人教版数学八年级上册 寒假作业11 分式方程的求解与应用（梳理讲练培优） 同步练习 含答案

分式方程的求解与应用（知识回顾+9种重难点培优题型+真题演练共42题）【原卷版】TOC\o"1-2"\h\u知识回顾技巧点拨 1知识点梳理01：分式方程的概念 1知识点梳理02：分式方程的解法 2知识点梳理03：解分式方程产生增根的原因 2知识点梳理04：分式方程的应用 2重点难点培优讲练 3题型1解分式方程（化为一元一次) 3题型2根据分式方程解的情况求值 4题型3分式方程无解问题 4题型4列分式方程 5题型5分式方程的行程问题 5题型6分式方程的工程问题 7题型7分式方程的经济问题 8题型8分式方程和差倍分问题 10题型9分式方程的其它实际问题 11期末真题实战演练 13知识点梳理01：分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.【易错点拨】（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.知识点梳理02：分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.知识点梳理03：解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.【易错点拨】增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.知识点梳理04：分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.题型1解分式方程（化为一元一次)【精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算：a2−1ab⋅2ab解方程：4+xx−1−5=2xx−1；【变式1】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）关于x的分式方程mx−5A．m<−5时，方程的解为负数 B．方程的解是x=m+5C．m>−5时，方程的解是正数 D．以上都不对【变式2】（25-26八年级上·山东东营·期中）因式分解：m2n−3+43−n；解方程：8x2−4题型2根据分式方程解的情况求值【精讲】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于x的分式方程21−x(1)若方程的增根为x=1，求m的值．(2)若方程无解，求m的值．【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程ax+1−3=1−xx+1有负整数解，且关于y的不等式组2(a−y)≤−y−43y+4A．2 B．0 C．−2 D．4【变式2】（25-26八年级上·山东·课后作业）若分式方程k−1x2−1−1题型3分式方程无解问题【精讲】（25-26八年级上·广西贵港·期中）若分式方程mx2−4−2A．2 B．4 C．2或−2 D．4或−8【变式1】．（25-26八年级上·湖南张家界·期中）如果关于x的方程4xx−2−1=m2−x无解，则A．2 B．−8 C．−7 D．7【变式2】（25-26八年级上·山东·课后作业）关于x的分式方程mx+2−4题型4列分式方程【精讲】（25-26八年级上·山东·课后作业）一艘轮船在静水中的速度为30kmh，它沿江顺流航行144km与逆流航行96A．14430+v=96C．14430−v=96【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为．【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·月考）某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，7h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，2h完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运xhA．114+1C．(17+题型5分式方程的行程问题【精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）下表是学习分式方程应用时，老师提出的问题和两名同学用两种方法列出的正确方程．问题：甲、乙两地相距1400km小明：1400小红：1400下列判断正确的是（

）A．小明假设的未知数是高铁列车的平均速度B．高铁列车的平均速度为100千米/时C．小红假设的未知数是搭乘普通列车从甲地到乙地的时间D．普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时【变式1】（25-26八年级上·广西桂林·期中）无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分30秒，刷新了扑翼无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鹗”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟．(1)“信鸽”仿生飞行器的速度是多少千米/时？(2)已知“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分30秒，且“云鹗”仿生飞行器的续航时间与“信鸽”相同，求在各自续航的时间内，“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行多少千米？（结果精确到0.1）【变式2】（2022八年级下·江西·竞赛）某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶23a千米，则11:20时距离B地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶34a千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11:20时已超过题型6分式方程的工程问题【精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树xx>80(1)若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值；(2)现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务．①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数；②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若A−B>0，则A>B；若A−B=0，则A=B；若A−B<0，则A<B．）【变式1】（25-26八年级上·河北沧州·期中）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求：(1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？【变式2】（25-26八年级上·河南濮阳·月考）我国自主研发的HGCZ−2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个人工工作队每小时更换钢轨公里数的2倍，它更换100公里钢轨比一个人工工作队更换80公里钢轨所用时间少30(1)求一辆HGCZ−2000(2)现在有一个紧急维修任务，需要在12小时内（包含12小时）完成120公里铁路钢轨的更换，铁路指挥部计划使用一台HGCZ−2000题型7分式方程的经济问题【精讲】（25-26八年级上·湖南永州·期中）在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2025年5月21日是第六个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜30元；用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同．(1)求甲、乙两种茶叶礼盒的单价；(2)某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1100元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒．