人教版数学 寒假作业16 平行四边形（知识预习+强化训练） 同步练习 含答案

平行四边形（5个知识点+5种题型+强化训练）知识导图知识清单知识点1．平行线之间的距离（1）平行线之间的距离从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．（2）平行线间的距离处处相等．知识点2．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE＝BC．知识点3．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．知识点4．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．知识点5．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．知识复习一．平行线之间的距离（共7小题）1．（2023春•增城区期末）如图，，点、分别在直线、上，，点在直线上，且，若、之间的距离为3，则线段的长度为．2．如图，已知，，，且点和点，，分别在直线，上，平分，，线段的长是否是两条平行线，之间的距离？为什么？3．（2023春•海沧区校级期末）如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离A． B． C． D．4．（2023春•巴彦县期末）已知，点，分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是A．5 B．6 C． D．5．（2023春•宜都市期末）在同一平面内，已知直线，若直线和之间的距离为5，直线和之间的距离为2，则直线和之间的距离为．6．已知直线，，平行于，过直线上任意两点，分别向直线作垂线，交直线于点，．（1）线段，所在的直线有怎样的位置关系？（2）比较线段，的长短．7．木工师傅要检验一块木板的一组对边是否平行，先用直角尺的一边紧靠木板边缘，读出与这边相对的另一边缘在直角尺上的刻度，换一个位置再读一次．如图．这两次的读数如果相等，这一组对边就是平行的．请说明这样做的理由．二．三角形中位线定理（共7小题）8．（2023春•文山州期末）为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔，两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如图，先在湖边地面上确定点，再用卷之分别确定，的中点，，最后用卷尺量出，则，之间的距离是A． B． C． D．9．（2024•五华区校级模拟）如图，在中，是的中线，、分别是，的中点，连接．已知，则的长为A．2 B．4 C．6 D．810．（2023秋•驻马店期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是A．2 B．3 C．4 D．511．（2024•碑林区校级一模）如图，在中，，，是的角平分线，点是的中点，，则的长是．12．（2023秋•临淄区期末）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：三角形的中位线于第三边，并且；（2）证明：三角形中位线定理．已知：如图，是的中位线．求证：．证明：13．（2023春•舞钢市期末）在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点、分别为、的中点，则的最小值是．14．（2023秋•沂源县期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，求的度数．三．平行四边形的性质（共7小题）15．（2023春•巴彦县期末）平行四边形的周长为16，一边长为5，则另一条邻边长为．16．（2024•渝中区校级开学）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，点、点分别是、的中点，连接、，若，则的度数为A． B． C． D．17．（2023秋•福山区期末）在平行四边形中，，则等于A． B． C． D．18．（2024•南岗区校级开学）如图，在中，是的平分线，，，则．19．（2023秋•招远市期末）如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接．若，，则的长为．20．（2023春•海阳市期中）如图，在中，与相交于点，点，分别在射线与射线上．（1）当，时，求证：；（2）当，时，与还相等吗？（不写理由）（3）当，时，与还相等吗？（不写理由）（4）你能得出一个一般性的结论吗？21．（2024•沈阳开学）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点在线段上，点为的中点．（1）求证：；（2）若，分别是，的中点．①求证：是等腰三角形；②当，时，直接写出线段的长．四．平行四边形的判定（共8小题）22．（2023秋•钢城区期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标不可能是A． B． C． D．23．（2024•沙坪坝区校级开学）下列说法正确的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组邻边相等的四边形是平行四边形24．（2023秋•岱岳区期末）在四边形中，对角线与相交于点，给出五组条件：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．能判定此四边形是平行四边形的有组．A．1 B．2 C．3 D．425．（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是．26．（2023春•柯城区校级期中）在平面直角坐标系中，有四个点，，，，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则．27．（2023春•开江县校级期末）在四边形中，，，，，是上一点，且，点从出发以的速度向运动，点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为，当的值为时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．28．（2023•中山市模拟）如图，，是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形．29．（2022秋•济宁期末）如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．五．平行四边形的判定与性质（共7小题）30．（2023春•雁塔区校级月考）如图，在中，，动点以每秒的速度从点向点运动．另一动点以每秒的速度从点出发，在间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，，，四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为秒．31．（2023春•开江县校级期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，点在线段上从点以的速度运动，点在线段上从点以的速度运动．若点，同时运动，设运动时间为秒，当时，四边形是平行四边形．32．（2024•肇源县开学）如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交、的延长线于点、，连接．求证：四边形是平行四边形．33．（2023秋•河口区期末）下列说法正确的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角互补 C．有两组对角相等的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线平分每一组对角34．（2023秋•招远市期末）中，、是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是A． B． C． D．35．（2023秋•河口区期末）如图1，在中，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）如图2，当是等边三角形且边长是8，求四边形的面积．36．（2023秋•高青县期末）在中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接、如图1．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，过点作的垂线，与、、分别交于点、、如图2．①当．时，求的长；②求证：．强化训练一、单选题1．（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）平行四边形不一定具备的性质是（

