广东省广州市天河区2026届高三下学期普通高中毕业班适应性训练（二模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市天河区2026届高三下学期普通高中毕业班适应性训练（二模）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，则.故选：C.2.在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A.56 B.-56 C.70 D.-70【答案】A【解析】第4项的二项式系数为.故选：A.3.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】由，得，所以复数z在复平面内对应的点为，所以对应点位于第三象限.故选：C.4.已知等比数列满足，，记为其前项和，则（）A.4 B.6.5 C.8 D.12【答案】C【解析】因为数列为等比数列，且，则，又因为，即，可得，可得，所以.5.函数是奇函数的充要条件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】代入得，因此，代入得，结合即，整理得对任意恒成立，平方化简得对任意恒成立，因此，因此是奇函数等价于且，即，反之若，必有，此时确实是奇函数，故充要条件为.6.在中，已知，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】两边平方得，即，又两边平方得，即，即，如图，，向量与的夹角为，所以向量在上的投影向量为.7.已知点在圆上，点，当最大时，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设圆的圆心为，则，半径，过作圆的切线，设交点为，如图，由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大，因为，所以,又，所以,所以.8.在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，因此，由于，故，即，又，故，结合为锐角，则，故,且，此时，因此且，故，又，则，故，由于，则，，故.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.为普及法制教育，对50名市民开展了一次法律知识竞赛答题活动，测试成绩统计如表所示，其中两个数据被遮盖.成绩/分929395969899100人数5781413下列结论正确的是（）A.众数为99 B.极差为9C.分位数为96 D.平均数大于中位数【答案】AC【解析】根据题意，总共有50名市民，所以成绩为或的共人，则99分有14人，众数为99，A正确；极差为，B错误；因为，则第13个数分值为96，C正确；中位数是第25和第26两个数的平均数，由于这两个数都是99，所以中位数为99，设成绩为的有个人，平均数为，所以平均数小于中位数，D错误.10.如图，在正四面体中，点分别为各棱的中点，则（）A.B.平面C.D.直线与直线所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】对于A，取中点，连接，在正四面体中，根据题意，可得，所以，同理，又平面，所以平面，平面，则，又，所以，A正确；对于B，根据正四面体的性质可知，则，又，所以，同理，又平面，所以平面，B正确；对于C，设正四面体棱长为1，顶点在平面上的射影为点，则为的重心，所以，所以，，所以，C错误；对于D，因为，所以为直线与直线所成的角，则，D正确.11.对于函数，下面说法正确的有（）A.当时，函数有两个零点B.当时，函数不存在极值点C.当最小值为时，D.当时，函数在区间单调递减【答案】BCD【解析】函数的定义域为，，当时，，解得，不妨取，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，，易知当时，函数，此时函数只有一个零点，故A错误；当时，若，因，则，，则在上单调递增，无极值点；若，因，则,，则在上单调递减，无极值点；综上，当时，函数不存在极值点，故B正确；由A项分析可知，当最小值为时，有，，即，令，则，即，令，，当时，,当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则，的解为，即，，此时，即，故C正确；当时，函数由，可得，即函数的定义域为，则，因，则，故当时，，即在上单调递减，故D正确．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为__________.【答案】【解析】由双曲线方程为，知：双曲线的实轴长为，虚轴长为，由题意得：，解得，双曲线的渐近线方程为，因此，的渐近线为.13.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.【答案】【解析】，，在区间上单调递增，在区间上恒成立，在区间上恒成立，，在区间内恒成立，，，的取值范围为.14.我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点有个共点等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个共点等圆共有个交点，若，则__________.【答案】21【解析】过同一点有个等圆，当增加第个圆时，第个圆与前个圆各有一个除外的交点，因此递推关系为：，当时，三个等圆过同一点，每两个圆有个交点，但是公共点，所以除外，每两个圆有个交点，三个圆中两两组合的数量为，因此，由递推关系式可得：，，，将这些式子累加得：，所以，又因为，所以，整理得：，因式分解得：，解得：或，又，所以.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数的周期为，且.（1）求函数的解析式；（2）比较与的大小.解：（1）由条件可知，，得，可知，函数关于直线对称，所以，得,因为，所以时，，所以.（2），，在区间单调递增，所以，则，所以.16.某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为.256891620212810.9619.242227.5230.28（1）求的值；（2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望；（3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.解：（1），，因为，即，解得.（2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，所以可能取值为，，，，所以X的分布列为012期望.（3），，所以经验回归方程的拟合效果是不良好.17.已知函数.（1）直线过点且与曲线相切，求直线方程；（2）已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和.解：（1）因为，则，设切点坐标为，则切线斜率，可得切线方程为，即，代入点可得，解得，所以直线方程为.（2）由（1）可知：，则，由题意可知：的圆心为，半径，因为与外切，则，可得，且，整理可得，即，可知数列是以首项，公差的等差数列，则，即，则，所以.18.如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点.（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成角的余弦值为，求；（3）若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.（1）证明：连接，交于点，连接.如图：因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，又为中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：以为基底，设，则，，，.设平面的法向量为，则.令，则，所以.设平面的法向量为，又，.由，所以.令，则，.所以.又.，.由，所以，所以或（舍去）.所以.（3）解：因为三棱柱为直四棱柱，且，故可以为原点，所在的射线为轴，建立如图空间直角坐标系.则，，，.设，则，，，因为平面，所以.整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量，要使得为定值，则，由已知，由（2）得平面的法向量，而，且点平面，则平面，则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值.19.已知点为抛物线的焦点，点在上.（1）求的方程与点F坐标：（2）过点的直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线相交于两点.（i）若为线段的中点，求证：直线为抛物线的切线；（ii）若直线为抛物线的切线，过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值.（1）解：点在，，，；点为抛物线的焦点，；（2）（i）证明：过点的直线与抛物线相交于两点，此直线一定存在斜率，设过点的直线方程