扬州大学高等数学试题及答案

扬州大学高等数学试题及答案（考试时间：120分钟总分：100分）一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.极限$lim_{xto0}frac{sin3x}{tan5x}$的值为（）。A.$frac{3}{5}$B.$frac{5}{3}$C.$1$D.$0$2.函数$f(x)=x^33x+1$在区间$(0,2)$内（）。A.单调递增B.单调递减C.有极大值D.有极小值3.不定积分$intfrac{lnx}{x^2}dx$等于（）。A.$frac{lnx}{x}+C$B.$frac{lnx}{x}frac{1}{x}+C$C.$frac{lnx}{x}+C$D.$frac{lnx}{x}frac{1}{x}+C$4.设$z=x^2y+e^{xy}$，则$frac{partialz}{partialx}$等于（）。A.$2xy+e^{xy}$B.$2xy+ye^{xy}$C.$x^2+e^{xy}$D.$x^2+ye^{xy}$5.下列级数中，绝对收敛的是（）。A.$sum_{n=1}^{infty}frac{(1)^n}{n}$B.$sum_{n=1}^{infty}frac{(1)^n}{sqrt{n}}$C.$sum_{n=1}^{infty}frac{(1)^nn}{n+1}$D.$sum_{n=1}^{infty}frac{(1)^n}{n^2}$二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填写在题中的横线上）6.设$f(x)=begin{cases}frac{sinx}{x},&xneq0,k,&x=0end{cases}$在$x=0$处连续，则常数$k=underline{quad}$。7.曲线$y=x^2+1$在点$(1,2)$处的切线方程为$underline{quad}$。8.定积分$int_{1}^{1}(x^3+cosx)dx=underline{quad}$。9.微分方程$y''+2y'+y=0$的通解为$underline{quad}$。10.已知向量$vec{a}=(1,2,3)$，$vec{b}=(2,1,1)$，则$vec{a}cdotvec{b}=underline{quad}$。三、计算题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。要求写出主要计算步骤）11.计算极限$lim_{xto0}frac{e^xsinx1}{x^2}$。12.设函数$y=y(x)$由方程$e^{xy}+y^3=1$确定，求$frac{dy}{dx}$。13.计算定积分$int_{0}^{1}sqrt{x(1x)}dx$。14.计算二重积分$iint_D(x+y)dsigma$，其中$D$是由直线$y=x$、$y=2x$及$x=1$所围成的闭区域。四、证明题（本大题共1小题，共6分）15.证明：当$x>0$时，$frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x$。五、应用题（本大题共1小题，共4分）16.求由曲线$y=x^2$与直线$y=x$所围成的平面图形的面积及该图形绕$x$轴旋转一周所成的旋转体的体积。扬州大学高等数学试题答案及解析一、选择题1.答案：A解析：当$xto0$时，$sin3xsim3x，tan5xsim5x$，因此$$lim_{xto0}frac{sin3x}{tan5x}=lim_{xto0}frac{3x}{5x}=frac{3}{5}$$故选A。2.答案：D解析：函数$f(x)=x^33x+1$的导数为$f'(x)=3x^23=3(x^21)$。在区间$(0,2)$内，令$f'(x)=0$，得$x=1$（$x=1$舍去）。当$0<x<1$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$1<x<2$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。因此，$x=1$是函数的极小值点，故选D。3.答案：B解析：使用分部积分法，设$u=lnx$，$dv=frac{1}{x^2}dx$，则$du=frac{1}{x}dx$，$v=frac{1}{x}$。因此，$$intfrac{lnx}{x^2}dx=frac{lnx}{x}+intfrac{1}{x^2}dx=frac{lnx}{x}frac{1}{x}+C$$故选B。4.答案：B解析：对$z=x^2y+e^{xy}$关于$x$求偏导，得$$frac{partialz}{partialx}=2xy+e^{xy}cdoty=2xy+ye^{xy}$$故选B。5.答案：D解析：绝对收敛是指级数的绝对值级数收敛。A项：$sum_{n=1}^{infty}left|frac{(1)^n}{n}right|=sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$为调和级数，发散；B项：$sum_{n=1}^{infty}left|frac{(1)^n}{sqrt{n}}right|=sum_{n=1}^{infty}frac{1}{sqrt{n}}$为$p$级数，$p=frac{1}{2}leq1$，发散；C项：$lim_{ntoinfty}frac{(1)^nn}{n+1}$不存在，故级数发散；D项：$sum_{n=1}^{infty}left|frac{(1)^n}{n^2}right|=sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$为$p$级数，$p=2>1$，收敛。