）A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分2．（2023下·全国·八年级专题练习）证明：平行四边形对角线互相平分，已知：四边形是平行四边形，如图所示．求证：，．以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（）∴，．∵四边形是平行四边形．∴，．∴．∴，．A． B． C． D．3．（2023下·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，P是三角形内一点，，，，若的周长为18，则（）A．8 B． C．6 D．94．（2021下·八年级课时练习）如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．11个5．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（

）A． B． C． D．6．（2024下·全国·八年级专题练习）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等7．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在中，对角线交于点O，周长为18，过点O作交于点E，连接，则的周长为（）A．18 B．9 C．6 D．38．（2024·全国·八年级竞赛）四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）的长分别为a和b，则d与的大小关系是（

）．A． B． C． D．9．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）原命题“平行四边形的两组对角分别相等”和它的逆命题“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，下列说法正确的是（

）A．原命题和逆命题都正确 B．原命题和逆命题都错误C．原命题错误，逆命题正确 D．原命题正确，逆命题错误10．（2023下·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且，以为边作等边，过点E作，交于点F，连接，则下列结论中①；②四边形是平行四边形；③；④，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．（2023下·山东淄博·八年级统考期中）请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质：．12．（2023下·湖南永州·八年级统考期末）如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有个平行四边形．

13．（2024下·全国·八年级假期作业）一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是．14．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，四边形是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点H，交于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线相交于点P．若，则的长为．

15．（2023下·广东深圳·八年级统考期末）如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则．

16．（2024下·黑龙江大庆·八年级校联考开学考试）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是18，则的长为．17．（2024下·江苏·八年级专题练习）如图，在中，的平分线交于E，，则的度数为．18．（2023下·广东湛江·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标：．三、解答题19．（2022下·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，是的对角线，请用尺规作图法在线段上找一点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）

20．（2023下·吉林松原·八年级校联考期末）如图，在中，点E在边上，以C为圆心，长为半径画弧，交边于点F，连接、．求证：．21．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若求的度数．22．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，是由边长为的小正方形组成的网格，其中点A、、均在网格的格点上．(1)直接写出格点的面积为______；(2)在网格中画出使A、B、、四点构成平行四边形的所有点；(3)直接写出线段的长为______．23．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）如图，E、F是四边形的对角线上的两点．

(1)若，只添加一个条件：，使四边形为平行四边形．(2)在（1）的条件下，若，，求证：四边形是平行四边形．24．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在中，，，，E是上一点，连接，.(1)如图1，若分别平分和，求证：；(2)如图2，连接交于O，若，，求的长；(3)在（1）的条件下，将绕点C顺时针旋转得到，直线交于F，当时，求的面积.25．（2022下·福建厦门·八年级统考期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．(1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上．要求：①所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；②画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹．(2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）．26．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，．

(1)求证：四边形是平行四边形(2)点在上，点在上，连接、，若，，求证：(3)在（2）的条件下，连接，过点作分别交、于、两点，过点作交的延长线于点，若，，求的面积

