27高频考点4：幂的乘方的逆用【典例精讲】（24-25八年级上·四川眉山·期中）若2m=3，4n【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）在幂的运算中规定：若ax=ay（a>0且a≠1，x、(1)若9x=3(2)若3x+2−3(3)若m=2x+1，n=4x高频考点5：积的乘方运算【典例精讲】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）（1）计算：2x3（2）计算：y−1【变式训练】（22-23八年级上·福建莆田·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)，如果am=b，则(a,b)=m．我们叫(a,b)为“雅对”．例如：因为23=8，所以(2,8)=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3，3)+(3，设(3,3)=m，(3,5)=n，则3m=3，3n=5，故3m⋅3n=3m+n(1)根据上述规定，填空：(3，81)=________；(________(2)求证：(5，高频考点6：积的乘方的逆用【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算(1+2)【变式训练】（24-25八年级上·全国·期中）若x2+3mx−13x(1)求m2(2)求代数式−18m2高频考点7：幂的混合运算【典例精讲】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算：x3⋅x÷x2；π−30−13−2【变式训练】（22-23八年级上·湖南邵阳·期末）计算与解方程：(−13)xx+1=2x高频考点8：计算单项式乘单项式【典例精讲】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）计算3a⋅−2ab2⋅A．−6a4b5 B．6a9【变式训练】（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）计算：−2x33⋅x高频考点9：利用单项式乘法求字母或代数式的值【典例精讲】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式6xy2与−13x3y的积为mA．m=−2，n=4 B．m=−18，n=4C．m=−2，n=3 D．m=−18，n=3【变式训练】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若x2y3=−2，则高频考点10：单项式乘多项式的应用【典例精讲】（24-25八年级上·贵州·期末）计算：(1)3x22x−1；(2)12a3【变式训练】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）某同学在计算一个多项式乘−3x2时，算成了加上−3x高频考点11：利用单项式乘多项式求字母的值【典例精讲】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，一张长方形硬纸片ABCD，长AD为5a+4bm，宽AB为6am，在它的四个角上分别剪去一个边长均为【变式训练】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，小平作了一幅长为40cm、宽为30cm的长方形画作，并在画作下方加了一个长为40cm、宽为xcm的长方形简介，则画作和简介所组成的大长方形面积为cm2．

高频考点12：计算多项式乘多项式【典例精讲】（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下面两位数相乘的算式：37×11，19×66，28×44，64×33，(1)请再写出一个符合上述特征的算式；(2)算出题中四个算式的结果，你发现结果有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律；(3)请你用整式的乘法法则说明这个规律．【变式训练】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）要使x2−x+52x2−ax−4展开式中不含高频考点13：(x+p)(x+q)型多项式乘法【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知x+ax+b=x2+mx+12,m、a、b【变式训练】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知等式x+mx−n=x2+kx−12（m,n−1 B．4 C．11 D．7高频考点14：已知多项式乘积不含某项求字母的值【典例精讲】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）设a、b为实数，关于x的多项式x+a3x+b展开后的一次项系数为m，多项式3x+ax+b展开后的一次项系数为n，且m、①当a=b时，则m=n；②m+n与m−n的平方差的值能被3整除；③若m+n=8，则ab的最大值为1；④若m+n=8，则ab的最小值为−5其中正确的有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练】（21-22八年级上·山东德州·阶段练习）（1）试说明代数式(s−2t)(s+2t+1)+4t(t+12)的值与s（2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含高频考点15：多项式乘多项式—化简求值【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期中）若2x−3ymx−ny=9y2−4A．−25 B．−1 C．1 D．25【变式训练】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：x、y满足x−2+y+1=0高频考点16：多项式乘多项式与图形面积【典例精讲】（23-24八年级上·江苏常州·期中）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．(1)图①中大正方形的面积可以用不同的方法表示：______；______．（用a，b，c表示）；由此我们得到一个等式，请你完成勾股定理的证明过程．(2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为______；(3)已知a+b=4，ab=2，利用上面的等式求a3【变式训练】【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到a+ba+b

(1)写出图2中所表示的数学等式______；(2)利用1中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2(3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为2a+ba+2b长方形，则x+y+z=【知识迁移】(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式：______．高频考点17：多项式乘法中的规律性问题【典例精讲】24-25八年级上·安徽阜阳·期末）著名的杨辉三角，又叫贾宪三角或帕斯卡三角如右图，是将若干数字按照一定规律排列成三角形的数表（左右两边都是一，其他数字肩上两数，上肩两数和为我，每行之和为二的幂）：(1)计算a+ba+b(2)25(3)已知1−2x7=a【变式训练】（24-25八年级上·广东东莞·期中）（1）填空并观察下列各式的规律：(a−b)(a+b)=________；(a−b)(a(a−b)(a(a−b)(a……可得到(a−b)(a（2）猜想：(a−b)(an−1+an−2（3）利用（2）猜想的结论计算：37−高频考点18：整式乘法混合运算【典例精讲】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）计算：2x−1x+3；(2)−3【变式训练】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定abcd(1)化简x+3y2x(2)若x，y同时满足3−2yx=5，x1高频考点19：同底数幂的除法运算【典例精讲】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知m−4n−2=0，求3m（2）已知若2×8x×【变式训练】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列运算正确的是（