【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%．（商品利润率(1)当售出的乙种商品的件数是售出的甲种商品件数的1.5倍时，这个商人得到的总利润率为50%，设甲种商品的进价为a元，乙种商品的进价为b元，请求出a(2)当售出的甲、乙两种商品的件数相等时，求此时这个商人的总利润率．【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息：信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍；信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍；(1)若设甲商品销售单价为x元/千克，请依据上述信息填表；销售单价（元/千克）质量（千克）销售总价（元）乙60元丙270元(2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？(3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了m元（m为整数且1≤m≤10）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为S1，设琪琪购买商品的质量为S2，直接写出S题型8分式方程和差倍分问题【精讲】（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务．素材1某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍．素材2该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克．(1)任务1：求在该果园采摘明5−5的单价，(2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值；(3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送）【变式1】（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧BOT》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的AI驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产Alpha和Beta两款AI机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．5月20日，公司采购部门调研市场后得知，花费320元购买的主控芯片比花200元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的2倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用6个主控芯片、48个传感器模块恰好能制作1个Alpha机器人和1个Beta机器人，制作1个Alpha机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是1:7，制作1个Beta机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是1:9．(1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？(2)求制作一个Alpha机器人和一个Beta机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？(3)市场优惠促销，购买3个主控芯片赠送1个传感器模块．该公司发放活动经费25000元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作Alpha、Beta机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩515个．如果一个Alpha和一个Beta机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·期中）【调查活动】小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：①甲、乙两校图书室各藏书18000册；②甲校比乙校人均图书册数多2册；③甲校的学生人数比乙校的人数少10%．【交流质疑】小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究．【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．题型9分式方程的其它实际问题【精讲】（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设某个量为x，根据题意可列方程89630−x+896x=120A．只能表示绫布的长度B．只能表示罗布每尺的价格C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.燃油车油箱容积：40油价：8元/续航里程：m每千米行驶费用：________元新能源车电池容量：60kw电价：1元/续航里程：m每千米行驶费用：________元(1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为________，新能源车每千米行驶的费用为________；（用含m的代数式表示）(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用；(3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用）【变式2】（25-26八年级上·广西来宾·期中）新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的A，B两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个A种零件或10个B种零件．车间负责人安排工人先加工A种零件，完成后再加工B种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有x名工人．可列方程为（

）A．240016x+2400C．240016x+24001．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（）A．10030+x=60C．10030−x=602．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程xx−3−2=a3−x的解为正数，则aA．a>−6且a≠−3 B．a>−6 C．a<−6 D．a<−6且a≠−93．（23-24八年级下·重庆黔江·期末）迅速发展的5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的100倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快49.5秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（