平行四边形（5个知识点+5种题型+强化训练）知识导图知识清单知识点1．平行线之间的距离（1）平行线之间的距离从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．（2）平行线间的距离处处相等．知识点2．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE＝BC．知识点3．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．知识点4．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．知识点5．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．知识复习一．平行线之间的距离（共7小题）1．（2023春•增城区期末）如图，，点、分别在直线、上，，点在直线上，且，若、之间的距离为3，则线段的长度为6．【分析】作于，得到，由平角定义得到，由平行线的性质得到，因此．【解答】解：作于，，，，，，，，．故答案为：6．【点评】本题考查平行线之间的距离，直角三角形的性质，平行线的性质，关键是作于，得到，由直角三角形的性质即可求解．2．如图，已知，，，且点和点，，分别在直线，上，平分，，线段的长是否是两条平行线，之间的距离？为什么？【分析】根据等角的补角相等求出，再根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据垂线的定义以及平行线间的距离的定义解答．【解答】解：，，，，，，平分，，，即，，线段的长是两条平行线，之间的距离．【点评】本题考查了平行线间的距离的定义，平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并求出是解题的关键．3．（2023春•海沧区校级期末）如图，若直线，则下列哪条线段的长可以表示平行线与之间的距离A． B． C． D．【分析】平行线的距离：从平行线中的一条直线上任取一点，该点到另一条直线的距离，即为两平行线间的距离．【解答】解：，，，可以表示平行线与之间的距离，故选：．【点评】本题考查了平行线的距离的定义，熟练掌握平行线的距离的定义是解题的关键．4．（2023春•巴彦县期末）已知，点，分别为，上的点，连接，，若，则两直线与间的距离是A．5 B．6 C． D．【分析】作于，得到是等腰直角三角形，因此．【解答】解：如图，作于，，，是等腰直角三角形，，，．故选：．【点评】本题考查平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间的距离的定义；作于，得到是等腰直角三角形，即可求解．5．（2023春•宜都市期末）在同一平面内，已知直线，若直线和之间的距离为5，直线和之间的距离为2，则直线和之间的距离为3或7．【分析】（1）当直线在直线与之间时；（2）当直线在直线与外面时两种情况讨论直线与直线之间的距离．【解答】解：直线，直线与直线之间的距离为5，直线与直线之间的距离为2，当直线在直线与之间时，则直线与直线之间的距离为；当直线在直线与外面时，则直线与直线之间的距离为．故答案为：3或7．【点评】本题考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握分类讨论的思想解题．6．已知直线，，平行于，过直线上任意两点，分别向直线作垂线，交直线于点，．（1）线段，所在的直线有怎样的位置关系？（2）比较线段，的长短．【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得出结论；（2）根据平行线间的距离即可得出结论．【解答】解：（1），，；（2），，，．【点评】本题考查的是平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等是解答此题的关键．7．木工师傅要检验一块木板的一组对边是否平行，先用直角尺的一边紧靠木板边缘，读出与这边相对的另一边缘在直角尺上的刻度，换一个位置再读一次．如图．这两次的读数如果相等，这一组对边就是平行的．请说明这样做的理由．【分析】本题主要依据平行线间的距离相等．【解答】解：若两次读数都相同，则说明这两边之间的距离相等，距离相等则说明这一组对边平行．【点评】本题主要考查了平行线在生活中的应用，能够利用已学只是求解一些简单的实际生活问题．二．三角形中位线定理（共7小题）8．（2023春•文山州期末）为了更好开展劳动教育，实现五育并举，某校开设了劳动实践课程．该校的某劳动实践小组协助公园园区工人测量人工湖湖畔，两点之间的距离，该实践小组所画的示意图如图，先在湖边地面上确定点，再用卷之分别确定，的中点，，最后用卷尺量出，则，之间的距离是A． B． C． D．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：，分别为，的中点，是的中位线，，，，故选：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．9．（2024•五华区校级模拟）如图，在中，是的中线，、分别是，的中点，连接．已知，则的长为A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根据三角形的中线的概念求出，再根据三角形中位线定理求出．【解答】解：是的中线，，，、分别是，的中点，是的中位线，，故选：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的中线的概念，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．10．（2023秋•驻马店期末）如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：点，分别是边，的中点，是的中位线，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．11．（2024•碑林区校级一模）如图，在中，，，是的角平分线，点是的中点，，则的长是2．【分析】根据三角形的中位线定理，得，；根据平行线的性质和等腰三角形的判定，得，从而求解．【解答】解：如图，设点是的中点，连接，则，，．，．是的平分线，，．，．，故答案为：2．【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造三角形中位线是解题的关键．12．（2023秋•临淄区期末）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且；（2）证明：三角形中位线定理．已知：如图，是的中位线．求证：．证明：【分析】作出图形，然后写出已知、求证，延长到，使，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再求出，根据内错角相等，两直线平行判断出，然后判断出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，．【解答】解：（1）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．（2）已知：中，点、分别是、的中点，求证：，，证明：如图，延长到，使，连接，点是的中点，，在和中，，，，，，点是的中点，，，，四边形是平行四边形，，，且．故答案为：平行；等于第三边的一半；，．【点评】本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．13．（2023春•舞钢市期末）在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点、分别为、的中点，则的最小值是．【分析】当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可．【解答】解：如图，连接，点、分别为，的中点，．当时，的值最小，此时的值也最小．由勾股定理得：．，．．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等知识点，注意：三角形的中位线等于第三边的一半．14．（2023秋•沂源县期末）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，求的度数．【分析】根据中位线定理和已知，易证明是等腰三角形，进而可得出结论．【解答】解：在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，，分别是与的中位线，，，，，是等腰三角形．，，．【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．三．平行四边形的性质（共7小题）15．（2023春•巴彦县期末）平行四边形的周长为16，一边长为5，则另一条邻边长为3．【分析】根据平行四边形的对边相等，求出两邻边的和，再根据题意求解即可．【解答】解：，故答案为：3．【点评】此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．16．（2024•渝中区校级开学）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，点、点分别是、的中点，连接、，若，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据平行四边形的性质推出，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，，根据等腰三角形的性质即可得解．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，点是的中点，，，，，点是的中点，，，，，，故选：．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．17．（2023秋•福山区期末）在平行四边形中，，则等于A． B． C． D．【分析】由在中，若，根据平行四边形的性质，可求得的度数，又由平行线的性质，求得答案．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，．故选：．【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．18．（2024•南岗区校级开学）如图，在中，是的平分线，，，则2．【分析】由平行四边形的性质得，，则，而，所以，则，可求得，于是得到问题的答案．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，是的平分线，，，，，故答案为：2．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，推导出是解题的关键．19．（2023秋•招远市期末）如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接．若，，则的长为．【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到和的长，然后可以证明和全等，然后即可得到的长．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，是等边三角形，为的中点，，，延长交于点，，，在和中，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（2023春•海阳市期中）如图，在中，与相交于点，点，分别在射线与射线上．（1）当，时，求证：；（2）当，时，与还相等吗？（不写理由）（3）当，时，与还相等吗？（不写理由）（4）你能得出一个一般性的结论吗？【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，，由平行线的性质推出，由，，得到，由即可证明和，得到；（2）（3）由证明和，得到；（4）由以上结论，即可得出一般性的结论．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，，，在和中，，和，，（2）当，时，同理证明和，得到；（3）当，时，同理证明和，得到；（4）当和分别是和的相同倍数时，．【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由证明和．21．（2024•沈阳开学）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，点在线段上，点为的中点．（1）求证：；（2）若，分别是，的中点．①求证：是等腰三角形；②当，时，直接写出线段的长6．【分析】（1）由平行四边形的性质可知，，，，则，，可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，进而结论得证；（2）①由等腰三角形的性质可知，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由中位线的性质可知，由平行四边形的性质可知，可得，进而结论得证；②证明四边形是平行四边形，则，证明，则是等腰三角形，，设，则，，在中，由勾股定理求出满足要求的值，进而可得．