数学方法之归纳与类比法课件

数学方法之归纳与类比

学

校某省市第八十中学学 科：数学（人教版） 年 级：九年级下学期初中数学学习目

标理解数学方法之归纳与类比的有关概念和常见类型；会求相关合情推理的题目；运用数学思想，灵活解决相关问题，提高分析和解决问题的能力．初中数学合情推理一般模式从具体问题具体素材出发实验形成普遍性的命题预见推广证明归纳类比

联想初中数学归纳类比法的应用故事春秋时代，鲁国的鲁班上山砍树时被一株齿形的茅草割破了手，于是他联想到：齿形的茅草能割破手，那我想要割断木头的话，是不是也可以用齿形似的工具呢？于是他发明了锯，所以鲁班被称为木匠祖师.我国古代《经》中有关勾股定理的特殊形式及其应用，贾宪、杨辉关于二项式展开式系数三角形的发现，及欧拉关于凸多面体的面顶棱公式�

+

�

−

�

=

�的发现等学问题的解决‚ 往往是基于数、式或图形的直接观察、归纳、猜想中获得‚

的，如欧拉定理、歌德巴赫猜想、四色问题等.类比与归纳是数学思想中两种最重要的发现问题与解决问题的方法.初中数学一、归纳和类比法有关概念归纳法：是从个别的或特殊的前提条件，推导出一般的、普遍性的结论. 如果在前提中列举了条件的所有情况而推得的结论，称为完全归纳法；这时推得的结论是真实的、正确的. 如果在前提中只列举了条件的一部分情况而推得的结论，称为不完全归纳法，或枚举法，这时得出的结论未必真实可靠，它只是一种猜想.类比法：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，作出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法.注：在发明与归纳的推理过程中经常运用到类比.初中数学一、归纳和类比法有关概念例如，我们依据�∙��=��+�=

����∙��=��+�=

��……可归纳出同底数幂的乘法运算为��

∙

��

=

��+�（�、�

为正整数，�>0）

.结合��

÷

�

=

��−�=

�及上式可类比得出��

÷��

=

��−�（�

、�为正整数，�

>

�，�

>

�）.初中数学二、类比法分类初中常见的类比思想的类型有简化类比、结构类比、降维类比等三大类.实质：从特殊到特殊的推理.初中数学2.1

类比法分类——简化类比简化类比：将原命题类比到比原命题简单的类似命题，即简化问题的条件和结论，通过类比简化命题的解决思路和方法的启示，寻求原命题解决思路与方法叫做简化类比.减元类比：多元问题类比为二元或一元问题降次类比：将高次问题类比到低次问题例如：已知�

+

�

=

4，��

=

4，求�2

+

�2的值.注意：仔细观察已知项与未知项之间的关系，将式子的组成结构从已知项中找出相似之处，然后进行延伸，进而得出正确的结论.初中数学2.2

类比法分类——结构类比结构类比：从已知项的性质与定义等方面加以类比分析，依据结构上的相似性来寻求类比问题，然后将类比元作适当的代换，最终实现原问题向类比问题的转化.例如：

�2

+

�2通过结构类比的知识可以将其转化为以下几问题：将

�

与

�

看作是直角三角形的两条直角边的边长（

�，�

为正数），那么 �2

+

�2就是斜边的边长；将(�,

�)看作平面直面坐标系内的点，那么 �2

+�2则是点(�,

�)到原点(0,

0)的距离（此方法一般是高中所学，初中不做要求）；将其看作根式，则 �2

+

�2是�2

+

�2的算术平方根.注意：结构类比在应用中非常广泛，而且解决问题非常有效，特别是数形结合的题目.初中数学2.3

类比法分类——降维类比维数：一纬空间（直线），二维空间（平面）与三维空间（立体几何）.降维类比：在研究某个维度较高的几何问题时，可以先考察并解决一个与它类似的低维问题，这样使抽象问题具体化与简单化，然后将解决后者时的方法或结论，用来尝试解决原来维数较高的问题.例如：在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空间中：到已知平面相等的点的轨迹是两个平行平面.注意：首先回忆平面几何中常用的定义、定理与结论，其次将立体几何的相关问题转化到平面几何中，并评判真假，进行有效类比，最后转化为类似命题.初中数学��

��例1：如图1，点�将线段𝐴分成两部分，如果𝑨

=

��，那么称点�

为线段𝑨的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线�将一个面积为�� ��的图形分成两部分，这两部分的面积分别为��，��,如果��

=

��，那么称直线�为该图形的黄金分割线．研究小组猜想：在三角形𝑨�中，若点�为𝑨边上的黄金分割点（如图2），则直线��是三角形𝑨�的黄金分割线．你认为对吗？为什么？请你说明：三角形的中线是否也是该三角形𝑨�的黄金分割线？初中数学(1)

