四川师范大学《线性代数》期末考试试卷(含答案)

四川师范大学《线性代数》期末考试试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：1.下列向量组中，线性无关的是（）。A.(1,2,3),(2,3,4),(0,1,2)B.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)C.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)D.(1,-1,2),(-1,2,-1),(2,-1,1)2.设A是n阶可逆矩阵，则下列说法错误的是（）。A.A的行列式不为零B.A的秩等于nC.A的行向量组线性相关D.A乘以某个n阶矩阵B可能得到单位矩阵In3.若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则矩阵A的行列式（）。A.必等于零B.可能等于零，也可能不等于零C.必不等于零D.可能等于零4.矩阵A=[[1,2],[3,4]]与B=[[2,0],[1,2]]的乘积AB是（）。A.[[4,4],[10,8]]B.[[4,4],[8,10]]C.[[3,4],[5,8]]D.[[3,2],[5,6]]5.向量β=(1,2,3)可以由向量α1=(1,0,1),α2=(0,1,1),α3=(1,1,0)线性表示，且表示方式唯一，则α1,α2,α3线性（）。A.相关B.无关C.无法判断D.以上都不对6.矩阵A=[[1,2,3],[0,1,4],[0,0,1]]的逆矩阵A-1是（）。A.[[1,-2,5],[0,1,-4],[0,0,1]]B.[[1,-2,4],[0,1,-3],[0,0,1]]C.[[1,2,-6],[0,1,-4],[0,0,1]]D.[[1,-2,3],[0,1,-4],[0,0,1]]7.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则下列运算有定义的是（）。A.ABB.BAC.A+BD.A-B8.线性方程组Ax=b，若增广矩阵(A|b)的秩大于系数矩阵A的秩，则该方程组（）。A.有唯一解B.有无穷多解C.无解D.解的情况不确定9.设λ0是矩阵A的一个特征值，α是对应的特征向量，则下列说法错误的是（）。A.Aα=λ0αB.λ0α=AαC.0是A的特征值当且仅当A是零矩阵D.若k是非零常数，则kα也是A的对应于λ0的特征向量10.二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2+3x3^2+2x1x2+2x1x3+4x2x3的矩阵表示为（）。A.[[1,1,1],[1,2,2],[1,2,3]]B.[[1,0,1],[0,2,2],[1,2,3]]C.[[1,1,1],[1,2,0],[1,0,3]]D.[[1,1,1],[1,2,2],[1,2,3]]二、计算题：1.计算行列式D=|123;014;560|的值。2.设矩阵A=[[2,1],[-1,1]],B=[[1,2],[3,0]]，求3A-2B及AB。3.解线性方程组：x1+2x2+x3=12x1+5x2+3x3=2x1+3x2+2x3=04.求向量组α1=(1,1,2),α2=(1,3,0),α3=(2,0,1)的秩，并求其一个极大无关组。5.求矩阵A=[[1,-1,2],[0,1,-1],[2,-3,1]]的特征值和特征向量。6.将二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+5x3^2+2x1x2-4x1x3+2x2x3通过配方法化成标准形，并写出所用的可逆线性变换。三、证明题：1.证明：若向量组α1,α2,α3线性无关，则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关。2.设A是n阶矩阵，且A^2=A。证明：A的特征值只能是0或1。3.证明：线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是增广矩阵(A|b)的秩等于系数矩阵A的秩。