）A．a5−aC．a6÷a高频考点20：同底数幂除法的逆用【典例精讲】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知3m=4，(1)求3m+2n(2)求9m−n【变式训练】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知xm=3,xn=6A．0 B．3 C．32 D．高频考点21：零指数冪【典例精讲】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）计算：3−8+−22+【变式训练】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）计算：27+4123；2−3高频考点22：计算单项式除以单项式【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算：4x2y3÷x3y2【变式训练】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）计算2x高频考点23：多项式除以单项式【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）观察下列式子：x2x3x4x5(1)根据以上式子，请直接写出x6(2)根据以上式子，请直接写出xn−1÷(3)计算：1+2+2【变式训练】（21-22八年级上·山东滨州·期末）在一次综合复习能力检测中，爱国同学的填空题的答卷情况如下，他的得分应是分．姓名：爱国

得分__________填空题（每题2分，共10分）1．点P−2,3关于y2．已知a2+a−1=0，则3．一个n边形的内角和是540°，那么n=（5）．4．计算16x3−85．如果x2−ax+9是一个完全平方式，则高频考点24：整式四则混合运算【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）化简并求值：定义一种新的运算法则：abcd=ad−bc，请你化简式子：3xyy【变式训练】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．(1)用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽；(2)把图③这个长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为5a+3b，求这一新长方形的宽．高频考点25：运用平方差公式进行运算【典例精讲】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料.某同学在计算34+142+1时，发现把3写成请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值.(1)2+12(2)1+1【变式训练】（24-25八年级上·山东东营·期中）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是．(2)利用你从（1）中得出的等式，计算：①已知4x2−y2②计算：1−高频考点26：平方差公式与几何图形【典例精讲】（24-25八年级上·河南周口·期中）阅读下列材料：若x满足9−xx−4=4．求4−x2+x−92的值．设9−x=a，x−4=b，则请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足6−xx−2=3，求(2)如图，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=4，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边作正方形，得到正方形MFRN，正方形DFGH．①MF=______，DF=______；(用含x的式子表示)②求阴影部分的面积．【变式训练】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若x满足7−xx−2=6，求解：设7−x=a，x−2=b，则7−xx−2=ab=6，∴7−x2请仿照上面的方法解答下列各题．(1)已知x−5x−8=10，求(2)若y满足y−20242+y−2025(3)如图所示，正方形ABCD的边长为m，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形DEMF的面积是24，分别以MF，DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．高频考点27：运用完全平方公式进行运算【典例精讲】（24-25八年级上·四川眉山·期末）我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，(1)若x2−4x+5可配方成x−m2+n（m，n为常数），则(2)探究问题：已知S=x2+4y2+4x−12y+k（x，y是整数，(3)拓展结论：已知x，y满足−x2+3x+y−5=0【变式训练】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）有两个依次排列的代数式：x2,x2−4x+4，用第二个代数式减去第一个代数式得到a1，将a1加8得到a2，将第2个代数式与a2相加得到第3个代数式，将a2加8得到a3A．0个 B．1个 C．2个 D．3个高频考点28：通过对完全平方公式变形求值【典例精讲】（24-25八年级上·青海海西·期末）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______；(2)解决问题：如果a+b=37，ab=15，求a【变式训练】（24-25八年级上·吉林长春·期末）完全平方公式：a±b2=a2±2ab+b2解：设9−x=a，x−4=b，则9−xx−4根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若x+y=8，x2(2)若x满足5−xx−2=2，求(3)如图，小唯家打算用长为140m的篱笆围一个长方形院子（即长方形ABCD）．以AB，AD为边分别向外作正方形ABEF、正方形ADGH，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为2500m2高频考点29：完全平方公式在几何图形中的应用【典例精讲】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．(1)请分别写出图（1）、图（2）、图（3）能解释的乘法公式图（1）__________________图（2）__________________图（3）__________________(2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图（4）的正方形，请你写出a+b2，a−b2，(3)根据（2）中你探索发现的结论，完成下列问题：①当a+b=5，ab=−6时，则a−b的值为______．