故选D。二、填空题6.答案：1解析：函数$f(x)$在$x=0$处连续，需满足$lim_{xto0}f(x)=f(0)$。由于$lim_{xto0}frac{sinx}{x}=1$，因此$k=1$。7.答案：$y=2x$解析：曲线$y=x^2+1$的导数为$y'=2x$，在点$(1,2)$处的切线斜率为$k=2times1=2$。切线方程为$y2=2(x1)$，即$y=2x$。8.答案：$2sin1$解析：积分区间$[1,1]$关于原点对称，$x^3$为奇函数，$cosx$为偶函数，因此$$int_{1}^{1}(x^3+cosx)dx=int_{1}^{1}x^3dx+int_{1}^{1}cosxdx=0+2int_{0}^{1}cosxdx=2sinxBig|_{0}^{1}=2sin1$$9.答案：$y=(C_1+C_2x)e^{x}$（$C_1,C_2$为任意常数）解析：微分方程$y''+2y'+y=0$的特征方程为$r^2+2r+1=0$，解得$r=1$（二重根）。因此，通解为$y=(C_1+C_2x)e^{x}$。10.答案：3解析：向量点积公式为$vec{a}cdotvec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，因此$$vec{a}cdotvec{b}=1times2+2times(1)+3times1=22+3=3$$三、计算题11.解：当$xto0$时，$e^xapprox1+x+frac{x^2}{2}$，$sinxapproxxfrac{x^3}{6}$，代入极限式得$$lim_{xto0}frac{e^xsinx1}{x^2}=lim_{xto0}frac{(1+x+frac{x^2}{2})(xfrac{x^3}{6})1}{x^2}=lim_{xto0}frac{frac{x^2}{2}+frac{x^3}{6}}{x^2}=lim_{xto0}left(frac{1}{2}+frac{x}{6}right)=frac{1}{2}$$（注：也可使用洛必达法则，分子分母分别求导两次，结果相同。）12.解：方程$e^{xy}+y^3=1$两边对$x$求导，得$$e^{xy}cdot(y+xfrac{dy}{dx})+3y^2frac{dy}{dx}=0$$整理得$$ye^{xy}+xe^{xy}frac{dy}{dx}+3y^2frac{dy}{dx}=0$$解得$$frac{dy}{dx}=frac{ye^{xy}}{xe^{xy}+3y^2}$$13.解：令$x=sin^2t$，则$dx=2sintcostdt$，当$x=0$时，$t=0$；当$x=1$时，$t=frac{pi}{2}$。因此，$$int_{0}^{1}sqrt{x(1x)}dx=int_{0}^{frac{pi}{2}}sqrt{sin^2t(1sin^2t)}cdot2sintcostdt=int_{0}^{frac{pi}{2}}sintcostcdot2sintcostdt=2int_{0}^{frac{pi}{2}}sin^2tcos^2tdt$$利用$sin^2tcos^2t=frac{1}{4}sin^22t=frac{1}{8}(1cos4t)$，得$$2int_{0}^{frac{pi}{2}}frac{1}{8}(1cos4t)dt=frac{1}{4}left[tfrac{1}{4}sin4tright]_{0}^{frac{pi}{2}}=frac{1}{4}left(frac{pi}{2}0right)=frac{pi}{8}$$14.解：积分区域$D$由$y=x$、$y=2x$及$x=1$围成，可表示为$0leqxleq1$，$xleqyleq2x$。因此，$$iint_D(x+y)dsigma=int_{0}^{1}dxint_{x}^{2x}(x+y)dy=int_{0}^{1}left[xy+frac{y^2}{2}right]_{x}^{2x}dx=int_{0}^{1}left(2x^2+frac{4x^2}{2}x^2frac{x^2}{2}right)dx=int_{0}^{1}frac{5}{2}x^2dx=frac{5}{2}cdotfrac{x^3}{3}Big|_{0}^{1}=frac{5}{6}$$四、证明题15.证明：设$f(x)=ln(1+x)frac{x}{1+x}$，则$f(0)=0$。求导得$f'(x)=frac{1}{1+x}frac{(1+x)x}{(1+x)^2}=frac{1}{1+x}frac{1}{(1+x)^2}=frac{x}{(1+x)^2}>0$（当$x>0$时）。因此，$f(x)$在$x>0$时单调递增，故$f(x)>f(0)=0$，即$ln(1+x)>frac{x}{1+x}$。再设$g(x)=xln(1+x)$，则$g(0)=0$。求导得$g'(x)=1frac{1}{1+x}=frac{x}{1+x}>0$（当$x>0$时）。因此，$g(x)$在$x>0$时单调递增，故$g(x)>g(0)=0$，即$x>ln(1+x)$。综上，$frac{x}{1+x}<ln(1+x)<x$得证。五、应用题16.解：（1）求平面图形的面积：曲线$y=x^2$与直线$y=x$的交点由$x^2=x$解得，为$(0,0)$和$(1,1)$。面积$A$为$$A=int_{0}^{1}(xx^2)dx=left[frac{x^2}{2}frac{x^3}{3}right]_