）A．500100x−500C．5000x−5004．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为10x−6=40x，则A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数5．（23-24八年级上·山西·期末）若关于x的分式方程a+2x+1=1的解是非正数，则a的取值范围是（A．a≤−1 B．a<−1 C．a>−1 D．a≤−1且a≠−26．（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于x的方程2x+1x−3=m7．（23-24八年级上·江西赣州·期末）若关于x的分式方程ax−2+22−x8．（25-26八年级上·安徽·期末）若关于x的方程1x−2+2=m−x2−x9．（21-22八年级下·四川成都·期末）若关于x的方程2x+ax−2=−1的解为非负数，则a的取值范围是10．（23-24八年级上·全国·期末）关于x的方程x−2x+2−ax211．（25-26八年级上·内蒙古·期末）解方程：xx−112．（25-26八年级上·湖南娄底·期中）某学生用品超市准备购进A、B两种类型的文具袋进行销售，若每个A型文具袋比每个B型文具袋的进价少2元，且用800元购进A型文具袋的数量与用1000元购进B型文具袋的数量相同．解答下列问题：(1)每个A型、B型文具袋的进价分别是多少元?(2)设该超市购进B型文具袋m个．若购进A型文具袋的数量比B型文具袋的数量的3倍少50个，且购进A型、B型文具袋的总数量不超过910个，该超市最多购进B型文具袋多少个?13．（25-26八年级上·河北邢台·期末）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下．嘉嘉我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元淇淇你肯定搞错了设每支圆珠笔的价格为x元．(1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了．(2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵m0<m<6元，求出整数m14．（25-26八年级上·广西来宾·期中）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣0.2吨，且A型机器人分拣6吨所用时间与B型机器人分拣4吨所用时间相等．(1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型垃圾分拣机器人a台，B型垃圾分拣机器人b台．请用含a的代数式表示b；(3)在（2）问中，购买A型垃圾分拣机器人a台用200万元，购买B型垃圾分拣机器人b台用420万元，已知A型单价是B型单价的53，求购买A型、B15．（24-25八年级上·福建厦门·期末）小梧善于从数学的角度发现问题．在一次数学建模活动中，小梧提出：在意外事件发生时，建筑物内的人员如何才能尽快地疏散撤离？他的思考引起了大家对安全疏散问题的研究兴趣．数学建模小组对某教学楼第一层楼两间相同的教室（如图，左边是化学实验室，右边是器材室）展开研究．为简化问题，他们提出如下模型假设：①疏散时有秩序地从前、后门撤离出教学楼；②出于安全考虑，按单列行进撤离，当从后门撤离的第一个学生到达前门时，若从前门撤离的学生还未疏散完毕，此时，从后门撤离的学生需在前门左侧等，待从前门撤离的学生全部撤出教室后，他们的队伍再继续前进；③队列中学生间隔d（单位：m）是均匀的，队列中人员身体的平均厚度为a（单位：m）；④队列匀速地撤出教学楼；⑤疏散队伍行进速度ν（单位：ms⑥教室内人群到教室门口的时间和学生出门时与门框的距离忽略不计．设化学实验室内的学生数为n+1，其中n为正整数，每间教室的长度为l（单位：m），前后门的宽度均为w（单位：m）．(1)求从化学实验室前门撤离的第一个学生到达安全出口所用的时间；(2)查阅资料，得知初中生身体的平均厚度a为0.2m．经测量，每间教室的长度l为8m，前后门的宽度w为1m．①在一次疏散演练中，化学实验室内有41名学生，其中21名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，撤离过程中保持队列学生间隔为0.5m．请你判断从后门撤离的第一个学生到达前门时是否需要等待，并说明理由；②本学期学校组织了两次疏散演练．两次演练，化学实验室内均有41名学生，且均有21名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离在第一次演练中学生间隔为0.5m，第二次学生间隔为0.8m，第一次的行进速度比第二次的一半多1m(3)若化学实验室内有x名学生从前门撤离，其余学生从后门撤离，求化学实验室内的学生全部撤离到安全出口所用的时间．（用含字母的式子表示）

分式方程的求解与应用（知识回顾+9种重难点培优题型+真题演练共42题）【解析版】TOC\o"1-2"\h\u知识回顾技巧点拨 1知识点梳理01：分式方程的概念 1知识点梳理02：分式方程的解法 2知识点梳理03：解分式方程产生增根的原因 2知识点梳理04：分式方程的应用 2重点难点培优讲练 3题型1解分式方程（化为一元一次) 3题型2根据分式方程解的情况求值 6题型3分式方程无解问题 8题型4列分式方程 10题型5分式方程的行程问题 11题型6分式方程的工程问题 14题型7分式方程的经济问题 17题型8分式方程和差倍分问题 20题型9分式方程的其它实际问题 24期末真题实战演练 27知识点梳理01：分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.【易错点拨】（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.知识点梳理02：分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.知识点梳理03：解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.【易错点拨】增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.知识点梳理04：分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.题型1解分式方程（化为一元一次)【精讲】（25-26八年级上·山东菏泽·期中）计算：（1）a2（2）a−a解方程：（3）4+xx−1（4）2x−2【答案】（1）2a−2a+1；（2）aa−2；（3）【思路引导】本题主要考查分式的运算及分式方程的解法，熟练掌握分式的运算及分式方程的解法是解题的关键；（1）根据分式的乘法可进行求解；（2）根据分式的混合运算可进行求解；（3）先去分母，然后再求解方程即可；（4）先去分母，然后再求解方程即可．【规范解答】解：（1）a2（2）a−a（3）4+xx−1去分母得：4+x−5x−1去括号得：4+x−5x+5=2x，整理得：6x=9，解得：x=3经检验：当x=32时，∴x=3（4）2x−2去分母得：2x+2去括号得：2x+4+6x=3x−6，整理得：5x=−10，解得：x=−2，经检验：当x=−2时，x2∴x=−2是方程的增根，原方程无解．【变式1】（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）关于x的分式方程mx−5A．m<−5时，方程的解为负数 B．方程的解是x=m+5C．m>−5时，方程的解是正数 D．以上都不对【答案】A【思路引导】本题主要考查了解分式方程，分式方程的解等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，解分式方程mx−5=1，得到x=m+5，但需满足分母不为零，即x≠5，从而【规范解答】解：∵mx−5=1，且∴m=x−5，解得x=m+5，又∵x≠5，∴m+5≠5，即m≠0，当m=0时，方程无解，对于选项A：当m<−5时，m≠0，方程有解x=m+5，且m+5<0，故解为负数，A正确，符合题意；对于选项B：当m=0时方程无解，故B错误，不符合题意；对于选项C：当m>−5时，若m=0无解，故解不一定为正数，C错误，不符合题意；对于选项D：以上A正确，故不符合题意；故选：A．【变式2】（25-26八年级上·山东东营·期中）（1）因式分解：m2（2）因式分解：2m（3）解方程：8（4）解方程：3【答案】（1）m+2m−2n−3；（2）2mn【思路引导】本题主要考查了因式分解，解分式方程，解题的关键是掌握各运算法则．（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（3）按照分式方程的步骤进行求解即可；（4）按照分式方程的步骤进行求解即可．【规范解答】（1）解：m==m+2（2）解：2=2mn=2mn(m−n)（3）解：8整理得：1−去分母得：x2整理得：−4−2x=−8，解得：x=2，经检验：当x=2时，x2∴x=2是原方程的增根，原方程无解；（4）解：3方程的两边同乘xx−13解得，−x=−3，即x=3，经检验，当x=3时，x2所以，原方程的根是x=3．题型2根据分式方程解的情况求值【精讲】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知关于x的分式方程21−x(1)若方程的增根为x=1，求m的值．