②设A=x+y−z4，B=x−y−z，计算：【变式训练】（23-24八年级上·四川乐山·期末）（1）已知a−b=4，ab=5，求a2（2）若x满足x−20232+x−2010（3）如图，在长方形ABCD中，AB=11cm，点E，F是边BC,CD上的点，EC=6cm，且BE=DF=x，分别以FC,CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为高频考点30：求完全平方式中的字母系数【典例精讲】（23-24八年级上·湖北黄石·期末）计算：(1)分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2+4x+4=；16x2+8x+1=(2)观察以上三个多项式的系数，有42=4×1×4，82①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系：；②解决问题：若多项式x2−2m−3【变式训练】（22-23八年级上·四川德阳·期中）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x2+2xy+2y2高频考点31：整式的混合运算【典例精讲】（24-25八年级上·青海西宁·期末）计算：x5⋅x4【变式训练】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）计算：−2x2y32(3)4x+12−2x+52x−51．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算：a+2a−22．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a+b)n(a+b)4【应用体验】已知(x+2)4=x43．（2024·贵州·中考真题）（1）在①22，②−2，③−10，④（2）先化简，再求值：x2−1⋅4．（2020·新疆·中考真题）下列计算正确的是（

）A．x2⋅xC．x3+x5．（2021·四川凉山·中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地．若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a为底记作x=logaN，比如指数式24=16可以转化为对数式4=loga设logaM=m,log∴M⋅N=am又∵m+n=∴log根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232=___________；②log3（2）求证：loga（3）拓展运用：计算log5基础夯实1．（24-25八年级上·四川乐山·期末）计算x⋅x2⋅A．x4 B．x5 C．x62．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）为做好乡村振兴工作，上级决定在一块长方形空坪上修建板房，作为扶贫办事务所．已知长方形空坪长为3a，宽为4ab−2a，则其面积为（

）A．12a2b−6a2 B．6a3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）计算：−2x22=4．（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：(ab+1)(ab−2)−(a2b5．（24-25八年级上·四川乐山·期末）已知：化简(x2−px+8)(−x2(1)求p，(2)式子x2培优拔高1．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）已知x+y=6,xy=−2，则x2+yA．36 B．40 C．34 D．502．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知2x=6,8y=−273．（25-26八年级上·全国·随堂练习）对a、b定义一种新运算：a*b=a2+ab−b．如：4．（24-25八年级上·甘肃天水·期末）计算：(1)−22−35．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．

（1）请你直接写出三个代数式a+b2，a2+根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：（2）已知m+n=7，m2+n（3）已知x−20222+x−2024

整式的乘法（知识梳理+31个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共77题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 2知识点梳理01：完全平方公式 2知识点梳理02：完全平方公式的几何背景 3知识点梳理03：完全平方式 3知识点梳理04：平方差公式 3知识点梳理05：平方差公式的几何背景 4优选题型考点讲练 4高频考点1：同底数冪相乘 4高频考点2：同底数幂乘法的逆用 6高频考点3：幂的乘方运算 7高频考点4：幂的乘方的逆用 9高频考点5：积的乘方运算 10高频考点6：积的乘方的逆用 12高频考点7：幂的混合运算 13高频考点8：计算单项式乘单项式 15高频考点9：利用单项式乘法求字母或代数式的值 16高频考点10：单项式乘多项式的应用 17高频考点11：利用单项式乘多项式求字母的值 18高频考点12：计算多项式乘多项式 18高频考点13：(x+p)(x+q)型多项式乘法 20高频考点14：已知多项式乘积不含某项求字母的值 21高频考点15：多项式乘多项式—化简求值 23高频考点16：多项式乘多项式与图形面积 24高频考点17：多项式乘法中的规律性问题 27高频考点18：整式乘法混合运算 29高频考点19：同底数幂的除法运算 30高频考点20：同底数幂除法的逆用 31高频考点21：零指数冪 32高频考点22：计算单项式除以单项式 34高频考点23：多项式除以单项式 35高频考点24：整式四则混合运算 37高频考点25：运用平方差公式进行运算 38高频考点26：平方差公式与几何图形 40高频考点27：运用完全平方公式进行运算 44高频考点28：通过对完全平方公式变形求值 46高频考点29：完全平方公式在几何图形中的应用 48高频考点30：求完全平方式中的字母系数 50高频考点31：整式的混合运算 52中考真题实战演练 53难度分层拔尖冲刺 57基础夯实 57培优拔高 59知识点梳理01：完全平方公式（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．知识点梳理02：完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）知识点梳理03：完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．a2±2ab+b2＝（a±b）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”知识点梳理04：平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．知识点梳理05：平方差公式的几何背景（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．高频考点1：同底数冪相乘【典例精讲】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：(1)x2(2)a2【答案】(1)0(2)a【思路引导】考查了幂的运算，单项式除以单项式的运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键．（1）分别进行同底数幂的乘法和幂的乘方运算，再合并即可；（2）先进行积的乘方和幂的乘方运算，再计算单项式除以单项式．【规范解答】（1）解：x==0；（2）解：a==a【变式训练】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标等于横坐标的n倍的点称为“n倍关联点”，如2,4是“2倍关联点”，4,−16是“−4倍关联点”．