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，，是等腰三角形，，，．（2）①证明：是等腰三角形，是中点，，，为中点，，、分别是、的中点，，四边形是平行四边形，，，是等腰三角形．②解：由题意知，，，四边形是平行四边形，，，，是等腰三角形，，，设，则，，在中，由勾股定理得，，即，解得或（不合题意，舍去），．故答案为：6．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．四．平行四边形的判定（共8小题）22．（2023秋•钢城区期末）已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标不可能是A． B． C． D．【分析】在平面直角坐标系中，找出使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形的点的坐标，即可求解．【解答】解：如图，当点坐标为或或时，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，故选：．【点评】本题考查了平行四边形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合解决问题是解题的关键．23．（2024•沙坪坝区校级开学）下列说法正确的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组邻边相等的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断．【解答】解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也可以是等腰梯形，故本选项错误；、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故本选项正确；、一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行，所以该四边形不一定是平行四边形，故本选项错误；、一组对边平行，一组邻角互补的四边形有可能是梯形或平行四边形，故本选项错误；故选：．【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．24．（2023秋•岱岳区期末）在四边形中，对角线与相交于点，给出五组条件：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．能判定此四边形是平行四边形的有组．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可．【解答】解：（1）由“，”可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；（2）由“，”可知，四边形的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；（3）由“，”可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；（4）由“，”可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；（5）由“，”可知，四边形的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意；故选：．【点评】本题考查了平行四边形的判定．（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．25．（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是．【分析】证，再由，即可得出结论．【解答】解：添加条件为：，理由：，，，，四边形为平行四边形，故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．26．（2023春•柯城区校级期中）在平面直角坐标系中，有四个点，，，，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则或4．【分析】由，得轴，而，，则，再分两种情况讨论，一是点在点左侧，则；二是点在点右侧，则，于是得到问题的答案．【解答】解：，，轴，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，，，当点在点左侧，如图1，则，当点在点右侧，如图2，则，故答案为：或4．【点评】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，由，确定轴是解题的关键．27．（2023春•开江县校级期末）在四边形中，，，，，是上一点，且，点从出发以的速度向运动，点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为，当的值为或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．【解答】解：①当点在线段上，即，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则有，解得，②当在线段上，即，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则有，解得，综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，故答案为：或．【点评】本题考查了平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．28．（2023•中山市模拟）如图，，是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形．【分析】根据平行线的性质得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，即可解答．【解答】证明：，，在和中，，，，，，四边形是平行四边形．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．29．（2022秋•济宁期末）如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．【分析】分别从当运动到和之间、当运动到和之间去分析求解即可求得答案．【解答】解：是的中点，，①当运动到和之间，设运动时间为，则得：，解得：；②当运动到和之间，设运动时间为，则得：，解得：，当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．五．平行四边形的判定与性质（共7小题）30．（2023春•雁塔区校级月考）如图，在中，，动点以每秒的速度从点向点运动．另一动点以每秒的速度从点出发，在间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，，，四点组成的四边形是平行四边形时，则运动时间为0或4秒．【分析】根据平行四边形的性质可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．【解答】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形，以点、、、为顶点组成平行四边形，，点以每秒的速度，点以每秒的速度运动，点运动时间为秒，此时点从点运动到点，又从点运动到点，①点的运动路线是，可得，解得：；②点的运动路线是，可得，解得：；综上所述，秒或4秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形，故答案为：0或4．【点评】此题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．31．（2023春•开江县校级期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，点在线段上从点以的速度运动，点在线段上从点以的速度运动．若点，同时运动，设运动时间为秒，当2时，四边形是平行四边形．【分析】先根据平行四边形的性质求出的长，从而得到的长，再由平行四边形的性质得到进而得到关于的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得，，四边形是平行四边形，，，，四边形是平行四边形，，，，当时，四边形是平行四边形，故答案为：2．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对角线互相平分是解题的关键．32．（2024•肇源县开学）如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交、的延长线于点、，连接．求证：四边形是平行四边形．【分析】先由四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，即．再由点、分别是边、的中点，根据三角形中位线定理得出，即，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得出四边形是平行四边形；【解答】证明：四边形是平行四边形，，即．点、分别是边、的中点，，即，四边形是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，线段中点的定义，解题的关键是熟记平行四边形的各种判定方法并且熟练运用．33．（2023秋•河口区期末）下列说法正确的是A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角互补 C．有两组对角相等的四边形是平行四边形 D．平行四边形的对角线平分每一组对角【分析】由平行四边形的判定分别对各个说法进行判断即可．【解答】解：．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，错误，不符合题意；．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误，不符合题意；．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；．菱形对角线平分每一组对角，平行四边形的对角线不平分每一组对角，错误，不符合题意；故选：．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的评定方法是解题的关键．34．（2023秋•招远市期末）中，、是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是A． B． C． D．【分析】连接与相交于，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．【解答】解：如图，连接与相交于，在中，，，要使四边形为平行四边形，只需证明得到即可；、若，则，即，故本选项不符合题意；、能够利用“角角边”证明和全等，从而得到，故本选项不符合题意；、若，则无法判断，故本选项符合题意；、由，从而推出，然后得出，，，结合选项可证明四边形是平行四边形；故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．35．（2023秋•河口区期末）如图1，在中，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）如图2，当是等边三角形且边长是8，求四边形的面积．【分析】（1）由三角形中位线定理得，，再由，得，即可得出结论；（2）过点作于，由等边三角形的性质得，，则，再由含角的直角三角形的性质得，由勾股定理得，然后由，即可求解．【解答】（1）证明：、分别为、的中点，是的中位线，，，，，四边形是平行四边形．（2）解：过点作于，如图2所示：是等边三角形，为的中点，，，，，，，．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．36．（2023秋•高青县期末）在中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接、如图1．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，过点作的垂线，与、、分别交于点、、如图2．①当．时，求的长；②求证：．【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形；（2）①过点作于点，先根据勾股定理求出，由得，即可求出答案；②根据，，得，，则有，再证，得出．【解答】（1）证明：在平行四边形中，点是对角线的中点，，，，在与中，，，且，四边形是平行四边形；（2）①解：如图，过点作于点，，，，，，，，，，，②证明：，，，，，，，，，，，，．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．强化训练一、单选题1．（2023下·湖北武汉·八年级统考期中）平行四边形不一定具备的性质是（