(2)若方程无解，求m的值．【答案】(1)−2；(2)2或−2．【思路引导】本题主要考查分式方程的增根及无解，关键是将分式方程化为整式方程，结合增根的定义（使分母为0的根）分析，易错点是混淆“增根导致无解”与“整式方程本身无解”的情况．（1）先将分式方程化为整式方程，把增根x=1代入整式方程求m；（2）分“整式方程无解”和“整式方程的解是增根”两种情况求m．【规范解答】（1）解：2方程两边同时乘以x−1得：−2=mx−2整理得：(m−2)x=−4将增根x=1代入整式方程：m−2=−4解得m=−2（2）分式方程无解分两种情况：情况1：整式方程(m−2)x=−4无解当m−2=0时，整式方程无实数解，故分式方程无解，此时m=2；情况2：整式方程的解是增根增根为x=1（使分母为0的根），由（1）知此时m=−2；所以m的值为2或−2．【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）关于x的分式方程ax+1−3=1−xx+1有负整数解，且关于y的不等式组2(a−y)≤−y−43y+4A．2 B．0 C．−2 D．4【答案】C【思路引导】本题考查了解分式方程，不等式组无解问题．首先解分式方程得到x=a−42，根据有负整数解且x≠−1，得a<4，a为偶数且a≠2．再解不等式组，由无解条件得a≥−2．综合得a=−2或【规范解答】解：ax+1去分母得a−3(x+1)=1−x，化简得a−3x−3=1−x，∴−2x=4−a，即x=a−4∵方程有负整数解且x≠−1，∴a−42<0且为整数，且∴a<4，a为偶数，且a≠2．∵不等式组2(a−y)≤−y−4①3y+4解第①不等式2(a−y)≤−y−4，得2a+4≤y，解第②不等式3y+42≤y+1∵不等式组无解，∴2a+4>−2，即a>−3，∴a≥−2（a为整数）．综合得a为偶数，−2≤a<4且a≠2，∴a=−2或a=0．∴和为−2+0=−2．故选：C．【变式2】（25-26八年级上·山东·课后作业）若分式方程k−1x2−1−1【答案】k=9【思路引导】本题考查解分式方程，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是x=−1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．【规范解答】解：方程两边都乘x(x+1)(x−1)，得x(k−1)−(x+1)=(k−5)(x−1)，∵增根为x=−1，∴1−k=k−5∴k=9．题型3分式方程无解问题【精讲】（25-26八年级上·广西贵港·期中）若分式方程mx2−4−2A．2 B．4 C．2或−2 D．4或−8【答案】D【思路引导】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．原分式方程可解得x=m+2【规范解答】解：m两边同乘公分母x−2x+2m−2m−2x+4=x+2m+2=3x，x=m+2原分式方程无解即x=m+2即x=2或x=−2，当x=2时，则m+23=2，解得当x=−2时，则m+23=−2，解得∴m=4或m=−8时方程无解．故选：D．【变式1】．（25-26八年级上·湖南张家界·期中）如果关于x的方程4xx−2−1=m2−x无解，则A．2 B．−8 C．−7 D．7【答案】B【思路引导】本题考查解分式方程，熟知方程无解的情况通常发生在解出的根使分母为零（即增根）时．先化简方程，利用分母关系2−x=−x−2，求解x关于m的表达式，进而求出m【规范解答】解：4xx−24xx−24xx−24x+mx−2∴4x+mx−2两边乘以x−2（x≠2），得4x+m=x−2，解得：3x=−2−m，∴x=−2−m当x=2时，分母为零，原方程无解，令x=2，则2=−2−m解得：m=−8．故当m=−8时，方程无解．故选：B．【变式2】（25-26八年级上·山东·课后作业）关于x的分式方程mx+2−4【答案】4【思路引导】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的含义是解决本题的关键．分式方程先去分母，化简得x=m−6，根据分式方程无解得到x=−2，即可求解．【规范解答】解：m去分母得：m−4=x+2，化简得：x=m−6，∵方程无解，∴x+2=0，∴x=−2，∴−2=m−6，解得：m=4，故答案为：4．题型4列分式方程【精讲】（25-26八年级上·山东·课后作业）一艘轮船在静水中的速度为30kmh，它沿江顺流航行144km与逆流航行96A．14430+v=96C．14430−v=96【答案】A【思路引导】本题考查了根据实际问题列分式方程．根据顺流速度和逆流速度与静水速度的关系，顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，再根据时间相等列方程．【规范解答】解：∵顺流速度=30+v，逆流速度=30−v，顺流时间=14430+v，逆流时间∵时间相等，∴14430+v故选：A．【变式1】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为．【答案】1200【思路引导】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找到等量关系是解题的关键．设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高25%，结果提前了8天完成任务，列方程即可．【规范解答】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为(1+25%)x米，原计划完成任务所需时间为1200x天，实际所需时间为12001200x故答案为：1200x【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·月考）某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，7h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，2h完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运xhA．114+1C．(17+【答案】A【思路引导】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设单独采用机械装运xh【规范解答】解：∵先用人工装运，7h∴人工装运的工作效率为114∵单独采用机械装运xh∴机械装运的工作效率为12x根据题意得：114故选：A．题型5分式方程的行程问题【精讲】（25-26八年级上·广东广州·期中）下表是学习分式方程应用时，老师提出的问题和两名同学用两种方法列出的正确方程．问题：甲、乙两地相距1400km小明：1400小红：1400下列判断正确的是（

）A．小明假设的未知数是高铁列车的平均速度B．高铁列车的平均速度为100千米/时C．小红假设的未知数是搭乘普通列车从甲地到乙地的时间D．普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时【答案】D【思路引导】本题考查分式方程的应用，关键是理解路程、速度、时间的关系，并通过方程求解，小明的方程中未知数x是普通列车的速度，小红的方程中未知数y是高铁的时间；通过求解方程可得普通列车时间为14小时，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．【规范解答】解：小明的方程为1400x−14002.8x=9，根据时间=路程÷速度，可得1400解方程1400x−14002.8x=9小红的方程为1400y=2.8×1400y+9，其中1400y解1400y=2.8×1400∴y+9=14h故选：D．【变式1】（25-26八年级上·广西桂林·期中）无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔．西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分30秒，刷新了扑翼无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录．科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鹗”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向5千米高的空中比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟．(1)“信鸽”仿生飞行器的速度是多少千米/时？(2)已知“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分30秒，且“云鹗”仿生飞行器的续航时间与“信鸽”相同，求在各自续航的时间内，“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行多少千米？（结果精确到0.1）【答案】(1)30千米/小时(2)30.9千米【思路引导】本题考查分式方程的应用，有理数的运算的实际应用，精确度，掌握相关知识解决问题的关键．（1）设“云鹗”仿生飞行器的速度为x千米/时，则“信鸽”的速度为1.5x千米/时，表示出各自飞5千米的时间，以“信鸽”仿生飞行器飞行5千米比“云鹗”仿生飞行器少用5分钟为等量关系列方程即可；（2）将3小时5分30秒换算为以小时为单位，分别计算两者飞行的路程，然后做差即可，最后按题目要求进行精确．【规范解答】（1）解：设“云鹗”仿生飞行器的速度为x千米/时，则“信鸽”的速度为1.5x千米/时，5解得x=20经检验，x=20是原方程的解，则“信鸽”的速度为1.5x=1.5×20=30千米/时；答：“信鸽”仿生飞行器的速度是30千米/时．（2）解：3小时5分30秒=3+5“信鸽”飞行的路程：30×311“云鹗”飞行的路程：20×311多飞行的路程：92.75−61.83=30.92≈30.9千米．答：“信鸽”仿生飞行器比“云鹗”仿生飞行器多飞行约30.9千米．【变式2】（2022八年级下·江西·竞赛）某汽车从A地驶向B地，若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶23a千米，则11:20时距离B地还有10千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶34a千米，则11点到达，若每分钟行驶a千米，则11:20时已超过【答案】54千米【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用.设AB两地距离为x千米，根据题意得到xa=x−10【规范解答】解：设AB两地距离为x千米，若每分钟行驶a千米，则从A地驶向B地共需xa分钟，若每分钟行驶23a千米，则从A地驶向B地共需x23根据若每分钟行驶a千米，则11点到达，若每分钟行驶23a千米，则11:20时距离B同理可得x∴xa整理得2x=3x−30−40a解得a=3经检验a=3答：AB两地距离为54千米．题型6分式方程的工程问题【精讲】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某校为了美化校园环境，开展植树活动，现有甲、乙两个植树小组，甲组每天植树xx>80(1)若甲组植树1000棵与乙组植树1200棵所用的时间相同，求x的值；(2)现让甲组完成植树160棵的任务，乙组完成植树200棵的任务．①直接用含x的式子分别表示甲组完成该任务、乙组完成该任务所需要的天数；②嘉淇：“甲组完成任务所用的时间更少．”请你利用作差法，通过计算说明嘉淇的说法是否正确．（作差法：若A−B>0，则A>B；若A−B=0，则A=B；若A−B<0，则A<B．）【答案】(1)100(2)①160x，200【思路引导】本题主要考查了分式方程的实际应用、分式加减的实际应用、列代数式等知识点，读懂题意、根据题中的数量关系正确列出方程和代数式是解题的关键．（1）甲组每天植树x棵，则乙组每天植树x+20棵，由题意得1000x（2）①依据题意直接列式即可；②利用作差法可得160x−200【规范解答】（1）解：甲组每天植树x棵，则乙组每天植树x+20棵，根据题意列分式方程得：1000x整理得，200x=20000，解得x=100，经检验，x=100是原分式方程的解，∴x的值是100．（2）解：①∵甲组每天植树x棵，则乙组每天植树x+20棵，∴甲组完成160棵任务需要160x天，乙组完成200棵任务需要200故答案为：160x，200②∵=====40∵x>80，∴80−x<0，∴4080−xx∴160∴甲组完成任务所用的时间更少，∴嘉淇的说法正确．【变式1】（25-26八年级上·河北沧州·期中）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求：(1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？(2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？【答案】(1)甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天(2)①从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队；②从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队【思路引导】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需1.5x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，列出分式方程，解方程即可；（2）①根据（1）中的结果比较即可解答；②根据（1）中的结果求出甲单独完成，乙单独完成的费用比较，再结合暑假时间即可解答．【规范解答】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队1.5x天，由题意：1x解得：x=50，经检验：x=50是原方程的解，且符合题意．则1.5x=75（天），答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天；（2）解：①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天，∵50<51<75，∴甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成，∴从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队；②若甲单独完成，其费用为：50×1000=50000（元），若乙单独完成，其费用为：75×700=52500（元），∵52500>50000，∴从资金的角度考虑，学校应选择甲工程队，且甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成．综上，从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队．【变式2】（25-26八年级上·河南濮阳·月考）我国自主研发的HGCZ−2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个人工工作队每小时更换钢轨公里数的2倍，它更换100公里钢轨比一个人工工作队更换80公里钢轨所用时间少30(1)求一辆HGCZ−2000(2)现在有一个紧急维修任务，需要在12小时内（包含12小时）完成120公里铁路钢轨的更换，铁路指挥部计划使用一台HGCZ−2000【答案】(1)2(2)8【思路引导】本题考查分式方程的应用，不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．（1）设人工工作队每小时更换钢轨x公里，则一辆HGCZ−2000型快速换轨车每小时更换钢轨2x（2）设需要y个人工工作队，使用1辆换轨车和y个人工队同时作业总速度为每小时y+2公里，需要在12小时内（包含12小时）完成120公里铁路钢轨的更换，根据速度乘以时间为完成的工作总量要不小于120公里列不等式求解即可．【规范解答】（1）解：设人工工作队每小时更换钢轨x公里，则一辆HGCZ−2000型快速换轨车每小时更换钢轨2x80解得x=1经检验x=1是原方程的解，2x=2×1=2公里，答：一辆HGCZ−2000（2）解：设需要y个人工工作队，12×(2+y)≥12024+12y≥120y≥8，∴至少需要8个人工工作队．题型7分式方程的经济问题【精讲】（25-26八年级上·湖南永州·期中）在成都，茶是一方经济产业，也是一脉厚重文化，2025年5月21日是第六个国际茶日，作为中国首次成功推动设立的农业领域的国际性节日，旨在赞美茶叶对经济、社会和文化的价值．