(1)我们已知，当am=ana≠0,1,−1时，则有m=n．若点P32x+4(2)若t为正整数，点M−x2t,18是“(3)若点Ax,y的坐标满足方程y=3kx+s−1（k，s是常数），请问点A能否成为“−1倍关联点”？若能，请求出此时点A【答案】(1)x=53(2)0(3)见解析【思路引导】本题考查点的坐标，弄清定义，熟练掌握二元一次方程组的解法，幂的乘方运算，一元一次方程关于解的讨论是解题的关键．（1）根据定义可得方程2x+5=y，y=5x，求出x、y的值即可；（2）根据题意可求x2t（3）根据定义可得方程1+3kx=1−s【规范解答】（1）解：∵P32x+4,∴3×32x+4=∴2x+5=yy=5x解得：x=53，（2）解：∵点M−x2t∴−9×−∴x2t∴4=4=4×=0；（3）解：∵若点Ax,y是“−1∴−x=y，∵点Ax,y的坐标满足方程y=3kx+s−1∴−x=3kx+s−1，∴1+3k当1+3k≠0时，x=1−s∴A1−s当1+3k=0，1−s=0时，A点有无数个；当1+3k=0，1−s≠0时，A点不存在；综上所述：当k≠−13时，A点坐标1−s1+3k,−1−s1+3k；当k=−13，s=1时，高频考点2：同底数幂乘法的逆用【典例精讲】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）（1）am=2，an（2）若16m=4×22n−2，【答案】（1）12；（2）−1【思路引导】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方．（1）化简a2m+n（2）由24m=22n，33n=3m+5，可得【规范解答】解：（1）∵am=2∴a====4×3=12；（2）∵16∴2∴4m=2n，∴n=2m，∵27∴3∴3n=m+5，∴6m=m+5，∴m=1，∴n=2，∴(m−n)2025【变式训练】（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）下列说法；①若ax=2，ay=3则a2x+y=7；②若a+b=5，ab=3则a2+b2=19【答案】②③④【思路引导】本题主要考查了幂的运算的逆用和利用完全平方公式、平方差公式变形求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．①根据a2x+y=(ax)2⋅ay，即可判断；②根据【规范解答】解：∵ax=2，∴a2x+y∵a+b=5，ab=3，∴a2∵a−b=3，则a2∵3x∴3x×3−1∴x=3，故④正确．故答案为：②③④．高频考点3：幂的乘方运算【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期末）化简：(1)23(2)x【答案】(1)3(2)−6【思路引导】本题主要考查了整式的混合运算，（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果；（2）原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；熟练掌握整式的混合运算法则的灵活运用是解决此题的关键．【规范解答】（1）解：2==3（2）解：x=3=−6x【变式训练】（21-22八年级上·广西南宁·期中）（1）若4x+2y−3=0，求16x（2）若312=27【答案】（1）8（2）7【思路引导】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的应用等知识点，（1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方将16x⋅4y化成（2）根据幂的乘方的定义，27a可化为33a，即3a=12，即可求得a的值，81b又可化为34b，即4b=12，即可求解熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【规范解答】（1）∵4x+2y−3=0，∴4x+2y=3，16=====8；（2）∵312∴312∴312∴3a=12，4b=12，∴a=4，b=3，∴a+b=4+3=7．高频考点4：幂的乘方的逆用【典例精讲】（24-25八年级上·四川眉山·期中）若2m=3，4n【答案】27【思路引导】本题主要考查同底数幂的乘除法的逆运算，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法的逆运算即可求解．【规范解答】解：∵∴2m又∵∴∴=27÷8×2=∴原式的值为274【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）在幂的运算中规定：若ax=ay（a>0且a≠1，x、(1)若9x=3(2)若3x+2−3(3)若m=2x+1，n=4x【答案】(1)x=3(2)x=1(3)n=【思路引导】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方计算及其逆运算：（1）根据幂的乘方的逆运算法则和幂的乘方计算法则得到32x（2）根据同底数幂乘法的逆运算法则和幂的乘方的逆运算法则得到3×3x+1−（3）先求出n=2x2【规范解答】（1）解：∵9x∴32∴32x∴2x=6，∴x=3；（2）解：∵3x+2∴3×∴2×3∴3x+1∴x+1=2，∴x=1；（3）解：∵n=4∴n=2∵m=2∴2x∴n=高频考点5：积的乘方运算【典例精讲】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）（1）计算：2x3（2）计算：y−1【答案】（1）−40x4y【思路引导】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）利用积的乘方法则，单项式乘单项式法则计算即可；（2）利用完全平方公式计算即可．【规范解答】（1）解：2x=8=−40x（2）解：y−=y【变式训练】（22-23八年级上·福建莆田·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作(a,b)，如果am=b，则(a,b)=m．我们叫(a,b)为“雅对”．例如：因为23=8，所以(2,8)=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3，3)+(3，设(3,3)=m，(3,5)=n，则3m=3，3n=5，故3m⋅3n=3m+n(1)根据上述规定，填空：(3，81)=________；(________(2)求证：(5，【答案】(1)4，−5(2)见解析【思路引导】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．【规范解答】（1）解：∵3∴(3,81)=4，∵(−5)∴(−5,−125)=3，故答案为：4；−5；（2）解：设(5,4)=x，(5,9)=y，(5,36)=z，则5x=4，5y5x∴5∴x+y=z，即(5，高频考点6：积的乘方的逆用【典例精讲】（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算(1+2)【答案】1−2/【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合计算，平方差公式，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．将(1+2)2024【规范解答】解：(1+===故答案为：1−2【变式训练】（24-25八年级上·全国·期中）若x2+3mx−13x(1)求m2(2)求代数式−18m【答案】(1)139(2)448【思路引导】此题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含x和x3项，求出m与n（1）将m与n的值代入计算即可求出值；（2）利用幂的乘方与积的乘方法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．