---试卷答案一、单项选择题：1.B2.C3.A4.A5.A6.A7.A8.C9.C10.B二、计算题：1.D=1*|14;60|-2*|04;50|+3*|01;56|=1*(0-24)-2*(0-20)+3*(0-5)=-24+40-15=12.3A-2B=3[[2,1],[-1,1]]-2[[1,2],[3,0]]=[[6,3],[-3,3]]-[[2,4],[6,0]]=[[4,-1],[-9,3]]AB=[[2,1],[-1,1]][[1,2],[3,0]]=[[2*1+1*3,2*2+1*0],[-1*1+1*3,-1*2+1*0]]=[[5,4],[2,-2]]3.对增广矩阵进行行变换：[[1,2,1|1],[2,5,3|2],[1,3,2|0]]->[[1,2,1|1],[0,1,1|0],[0,1,1|-1]]->[[1,2,1|1],[0,1,1|0],[0,0,0|-1]]由于增广矩阵的秩为3，系数矩阵的秩为2，故无解。4.构造矩阵A=[[1,1,2],[1,3,0],[2,0,1]]:行变换为：[[1,1,2],[0,2,-2],[0,-2,-3]]->[[1,1,2],[0,1,-1],[0,0,-5]]秩为3。极大无关组为α1,α2,α3。(或检验线性组合：设c1α1+c2α2+c3α3=0，解得c1=c2=c3=0，线性无关)5.特征方程|λI-A|=|λ-1,1,-2||0,λ-1,1||-2,3,λ-1|=(λ-1)[(λ-1)^2-3]-(1)(-2(λ-1))+(-2)(0)=(λ-1)[λ^2-2λ-2]+2(λ-1)=(λ-1)(λ^2-2λ)=λ(λ-1)^2=0特征值为λ1=0,λ2=λ3=1。对λ=0，(0I-A)x=0->[[-1,1,-2],[0,-1,1],[-2,3,-1]]x=0->[[1,-1,2],[0,1,-1],[0,0,0]]x=0->x=c1[-1,1,1]^T,c1不为0。特征向量为k1[-1,1,1]^T,k1不为0。对λ=1，(I-A)x=0->[[0,1,-2],[0,0,1],[-2,3,0]]x=0->[[0,1,-2],[0,0,1],[0,0,6]]x=0->x=c2[3,0,0]^T,c2不为0。特征向量为k2[3,0,0]^T,k2不为0。6.f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+5x3^2+2x1x2-4x1x3+2x2x3=x1^2+x2^2+x3^2+x1^2+x2^2+4x3^2+2x1x2-4x1x3+2x2x3=(x1+x2)^2+(x3+x1-x2)^2+(x2+x3)^2-2x1x2-2x1x3-2x2x3=(x1+x2)^2+(x1-x2+x3)^2+(x2+x3)^2-2(x1x2+x1x3+x2x3)=(x1+x2)^2+(x1-x2+x3)^2+(x2+x3)^2令y1=x1+x2,y2=x1-x2+x3,y3=x2+x3则f(y1,y2,y3)=y1^2+y2^2+y3^2变换为x=Pz，其中P=[[1,1,0],[1,-1,1],[0,1,1]]验证P可逆：|P|=1*[-1*1-1*1]-1*[1*1-1*0]+0*[1*(-1)-(-1)*0]=-2-1=-3不为0。P可逆。标准形为f=y1^2+y2^2+y3^2。变换矩阵为x=Pz。三、证明题：1.假设α1+α2,α2+α3,α3+α1线性相关，则存在不全为零的c1,c2,c3使得c1(α1+α2)+c2(α2+α3)+c3(α3+α1)=0(c1+c3)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3=0由于α1,α2,α3线性无关，系数必须全为零：c1+c3=0c1+c2=0c2+c3=0解得c1=c2=c3=0，与假设矛盾。故α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关。2.设λ是A的特征值，α是对应特征向量，Aα=λα。A^2α=A(Aα)=A(λα)=λAα=λ^2α由A^2=A，得A^2α=Aα故λ^2α=λα(λ^2-λ)α=0由于α不为零向量，λ^2-λ=λ(λ-1)=0得λ=0或λ=1。3.必要性：若Ax=b有解，设x0是一个解，即Ax0=b。构造增广矩阵(A|b)和系数矩阵A。对(A|b)和A进行相同的行变换，若Ax0=b，则(A|b)的行最简形中x0对应的方程组部分与A的行最简形对应的方程组部分相同，增广矩阵不会出现[00...|c](c≠0)的形式。因此，(A|b)的秩等于A的秩。充分性：若(A|