某茶叶店销售甲、乙两种相同重量的茶叶礼盒，甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜30元；用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同．(1)求甲、乙两种茶叶礼盒的单价；(2)某企业为外国访问团友人准备成都地方礼品，需要从该店购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过1100元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒．【答案】(1)甲种茶叶礼盒的单价是120元，乙种茶叶礼盒的单价是150元(2)最少需购买4盒甲种茶叶礼盒【思路引导】本题考查了分式方程与一元一次不等式的应用，理解题意列出方程与不等式是解题关键；（1）设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是x+30元，根据等量关系：用750元购买乙种茶叶礼盒数量与用600元购买甲种茶叶礼盒数量相同，列出方程并求解即可，注意要检验；（2）设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买8−y盒乙种茶叶礼盒，根据不等关系式：总金额不超过1100元，列出不等式并求解即可．【规范解答】（1）解：设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是x+30元，根据题意得：750解得：x=120，经检验，x=120是所列方程的解，且符合题意，∴x+30=120+30=150（元），答：甲种茶叶礼盒的单价是120元，乙种茶叶礼盒的单价是150元；（2）解：设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买8−y盒乙种茶叶礼盒，根据题意得：120y+1508−y解得：y≥10又∵y为整数，∴y的最小值为4．答：最少需购买4盒甲种茶叶礼盒．【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·期中）某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%．（商品利润率(1)当售出的乙种商品的件数是售出的甲种商品件数的1.5倍时，这个商人得到的总利润率为50%，设甲种商品的进价为a元，乙种商品的进价为b元，请求出a(2)当售出的甲、乙两种商品的件数相等时，求此时这个商人的总利润率．【答案】(1)ab(2)48%【思路引导】本题考查考查了分式方程的应用，分式的应用，读懂题意，列出方程和分式是解题的关键．（1）由每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%，甲种商品的进价为a元，乙种商品的进价为b元，则甲种商品的售出价为1.4a元，乙种商品的售出价为1.6b元，设售出甲种商品x件，则售出乙种商品1.5x件，根据题意得（2）设售出的甲、乙两种商品的件数均为y，则商人的总利润率=1.4a−a【规范解答】（1）解：∵每件甲种商品的利润率为40%，每件乙种商品的利润率为60%，甲种商品的进价为a元，乙种商品的进价为∴甲种商品的售出价为1.4a元，乙种商品的售出价为1.6b元，设售出甲种商品x件，则售出乙种商品1.5x件，根据题意，得1.4a−ax+解得：a=1.5b，所以，ab（2）解：设售出的甲、乙两种商品的件数均为y，则商人的总利润率=1.4a−a===48%答：此时这个商人的总利润率为48%【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息：信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍；信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍；(1)若设甲商品销售单价为x元/千克，请依据上述信息填表；销售单价（元/千克）质量（千克）销售总价（元）乙60元丙270元(2)求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？(3)“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了m元（m为整数且1≤m≤10）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为S1，设琪琪购买商品的质量为S2，直接写出【答案】(1)乙：销售单价x+5元/千克，质量60x+5千克；丙：销售单价3x元/千克，质量90(2)甲商品销售单价为5元/千克，乙商品销售单价为10元/千克，丙商品销售单价为15元/千克(3)15【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及代数式的最值问题，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程，同时正确分析代数式的最值情况．（1）根据单价、质量、总价的关系填写表格；（2）根据信息2列出分式方程求解三种商品的单价；（3）先分别表示出S1和S2，再分析【规范解答】（1）解：已知甲商品销售单价为x元／千克，由信息1可知乙商品销售单价为x+5元/千克，根据“质量=总价÷单价”，乙商品质量为60x+5千克；丙商品销售单价是3x元／千克，丙商品质量为270（2）解：根据信息2“用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍”，可列方程：90x解得：x=5经检验，x=5是原方程的解．所以乙商品单价为5+5=10元/千克，丙商品单价为3×5=15元/千克；（3）解：提价后，甲商品单价为(5+m)元/千克，丙商品单价为(15+m)元/千克，乙商品单价为(10+m)元/千克．S则S2S1令t=m2+20m(1≤m≤10)，则t随m增大而增大，t的范围是21≤t≤300．S2S当m=10时，t=102+20×10=300题型8分式方程和差倍分问题【精讲】（24-25八年级下·河南郑州·期末）以下素材，完成相关任务．素材1某果园有布鲁克斯和明5-5两种樱桃供游客采摘，采摘布鲁克斯比明5-5每千克少3元，小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5-5的1.25倍．素材2该果园提供运送服务，从果园寄送到A市按重量收费，当樱桃重量不超过6千克时，需要运费30元；当重量超过6千克时，超过部分另收m元/千克．(1)任务1：求在该果园采摘明5−5的单价，(2)任务2：若寄送8千克樱桃运费为42元，求出m的值；(3)任务3：若使用该果园运送服务，小智将15千克采摘的樱桃寄送给A市的朋友，则运费最少需________元．（可一次寄送也可分多次寄送）【答案】(1)该果园采摘明5-5的单价是15元/千克(2)m的值为6(3)78【思路引导】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务一：找准等量关系，正确列出分式方程；任务二：找准等量关系，正确列出一元一次方程；任务三：根据各数量之间的关系，求出分一次、二次及三次寄送所需费用．任务一：设在该果园采摘明5−5的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是x−3元/千克，利用数量=总价÷单价，结合“小智采摘两种樱桃均花费120元，但采摘布鲁克斯的重量是明5−5的1.25倍”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；（2）根据寄送8千克樱桃运费为42元，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）分一次、二次及三次寄送所需费用，比较后，即可得出结论．【规范解答】（1）解：设在该果园采摘明5−5的单价是x元/千克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是x−3元/千克，根据题意得：120x−3解得：x=15，经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意．