【规范解答】（1）解：x=x∵x2+3mx−13x∴3m−3=0，3mn+1=0，∴m=1，n=−1∴m2（2）解：−18==当m=1，n=−13==36+9−=448高频考点7：幂的混合运算【典例精讲】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算：(1)x3(2)a⋅a(3)π−30(4)−3a2【答案】(1)x(2)0(3)−7(4)a【思路引导】本题考查了实数的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先算同底数幂相乘，再算同底数幂相除，即可作答．（2）先算同底数幂相乘、相除，再合并同类项，即可作答．（3）先化简零次幂、负整数指数幂、以及乘方运算，再运算加减，即可作答．（4）先分别运算积的乘方，再算乘法，最后运算加减，即可作答．【规范解答】（1）解：x3（2）解：a⋅（3）解：π−3=1−9+1=−7；（4）解：−3a=9=9=【变式训练】（22-23八年级上·湖南邵阳·期末）计算与解方程：(1)(−(2)a(3)x(4)2【答案】(1)12(2)a(3)x=−(4)无解【思路引导】（1）根据零指数幂和负整数幂的法则计算即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法进行计算即可；（3）方程两边都乘3x+1（4）方程两边都乘以x+1x−1【规范解答】（1）(−=9+3=12（2）a===（3））xx+1方程两边都乘以3x+1，得：3x=2x+3x+3解这个方程得：x=−3检验：当x=−32时，∴x=−3（4）2x−1方程两边都乘以x+1x−1，得：2(x+1)=4解这个方程得：x=1，检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，∴x=1是增根，∴原分式方程无解；【考点剖析】此题考查了幂的运算法则、解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．高频考点8：计算单项式乘单项式【典例精讲】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）计算3a⋅−2ab2⋅A．−6a4b5 B．6a9【答案】C【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，先计算积的乘方和幂的乘方，再运用同底数幂的乘法计算即可．【规范解答】解：原式=3a⋅4=−12a故选：C．【变式训练】（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）计算：(1)−2x(2)2x【答案】(1)−8(2)0【思路引导】本题考查了幂的运算，解题的关键是：（1）根据幂的乘方法则，积的乘方法则，单项式乘以单项式法则计算即可（2）根据幂的乘方法则，积的乘方法则，单项式乘以单项式法则以及合并同类项法则计算即可．【规范解答】（1）解：原式=−8=−8x（2）解：原式=2=2=0．高频考点9：利用单项式乘法求字母或代数式的值【典例精讲】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式6xy2与−13x3y的积为mA．m=−2，n=4 B．m=−18，n=4C．m=−2，n=3 D．m=−18，n=3【答案】A【思路引导】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加”），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算6xy2与−13x3y【规范解答】解：∵单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加）∴6x∵6×(−13)=−2，∴6x又∵6x∴m=−2，n=4故选：A．【变式训练】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若x2y3=−2，则【答案】−12【思路引导】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可．【规范解答】解：∵x2∴6xy故答案为：−12．高频考点10：单项式乘多项式的应用【典例精讲】（24-25八年级上·贵州·期末）计算：(1)3x(2)12a(3)x−2x−5【答案】(1)6(2)4(3)10−7x【思路引导】本题考查了整式的乘除，熟练掌握相关法则是解题的关键；（1）根据单项式乘多项式法则进行计算即可；（2）根据多项式除以单项式法则进行计算即可；（3）先利用多项式乘法法则展开，再合并同类项即可．【规范解答】（1）解：3（2）解：12（3）解：x−2x−5【变式训练】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）某同学在计算一个多项式乘−3x2时，算成了加上−3x【答案】−12【思路引导】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．根据题意得出多项式，进而利用单项式乘以多项式计算得出答案．【规范解答】解：由题意可得，原多项式为：x2故正确计算结果应为：−3=−12x高频考点11：利用单项式乘多项式求字母的值【典例精讲】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，一张长方形硬纸片ABCD，长AD为5a+4bm，宽AB为6am，在它的四个角上分别剪去一个边长均为【答案】24ab+14【思路引导】本题考查了整式的运算，理解纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积是关键．利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积．【规范解答】解：依题意，纸片的面积是：(5a+4b)⋅6a=30a一个小正方形的面积是：(2a)2则无盖盒子的表面积是：30a【变式训练】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，小平作了一幅长为40cm、宽为30cm的长方形画作，并在画作下方加了一个长为40cm、宽为xcm的长方形简介，则画作和简介所组成的大长方形面积为cm2．

【答案】40x+1200/1200+40x【思路引导】本题考查的是列代数式，单项式乘以多项式的运算，本题由长方形的面积公式直接列式计算即可．【规范解答】解：画作和简介所组成的大长方形面积为4030+x故答案为：40x+1200高频考点12：计算多项式乘多项式【典例精讲】（24-25八年级上·福建厦门·期末）观察下面两位数相乘的算式：37×11，19×66，28×44，64×33，(1)请再写出一个符合上述特征的算式；(2)算出题中四个算式的结果，你发现结果有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律；(3)请你用整式的乘法法则说明这个规律．【答案】(1)46×22(2)见解析(3)见解析【思路引导】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现题中所给算式的积的特征是解题的关键．（1）根据所给算式，写出符合要求的算式即可；（2）根据题意，写出规律即可；（3）根据整式的乘法法则去说明规律即可．