解：直线𝐶是△

𝐴�的黄金分割线，正确，理由如下：设△𝐴�边𝐴上的高为�，∵�△���=1𝐶∙ℎ，�△���=1��∙ℎ，�△���=1𝐴∙ℎ

,2 2 2�△���

�△����� ����∴

�△���

=

��

，

�△���

= ��

. ∵点�为𝐴上的黄金分割点:

𝐶 =����,∴ �△���

= �△���

.�△���

�△���∴直线𝐶是△

𝐴�的黄金分割线.(2)

证明：∵三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分，1 22� �1∴ � =

� =

1

�，即�1

≠

�2

.∴三角形的中位线不是该三角形的黄金分割线.初中数学三、归纳法分类分类：代数领域的归纳、几何领域的归纳、统计领域的归纳实质：都是由个别、特殊到一般的思想方法.例如：甲、乙二人分别走在两条平行的道路上，他们都沿着相同的方向匀速行走. 试说出运动过程中两人连线中点的轨迹.甲

乙

特殊情形：甲乙同向同时同速行驶连线中点轨迹是一条与道路平行的直线，只需说出这种特殊情形即可认为答案基本正确.初中数学3.1

归纳法分类——定义及注意代数领域归纳指通过对特殊的数、式或方程的共性分析，归纳或猜想出一般性的结论.主要是对教材中出现的概念、性质、法则的归纳.通常体现在由具体数量运算关系和代数结构关系到一般的表达式的归纳过程.几何领域归纳指通过对特殊图形的共性分析，归纳或猜想出一般图形的结论.对几何对象的归纳主要以图形为主，兼顾数量关系.统计领域归纳指通过对统计数据变化规律的共性分析，归纳出数据一般性的规律或发展趋势.由样本估计总体也是归纳猜想的一种形式.初中数学例2：如图数表满足：(1)第�行首尾两个数均为�；(2)表内递推关系类似角.记第�(�＞�)行第二个数为�(�)，根据数表中上、下两行数据关系，可以得到�(�+�)

−

�(�)(�＞1)：

，并通过有关求解可得�(�)=

.解：∵��=�,��=�,��=�,��=

��…,∴�≥2，则��

=

��−�

+

(�

−

�),�

≥2.∵��=1+

1

, �3=1+1+2,�4=1+1+2+3,,�5=1+1+2+3+4

,∴��=1+�(�+�−�)(�−

�)=�(�−�)+1.� ���+��=�(�+�)

+1.∴��+1−��=�(�+�)+1−�(�−�)−1=

�.� �初中数学归纳法一般步骤及特点步骤：要对多个特例进行综合分析；明确归纳的方向，寻找这些特例的共性因素或规律；猜想和表达找到的共性因素或规律；要对猜想进行严格的证明.特点：一是具有一定的科学性，因为它是以某些已知的事实材料与数学知识为依据；二是有某种假定性，因为它没有经过严格得理论证明和实践经验，是一种猜测性得推断.初中数学练习1：观察下列关于自然数的等式，(1)32−4×

��=5(2)�2

−4×

��=9(3)�2

−4×

��=13……根据上述规律解决下列问题：(1)

完成第四个等式：92

− 4×()�

=

( )(2)

写出猜想的第�个等式(用含�的式子表示)

.解：类比前三个式子可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律可归纳出答案：(1)所以第四个等式为：��

−

�

×

��

=

��.(2)第�个等式为：

(��

+

�)2

−4�2

=

��

+

�.初中数学练习2：将一些小圆点按如下图的规律摆放，第1个图形中有6个小圆点，第2个图形中有10个小圆点，第三个图形中有16个小圆点，第4个图形有24个小圆点……，以此规律，第6个图形中有

个小圆点，第�

个图形中有

个小圆点.解：先观察每个图形的最外侧都有4个小圆点，再观察每个图形圆点的行数和列数，则有第一个图形有4+1×2=6个小圆点，第2个图形中有4+2×3=10个小圆点……，以此规律可得：所以第6个图形有：

�

+

�

×

7

=

��个小圆点.第�个图形有：

�

+

�(�

+

�)

= �2

+

�

+

�个小圆点.初中数学练习3：【观察思考】如图，线段AB上有两个点�，�，图中共有

条线段；【模型构建】如果线段上有�个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有

条线段．请简要说明结论的正确性；(3)【拓展应用】8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行

场比赛．类比【模型构建】简要说明．初中数学解：(1)

以点�为左端点向右的线段有：线段𝑨，𝑨，��，

以点�为左端点向右的线段有：线段��，��，以点�为左端点的线段有线段：线段𝑨，∴共有�

+

�

+

�

=

�条线段.(2)类比

(1)可知若线段上有�个点，则线段上共有线段：(�−�)+(�−�)+(�−�)+