答：在该果园采摘明5-5的单价是15元/千克；（2）解：根据题意得：30+(8−6)m=42，解得：m=6．答：m的值为6；（3）解：分一次寄送所需运费为30+6×(15−6)=84（元）；分两次寄送（且两次均不低于6千克）所需运费为30×2+6×(15−6−6)=78（元）；分三次寄送（且每次均不超过6千克）所需运费为30×3=90（元），∵78<84<90，∴运费最少需78元．故答案为：78．【变式1】（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧BOT》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的AI驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产Alpha和Beta两款AI机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．5月20日，公司采购部门调研市场后得知，花费320元购买的主控芯片比花200元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的2倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用6个主控芯片、48个传感器模块恰好能制作1个Alpha机器人和1个Beta机器人，制作1个Alpha机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是1:7，制作1个Beta机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是1:9．(1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？(2)求制作一个Alpha机器人和一个Beta机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？(3)市场优惠促销，购买3个主控芯片赠送1个传感器模块．该公司发放活动经费25000元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作Alpha、Beta机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩515个．如果一个Alpha和一个Beta机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？【答案】(1)主控芯片单价为10元，传感器模块单价为5元；(2)制作一个Alpha机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个Beta机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个(3)最多可生产85套机器人【思路引导】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意是解答本题的关键．（1）设传感器模块单价为m元，则主控芯片单价为2m元，根据花费320元购买的主控芯片比花200元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可；（2）设制作一个Alpha机器人需要主控芯片a个，传感器模块7a个，则一个Beta机器人需要主控芯片b个，传感器模块9b个，分别根据用6个主控芯片、48个传感器模块恰好能制作1个Alpha机器人和1个Beta机器人，制作1个Alpha机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是1:7，制作1个Beta机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是1:9列出二元一次方程组求解即可；（3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．【规范解答】（1）解：设传感器模块单价为m元，则主控芯片单价为2m元，根据题意得：320解得：m=5经检验，m=5是原方程的解，且符合题意，∴主控芯片单价为2×5=10（元）答：主控芯片单价为10元，传感器模块单价为5元；（2）解：设制作一个Alpha机器人需要主控芯片a个，传感器模块7a个，则一个Beta机器人需要主控芯片b个，传感器模块9b个，分别根据题意得，a+b=6解得：a=3b=3故制作一个Alpha机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个Beta机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个，答：制作一个Alpha机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个Beta机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个；（3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．答：最多可生产85套机器人．【变式2】（25-26八年级上·山东济宁·期中）【调查活动】小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：①甲、乙两校图书室各藏书18000册；②甲校比乙校人均图书册数多2册；③甲校的学生人数比乙校的人数少10%．【交流质疑】小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究．【问题解决】聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．【答案】见解析【思路引导】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可；问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少10%”可列方程，即可．【规范解答】解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据题意可列方程：18000解得：x=1000，经检验，x=1000是原方程的解，且符合题意，1−10%x=900答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人．问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设：乙校的人均图书册数为x册．根据题意可列方程：18000解得：x=18，经检验，x=18是原方程得解，且符合题意，x+2=20，答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册．题型9分式方程的其它实际问题【精讲】（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设某个量为x，根据题意可列方程89630−x+896x=120A．只能表示绫布的长度B．只能表示罗布每尺的价格C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格【答案】C【思路引导】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为30−x尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度．【规范解答】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为30−x尺，由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：89630−x由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度．故选：C．【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.