【规范解答】（1）解：由题知，符合上述特征的算式可以是：46×22（答案不唯一）；（2）解：由题知，37×11=407，19×66=1254，28×44=1232，64×33=2112，我发现：两个两位数相乘，其中前一个两位数个位和十位数字和为10，后一个两位数的个位数数字与十位数字相同时，它们积的前两位数字是前一个两位数的十位数字加1与后一个两位数的十位数字的积，积的后两位数字是个位数字的积；（3）解：设前一个两位数的十位数字为a，则个位数字为10−a，后一个两位数的十位和个位数字都是b，则这两个两位数可表示为：10a+10−a，10b+b，所以它们的积为：10a+10−a10b+b==99ab+110b=100ba+1【变式训练】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）要使x2−x+52x2−ax−4展开式中不含【答案】−6【思路引导】本题考查了多项式乘法中特定项系数的计算，解题的关键是明确x2确定展开式中x2项的所有生成方式；分别计算各生成方式对应的系数并求和；令x2项的系数为0，解方程得【规范解答】解：多项式(x2−x+5)(2x2×(−4)：系数为(−x)×(−ax)：系数为(−1)×(−a)=a；5×2x2：系数为∵多项式展开式中不含x2∴−4+a+10=0，解得a=−6．故答案为：−6．高频考点13：(x+p)(x+q)型多项式乘法【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知x+ax+b=x2+mx+12,m、a、b【答案】7或−7或8或−8或13或−13【思路引导】本题考查的是多项式的乘法，先计算x+ax+b=x2+a+b【规范解答】解：∵x+ax+b∴a+b=m，ab=12．∵m,a,b都是整数，∴当a=3,b=4时，m=a+b=7；当a=−3,b=−4时，m=a+b=−7；当a=2,b=6时，m=a+b=8；当a=−2,b=−6时，m=a+b=−8；当a=1,b=12时，m=a+b=13；当a=−1,b=−12时，m=a+b=−13．故m的值为7或−7或8或−8或13或−13．故答案为：7或−7或8或−8或13或−13【变式训练】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知等式x+mx−n=x2+kx−12（m,nA．−1 B．4 C．11 D．7【答案】D【思路引导】本题主要考查了多项式与多项式相乘．将左边展开后比较系数，得到关于m、n的方程组，结合整数条件分析可能的k值．【规范解答】解：展开左边：x+mx−n∵x+mx−n∴x+m∴m−n=k，−mn=−12，∴mn=12，∵m,n为整数，∴当m=1时，n=12，此时k=m−n=−11；当m=2时，n=6，此时k=m−n=−4；当m=3时，n=4，此时k=m−n=−1；当m=4时，n=3，此时k=m−n=1；当m=6时，n=2，此时k=m−n=4；当m=12时，n=1，此时k=m−n=11；当m=−1时，n=−12，此时k=m−n=11；当m=−2时，n=−6，此时k=m−n=4；当m=−3时，n=−4，此时k=m−n=1；当m=−4时，n=−3，此时k=m−n=−1；当m=−6时，n=−2，此时k=m−n=−4；当m=−12时，n=−1，此时k=m−n=−11；∴k的值不可能是7故选：D高频考点14：已知多项式乘积不含某项求字母的值【典例精讲】（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）设a、b为实数，关于x的多项式x+a3x+b展开后的一次项系数为m，多项式3x+ax+b展开后的一次项系数为n，且m、①当a=b时，则m=n；②m+n与m−n的平方差的值能被3整除；③若m+n=8，则ab的最大值为1；④若m+n=8，则ab的最小值为−5其中正确的有（

）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路引导】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，分式的性质，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决．【规范解答】解：∵x+a3x+b=3x∴3a+b=m,3b+a=n，且m、n均为正整数．当a=b时，3a+b=m=3b+a=n，则m=n，故①正确；∵m+n∴m∴m2−n∴m+n与m−n的平方差的值能被2，4，8整除，不一定能被3整除，故②错误；∵m+n=8，即3a+b+3b+a=4a+4b=4a+b∴a+b=2，即b=2−a，∴ab=a2−a∵−a−1∴ab=−a−12+1≤1∵b=m−3a=m−32−b=m−6+3b，即∵m、n均为正整数．∴m可取的值为1,2,3,4,5,6,7，当m=7时，b=6−72=−∴ab的最小值为5∴正确的有3个，故选：C．【变式训练】（21-22八年级上·山东德州·阶段练习）（1）试说明代数式(s−2t)(s+2t+1)+4t(t+12)的值与s（2）已知多项式ax﹣b与2x2﹣x+2的乘积展开式中不含【答案】（1）见解析；（2）1【思路引导】（1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为s2（2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为﹣4，列式求解得到a和b的值，即可求得ab【规范解答】解：（1）（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+12==s故代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+12）的值与s的取值有关系，与t（2）∵ax−b2又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，∴2a+b=0,−2b=−4，解得：a=−1,b=2，∴ab【考点剖析】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．高频考点15：多项式乘多项式—化简求值【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期中）若2x−3ymx−ny=9y2−4A．−25 B．−1 C．1 D．25【答案】C【思路引导】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算m+n2【规范解答】解：2x−3y=2mx=9y∴2m=−4，解得m=−2；3n=9，解得n=3；∴m+n2故选C．【变式训练】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：x、y满足x−2+y+1=0【答案】x3【思路引导】本题考查整式的乘法的化简求值问题，绝对值和算术平方根的非负性等知识，先化简x2−2y2x+2y【规范解答】解：x==x∵x−2+∴x−2=0,y+1=0，∴x=2,y=−1，∴x2高频考点16：多项式乘多项式与图形面积【典例精讲】（23-24八年级上·江苏常州·期中）我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c．(1)图①中大正方形的面积可以用不同的方法表示：______；______．（用a，b，c表示）；由此我们得到一个等式，请你完成勾股定理的证明过程．(2)通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为______；(3)已知a+b=4，ab=2，利用上面的等式求a3【答案】(1)c2，(2)a+b(3)40【思路引导】本题考查了整式，勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的面积和体积是解题的关键．（1）根据大正方形的面积=边长×边长或大正方形的面积=4×直角三角形的面积+小正方形的面积，分别求出大正方形的面积的两种表示，再根据同一图形面积相等的性质分析，即可得出结论；（2）分别求出大正方体的体积和各个部分的体积，再根据同一正方体体积相等的性质分析，即可得出答案；（3）结合（2）的结论，根据代数式的性质计算，即可得到答案．【规范解答】（1）证明：图中阴影部分小正方形的边长可表示为b−a，图中大正方形的面积为c2或4×∴c2即c2（2）图形的体积为：a+b3或a∵a3∴a+b3故答案为：a+b3（3）∵a+b=4，ab=2，a+b∴43解得：a3故答案为：40．【变式训练】【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到a+ba+b