）A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分【答案】C【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，邻角互补，逐项判断即可解答．【详解】解：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，邻角互补，平行四边形不一定有的性质是对角线相等，即C选项，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知性质是解题的关键．2．（2023下·全国·八年级专题练习）证明：平行四边形对角线互相平分，已知：四边形是平行四边形，如图所示．求证：，．以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（）∴，．∵四边形是平行四边形．∴，．∴．∴，．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定和性质等知识，可以从分析法入手，由果索因，进而得出结果，解题的关键是从条件开始，有条理地书写和表达．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∴，∴，，故答案为：．3．（2023下·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，P是三角形内一点，，，，若的周长为18，则（）A．8 B． C．6 D．9【答案】C【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质，延长分别交于G、H，易得四边形是平行四边形，是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出即可．【详解】解：延长分别交于G、H，则由，，，四边形是平行四边形，∴，是等边三角形，，是等边三角形，∴，又的周长为18，∴，故选：C．4．（2021下·八年级课时练习）如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．11个【答案】C【分析】根据平行四边形的定义即可求解．【详解】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形，共9个，故选：C．【点睛】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．5．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，，要使四边形ABCD成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】略6．（2024下·全国·八年级专题练习）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等【答案】C【分析】根据平行四边形的判定定理进行推导即可．本题考查的是平行四边形的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【详解】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形，不符合题意；B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形，不符合题意；C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形，符合题意；D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形，不符合题意；故选：C．7．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在中，对角线交于点O，周长为18，过点O作交于点E，连接，则的周长为（）A．18 B．9 C．6 D．3【答案】B【分析】由平行四边形的对角线相交于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，又，继而可得的周长等于．此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴∵周长为18，∴，∵，∴，∴的周长为：．故选：B．8．（2024·全国·八年级竞赛）四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）的长分别为a和b，则d与的大小关系是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系，构造三角形的中位线是解答本题的关键，设G，F分别是，的中点，连结，取中点E，连接，，根据三角形的中位线定理可得，，由三角形的三边关系可得，即，结合与不平行，即得答案．【详解】如图，设G，F分别是，的中点，连结，取中点E，连接，，是的中点，是的中点，，，即，又与不平行，所以．故选：C．9．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）原命题“平行四边形的两组对角分别相等”和它的逆命题“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，下列说法正确的是（