燃油车油箱容积：40油价：8元/续航里程：m每千米行驶费用：________元新能源车电池容量：60kw电价：1元/续航里程：m每千米行驶费用：________元(1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为________，新能源车每千米行驶的费用为________；（用含m的代数式表示）(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用；(3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为5000元和7600元，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其他费用）【答案】(1)320m元；60(2)燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每千米行驶费用为0.12元；(3)超过5000km【思路引导】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．（1）根据表格信息解答即可；（2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；（3）设每年行驶里程为xkm【规范解答】（1）解：由题意得：燃油车每千米行驶的费用为320m元，新能源车每千米行驶的费用为60故答案为：320m元；60（2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元，∴320m−60经检验，m=500是原分式方程的解且符合题意，∴320500=0.64答：燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每千米行驶费用为0.12元；（3）解：设每年行驶里程为xkm由题意得：0.64x+5000>0.12x+7600，解得x>5000，故当每年行驶里程超过5000km【变式2】（25-26八年级上·广西来宾·期中）新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的A，B两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个A种零件或10个B种零件．车间负责人安排工人先加工A种零件，完成后再加工B种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有x名工人．可列方程为（

）A．240016x+2400C．240016x+2400【答案】C【思路引导】本题考查了分式方程的应用，设该车间有x名工人，依题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键．【规范解答】解：设该车间有x名工人，依题意得：240016x故选：C．1．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（）A．10030+x=60C．10030−x=60【答案】A【思路引导】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找出等量关系．根据时间相等，顺流航行速度为静水速度加水流速度，逆流航行速度为静水速度减水流速度，分别表示顺流和逆流的时间，并令其相等即可得到方程．【规范解答】解：设江水的流速为x千米/时，则顺流速度=30+x，逆流速度=30−x，根据题意得，10030+x故选：A．2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知关于的分式方程xx−3−2=a3−x的解为正数，则aA．a>−6且a≠−3 B．a>−6 C．a<−6 D．a<−6且a≠−9【答案】A【思路引导】本题考查了分式方程的解，根据分式方程的解的情况列不等式及考虑分母不为0是解题的关键．先解分式方程，再根据方程的解为正数及分母不为0列不等式求解即可．【规范解答】解：解方程xx−3−2=a∵关于的分式方程xx−3−2=∴a+6＞0，解得：a＞−6；∵x−3≠0，∴a+6−3≠0，解得：a≠−3，∴a的取值范围是a>−6且a≠−3．故选：A．3．（23-24八年级下·重庆黔江·期末）迅速发展的5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的100倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快49.5秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（

）A．500100x−500C．5000x−500【答案】B【思路引导】本题考查了列分式方程，关键是理解题意、找到等量关系并列出方程．由题意：在峰值速率下传输500兆数据，5G网络传输的时间、4G网络传输的时间可以分别表示出来，则等量关系：在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快49.5秒，列出分式方程即可．【规范解答】解：由题意：在峰值速率下传输500兆数据，5G网络传输的时间为500100x秒，4G网络传输的时间为500则可得方程：500x故选：B．4．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为10x−6=40x，则A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数【答案】B【思路引导】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据题意，方程10x−6=40【规范解答】解：设第一次分钱的人数为a，则第二次分钱的人数为a+6．∵第一次每人分得10a，第二次每人分得40∴10对比乐乐所列方程10x−6可得x−6=a，即x=a+6，∴x表示第二次分钱的人数．故选：B．5．（23-24八年级上·山西·期末）若关于x的分式方程a+2x+1=1的解是非正数，则a的取值范围是（A．a≤−1 B．a<−1 C．a>−1 D．a≤−1且a≠−2【答案】D【思路引导】本题考查了解分式方程，方程的解，以及解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解，再根据方程有解的条件，得出x+1≠0，且x≤0，建立关于a的不等式组，求解即可，熟练掌握解分式方程是解题的关键．【规范解答】解：去分母，得a+2=x+1，解得：x=a+1，∵x≤0，∴a+1≤0，∴a≤−1，∵x+1≠0即x≠−1，∴a+1≠−1，∴a≠−2，∴a≤−1且a≠−2．故选：D．6．（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于x的方程2x+1x−3=m【答案】x=3【思路引导】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键．先明确增根的定义，即分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为0的根，然后据此求解．【规范解答】解：分式方程2x+1x−3=m3−x+1的分母为x−3令分母x−3=0，解得x=3．故答案为：x=3．7．（23-24八年级上·江西赣州·期末）若关于x的分式方程ax−2+22−x【答案】2【思路引导】本题考查分式方程无解问题．将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，即x−2=0进行求解即可．【规范解答】解：a去分母，得：2a−4=x−2，整理，得：x=2a−2；∵方式方程无解，∴x−2=0，解得x=2，把x=2，代入x=2a−2，得：2a−2=2，解得：a=2；故答案为：2．8．（25-26八年级上·安徽·期末）若关于x的方程1x−2+2=m−x2−x【答案】1【思路引导】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，求出使最简公分母的值为0的未知数的值，代入整式方程，求出m的值即可．【规范解答】解：1x−2去分母，得1+2x−2∵方程有增根，∴x−2=0，解得x=2，把x=2代入1+2x−2=x−m，得1+22−2故答案为：1．9．（21-22八年级下·四川成都·期末）若关于x的方程2x+ax−2=−1的解为非负数，则a的取值范围是【答案】a≤2且a≠−4【思路引导】本题考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围