(1)写出图2中所表示的数学等式______；(2)利用1中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2(3)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为2a+ba+2b长方形，则x+y+z=【知识迁移】(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式：______．【答案】(1)(a+b+c)(2)45(3)9(4)x【思路引导】（1）根据数据表示出正方形的长，再根据正方形的面积公式写出等式的左边，然后表示出每一小部分的面积，最后根据面积相等即可写出等式．（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，ab+bc+ac=38作为整体代入即可求出．（3）根据多项式乘多项式求出2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2（4）用两种方法表示正方体挖去一个长方体后剩余部分的体积，即可得出这个数学等式．【规范解答】（1）解：图2中所表示的数学等式为：a+b+c2故答案为：a+b+c2（2）解：∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴11∴a2∴a2+b（3）解：∵2a+ba+2b又∵边长为a的正方形面积为a2，边长为b的正方形面积为b2，宽、长分别为a、b的长方形纸片面积为∴需要边长为a的正方形纸片2张，边长为b的正方形纸片2张，宽、长分别为a、b的长方形纸片5张，即x=2，y=2，z=5，∴x+y+z=2+2+5=9，故答案为：9；（4）解：边长为x的正方体挖去一个长方体后体积为：x3新长方体的长为x+1，宽为x，高为x−1，则体积为：xx+1∴可以得到的数学等式为x3故答案为：x3【考点剖析】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．高频考点17：多项式乘法中的规律性问题【典例精讲】24-25八年级上·安徽阜阳·期末）著名的杨辉三角，又叫贾宪三角或帕斯卡三角如右图，是将若干数字按照一定规律排列成三角形的数表（左右两边都是一，其他数字肩上两数，上肩两数和为我，每行之和为二的幂）：(1)计算a+ba+b(2)25(3)已知1−2x7=a【答案】(1)2048(2)3125(3)−2【思路引导】本题主要考查了同底数幂相乘，数字类的规律题，解题的关键是：（1）先根据同底数幂相乘法则计算，然后令a=1，b=1，代入计算即可；（2）根据题意将原式变形后，计算即可得到答案；（3）当x=0时，得到a0=1，当x=1时，得到【规范解答】（1）解∶a+ba+b令a=1，b=1，则1+111∴a+ba+b故答案为∶2048；（2）解∶根据题意，得2===3125，故答案为∶3125；（3）解：当x=0时，a0当x=1时，a0∴a1【变式训练】（24-25八年级上·广东东莞·期中）（1）填空并观察下列各式的规律：(a−b)(a+b)=________；(a−b)(a(a−b)(a(a−b)(a……可得到(a−b)(a（2）猜想：(a−b)(an−1+an−2（3）利用（2）猜想的结论计算：37【答案】（1）a（2）a（3）3【思路引导】本题主要考查了多项式乘以多项式的规律问题，对于（1），根据题目中的规律可得结果；对于（2），根据（1）中的例子可以写出相应的猜想；对于（3），把（2）中式子中的a=3,b=−1,n=8代入求解．【规范解答】解：（1）(a−b)(a+b)=a(a−b)(a故答案为：a2−b（2），根据（1）中规律可得(a−b)(a故答案为：an（3），设（2）中式子中的a=3,b=−1,n=8，则有[3−(−1)][37+即4×(3∴37高频考点18：整式乘法混合运算【典例精讲】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）计算：(1)2x−1x+3(2)−3x【答案】(1)2(2)−5【思路引导】本题主要考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．（1）根据多项式乘多项式运算法则，进行计算即可；（2）根据单项式乘单项式运算法则，积的乘方，进行计算即可．【规范解答】（1）解：2x−1=2x=2=2x（2）解：−3=−6=−5x【变式训练】（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）对于任意的有理数a，b，c，d，我们规定abcd(1)化简x+3y2x(2)若x，y同时满足3−2yx=5，x1【答案】(1)2(2)x=3【思路引导】本题考查的是自定义下的整式的加减乘除混合运算，以及解方程组，掌握以上知识是解题的关键．（1）根据题意列式，然后再计算乘法，后算加减即可；（2）根据题意列出方程组，再解方程组即可．【规范解答】（1）解：x+3y==2=2x（2）解：∵3−2yx∴3x+2y=5①①+②×2解得：x=3，把x=3代入①得3×3+2y=5，解得：y=−2，∴方程组的解为：x=3y=−2高频考点19：同底数幂的除法运算【典例精讲】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）（1）已知m−4n−2=0，求3m（2）已知若2×8x×【答案】（1）9

（2）x=3【思路引导】本题主要考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方逆运算等知识，掌握这些知识是解题的关键．（1）由已知式子变形为m−4n=2，再利用幂的乘方运算的逆运算将81n变形成3（2）根据幂的乘方运算的逆运算将8x×16x变形成23x×2【规范解答】解：（1）由题知m−4n−2=0，∴m−4n=2，∴3m（2）2×82×221+7x∴1+7x=22，解得x=3．【变式训练】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列运算正确的是（

）A．a5−aC．a6÷a【答案】D【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方及合并同类项，据此逐项计算即可得出答案．【规范解答】A.a5和aB.a2C.a6D.a4故选：D．高频考点20：同底数幂除法的逆用【典例精讲】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知3m=4，(1)求3m+2n(2)求9m−n【答案】(1)20(2)16【思路引导】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，乘方，除法法则，是解题的关键：（1）逆用同底数幂的乘法和乘方法则进行计算即可；（2）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可．【规范解答】（1）解：∵3m=4，∴3m+2n（2）∵3m=4，∴32m∴9m−n【变式训练】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知xm=3,xn=6A．0 B．3 C．32 D．【答案】C【思路引导】本题主要考查了同底数幂除法的逆用，幂的乘方计算，先根据幂的乘方计算得出xm【规范解答】解：∵xm∴xm∴x2m−n故选：C高频考点21：零指数冪【典例精讲】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）计算：(1)3−8(2)2−2【答案】(1)2(2)0【思路引导】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂、立方根、算术平方根、绝对值的性质及实数混合运算法则．（1）先求立方根，算术平方根和绝对值化简，合并即可，（2）先开立方，算术平方根，计算零指数幂，加减即可．【规范解答】（1）解：原式=−2+2+=2（2）解：原式=1+3+=0．