）A．原命题和逆命题都正确 B．原命题和逆命题都错误C．原命题错误，逆命题正确 D．原命题正确，逆命题错误【答案】A【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，根据平行四边形的判定定理和性质定理判断即可，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．【详解】解：原命题“平行四边形的两组对角分别相等”是真命题，它的逆命题“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”是真命题，故选：．10．（2023下·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且，以为边作等边，过点E作，交于点F，连接，则下列结论中①；②四边形是平行四边形；③；④，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】连接，作于H，过点A作，垂足为G，首先证明，再证明是等边三角形即可解决问题；【详解】解：连接，作于H，过点A作，垂足为G，∵都是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，故②正确，∵，∴，故①正确，∵，故③正确，∵是边长为3的等边三角形，，，∴，故④错误，故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题11．（2023下·山东淄博·八年级统考期中）请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质：．【答案】对角线互相平分（答案不唯一）【分析】菱形、矩形、正方形都有的性质即为平行四边形的性质，解题即可．【详解】解：∵菱形、矩形、正方形都是平行四边形，∴共同的性质为：对角线互相平分，对边平行且相等，对角相等；故答案为：对角线互相平分（答案不唯一）．【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．12．（2023下·湖南永州·八年级统考期末）如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有个平行四边形．

【答案】3【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解．【详解】解：依题意，，则四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，∴有个平行四边形故答案为：．【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．13．（2024下·全国·八年级假期作业）一个四边形的四条边的长度依次为a，b，c，d，且满足，则这个四边形一定是．【答案】平行四边形【解析】略14．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，四边形是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点H，交于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线相交于点P．若，则的长为．