【变式训练】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）计算：(1)27+4(2)5−(3)2−3【答案】(1)11(2)4(3)3−【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）利用二次根式的除法法则以及性质，进行计算即可解答；（2）利用平方差公式，进行计算即可解答；（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【规范解答】（1）解：27===11；（2）解：5=5−3+2=4；（3）解：2−=1−=1+4−4+2−=3−高频考点22：计算单项式除以单项式【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算：(1)4x(2)−2ab(3)100(ab)【答案】(1)64(2)−2(3)4【思路引导】本题考查了单项式除以单项式和积的乘方的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；（1）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解；（2）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解；（3）先计算积的乘方，再根据单项式除以单项式的知识，进行作答，即可求解；【规范解答】（1）解：4=64=64=64x（2）解：−2a=−8=−2b（3）解：100=100==4【变式训练】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）计算2x【答案】−4【思路引导】本题考查了整式的混合运算（包括积的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式），解题的关键是熟练运用幂的运算法则（同底数幂相乘除，底数不变指数相加减；积的乘方，各因式分别乘方再相乘）．计算积的乘方化简(2x【规范解答】解：按整式混合运算顺序计算：(2==8=−24=(−24÷6)⋅=−4故答案为：−4x高频考点23：多项式除以单项式【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）观察下列式子：x2x3x4x5(1)根据以上式子，请直接写出x6(2)根据以上式子，请直接写出xn−1÷(3)计算：1+2+2【答案】(1)x(2)x(3)2【思路引导】本题考查整式的除法与规律探索问题及尾数特征．（1）仿照题干信息，即可解决问题；（2）根据题干信息总结归纳出结论即可；（3）根据总结规律将原式变形后即可求得答案．【规范解答】（1）解：x6故答案为：x5（2）解：xn故答案为：xn−1（3）解：1+2+==2【变式训练】（21-22八年级上·山东滨州·期末）在一次综合复习能力检测中，爱国同学的填空题的答卷情况如下，他的得分应是分．姓名：爱国

得分__________填空题（每题2分，共10分）1．点P−2,3关于y2．已知a2+a−1=0，则3．一个n边形的内角和是540°，那么n=（5）．4．计算16x3−85．如果x2−ax+9是一个完全平方式，则【答案】4【思路引导】根据关于y轴对称点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，求出点的对称点坐标即可判定1题；将a2+a−1=0变形为a2+a=1，再将a3+2a2+2022变形为a(a2+a)+a2+2022代入得a+【规范解答】解：点P−2,3关于y∵a2∴a2+a=1，∴a3+2a2+2022=a3+a2+a2+2022=a(a2+a)+a2+2022=∵（n-2）×180=540，∴n=5，故3题正确；16x3−8x2+12x÷(−4x)=16x3÷(-4x)-8x2÷(-4x)+12x÷(-4∵x2-ax+9是一个完全平方式，∴x2-ax+9=（x±3）2=x2±6x+9，∴-a=±6，∴a=±6，故5题错误；∴爱国同学做正确了2题，所以他的得分是2×2=4（分），故答案为：4．【考点剖析】本题考查关于y轴对称点的坐标变换，代数式求值，多边形内角和，多项式除以单项式，完全平方式概念，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．高频考点24：整式四则混合运算【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）化简并求值：定义一种新的运算法则：abcd=ad−bc，请你化简式子：3xyy【答案】−5xy2【思路引导】本题考查整式的化简求值，新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．由新定义得3xyy2+3xy2x2x−y=3xy2x−y【规范解答】解：∵a∴=3xy=6=−5xy当x=2，y=−1时，原式=−5×2×−1【变式训练】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．(1)用a，b的式子表示拼成的图③这个长方形纸片的长和宽；(2)把图③这个长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个新的长方形面积相等．已知这个新长方形的长为5a+3b，求这一新长方形的宽．【答案】(1)长为5a+3b，宽为a+b(2)a+b+2【思路引导】此题考查了整式的混合运算．（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽，运用整式的加减法运算即可得到结果；（2）根据题意列出关系式，运用整式的除法运算即可得到结果．【规范解答】（1）解：长方形的长为：3a+2b+2a+b=5a+3b，长方形的宽为：3a+2b−（2）解：另一个长方形的宽：5a+3b==a+b+2．高频考点25：运用平方差公式进行运算【典例精讲】（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）阅读下列材料.某同学在计算34+142+1时，发现把3写成请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值.(1)2+12(2)1+1【答案】(1)2(2)2【思路引导】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．（1）仿照材料例题，构造平方差公式求解即可；（2）仿照材料例题，构造平方差公式求解即可．【规范解答】（1）解：2+1======2（2）解：1+=2=2=2=2=2=2−=2．【变式训练】（24-25八年级上·山东东营·期中）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是．(2)利用你从（1）中得出的等式，计算：①已知4x2−y2②计算：1−【答案】(1)a(2)①3；②2025【思路引导】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键．（1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得a2（2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可．【规范解答】（1）解：∵图1阴影部分的面积为：a2图2阴影部分的面积为：(a+b)(a−b)，∴上述操作能验证的等式是a2故答案为：a2（2）解：①∵4x2−∴2x−y=3；②1−====2025高频考点26：平方差公式与几何图形【典例精讲】（24-25八年级上·河南周口·期中）阅读下列材料：若x满足9−xx−4=4．求4−x2+x−92的值．设9−x=a，x−4=b，则请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足6−xx−2=3，求(2)如图，已