【答案】【分析】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的作图、勾股定理等知识，根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，由作图知，平分，平分，∴，∴，∴，故答案为：．15．（2023下·广东深圳·八年级统考期末）如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则．

【答案】/0.6【分析】取中点可证得，进一步推出故可得出结论．【详解】解：取中点，则是中位线，∴，，∴，∴设，则，，∴，故答案为．

【点睛】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点．结合条件进行几何推导是解题关键．16．（2024下·黑龙江大庆·八年级校联考开学考试）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是18，则的长为．【答案】3【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形中位线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质和三角形中位线的性质是解题关键．首先根据“平行四边形两条对角线互相平分”解得，再结合的周长求得的值，然后根据“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半”，即可获得答案．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，，∵，∴，∵的周长是18，即，∴，又∵点，分别是线段，的中点，∴．故答案为：3．17．（2024下·江苏·八年级专题练习）如图，在中，的平分线交于E，，则的度数为．【答案】/120度【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，由在平行四边形中，的平分线交于E，易证得，又由，即可求得的大小．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵的平分线交于E，，∴，∴，故答案为：．18．（2023下·广东湛江·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标：．【答案】或或【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可.【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系．当，时，；当，时，；当，时，．故答案为：或或．三、解答题19．（2022下·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，是的对角线，请用尺规作图法在线段上找一点，连接，使．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析【分析】作线段的垂直平分线交于点E，连接即可．【详解】解：如图，分别以为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于两点，过这两点作直线，交于点E，连接，则点为所作．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题，属于中考常考题型．20．（2023下·吉林松原·八年级校联考期末）如图，在中，点E在边上，以C为圆心，长为半径画弧，交边于点F，连接、．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查平行四边形的性质及三角形全等的判定，根据画图得到，根据平行四边形的性质得到，，再根据三角形边角边判定即可得到证明；【详解】解：∵以C为圆心，长为半径画弧，交边于点F，∴，∵四边形平行四边形，，，在和中，，∴．21．（2024下·全国·八年级专题练习）如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论；（2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题．此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论．【详解】（1）证明：在中，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，∵∴，∴，∴，∵∴∴．22．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，是由边长为的小正方形组成的网格，其中点A、、均在网格的格点上．(1)直接写出格点的面积为______；(2)在网格中画出使A、B、、四点