人教A版高中数学必修一题库 第五章　5.5.2　第1课时　简单的三角恒等变换(一)

5.5.2简单的三角恒等变换第1课时简单的三角恒等变换(一)学习目标1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题.(重点)3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.(难点)导语同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，它们都属于三角变换.本节将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.一、半角公式问题1余弦的二倍角展开有几种形式？请写出.提示三种形式：cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.问题2我们将二倍角的余弦公式中的“2α”换成“α”，你会得到什么式子？提示cosα=cos2α2-sin2=2cos2α2=1-2sin2α2知识梳理半角公式sinα2=±cosα2=±tanα2=±1-cos注意点：(1)半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求α2所在的范围，然后根据α2(2)涉及半角公式的正切值时，常用tanα2=例1已知|cosθ|=35，且5π2<θ<3π，求sinθ2解∵|cosθ|=35，5π2∴cosθ=-35∴sinθ2=-1+3cosθ2=-1-3∴tanθ2延伸探究若条件变为“θ为第二象限角，tanθ=-43，且sinθ2<cos解∵θ为第二象限角，且sinθ2<cos∴θ2为第三象限角，故sinθ2<0，cos∵tanθ=-43，∴cosθ=-∴sinθ2=-1-cosθcosθ2=-1+cosθ∴tanθ2反思感悟利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tanα2=sinα1+cosα=1-cosα(4)下结论：结合(2)求值.二、和差化积、积化和差1.积化和差sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-βcosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-βcosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-βsinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β2.和差化积sinθ+sinφ=2sinθ+sinθ-sinφ=2cosθ+cosθ+cosφ=2cosθ+cosθ-cosφ=-2sinθ+例2求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.解方法一sin220°+cos250°+sin20°cos50°=12(1-cos40°)+12(1+cos100°)+12[=34+12(cos100°-cos=34+12(-2sin70°sin=34+12(-sin=34方法二sin220°+cos250°+sin20°cos50°=12(1-cos40°)+cos50°(cos50°+sin=12(1-cos40°)+cos50°(sin40°+sin=12(1-cos40°)+cos50°·2sin30°cos=12(1-cos40°)+cos50°cos=12(1-cos40°)+12(cos=34方法三令A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°，B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°.则A+B=2+sin70°，A-B=-cos40°+cos100°+sin(-30°)=-sin70°-1两式相加得2A=32，即A故sin220°+cos250°+sin20°cos50°=34反思感悟积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α+β看作θ，α-β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.或者把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想.跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos29°cos31°-12cos2°(2)cosπ8+cos3π8-2sin解(1)cos29°cos31°-12cos=12[cos(29°+31°)+cos(29°-31°)]-12=12cos60°+12cos(-2°)-12=14(2)cosπ8+cos3π8=2cosπ8+3π8=2cosπ=2=0.三、三角函数式的化简、证明例3(1)化简：(1+sinα+cosα解原式=2co=2cos=cosα又∵π<α<2π，∴π2<∴cosα2<0∴原式=cosα2(-cosα(2)求证：1+sinθ证明方法一左边=2si=1cosθ所以原等式成立.方法二左边=(1+sin=2(1+sin=右边，所以原等式成立.反思感悟(1)化简问题中的“三变”①变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.②变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.③变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等.(2)三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一，或者消除等式两端的差异，达到形式上的统一.跟踪训练2化简：2sin8+1+解原式=2si=2(sin4+cos4=2|sin4+cos4|+2|cos4|.由于π<4<3π∴sin4<0，cos4<0，sin4+cos4<0，∴原式=-2(sin4+cos4)-2cos4=-2sin4-4cos4.1.知识清单：(1)半角公式.(2)积化和差、和差化积.(3)三角函数式的化简、证明.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：半角公式符号的判断.1.已知cosα=-15，π2<α<π，则sinαA.-105 B.C.-155 D.答案D解析由π2<α<π可知π4<α2.已知cosθ=-14，-180°<θ<-90°，则cosθ2等于A.-64 B.64 C.-3答案B解析由-180°<θ<-90°可知-90°<θ2<-45°，故cosθ3.化简2+cos2-sin21的结果是A.-cos1 B.cos1C.3cos1 D.-3cos1答案C解析原式=2+2cos21-1-(1-cos21)=3cos4.化简：sinα2+cos答案tanα解析原式=sinα2+课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.已知sinα=55，cosα=255，则tanA.2-5 B.2+5C.5-2 D.±(5答案C解析方法一因为sinα=55，cosα所以tanα2方法二因为sinα=55>0，cosα=25所以α的终边落在第一象限，α2的终边落在第一或第三象限，所以tanα故tanα22.设a=12cos6°-32sin6°，b=2sin13°cos13°，c=1-cos50°2，A.c<b<a B.a<b<cC.a<c<b D.b<c<a答案C解析a=sin30°cos6°-cos30°sin6°=sin(30°-6°)=sin24°，b=2sin13°·cos13°=sin26°，c=sin25°，∵y=sinx在0°≤x≤90°时单调递增，∴a<c<b.3.若θ∈π4，π2，sin2θ=378A.35 B.45 C.7答案D解析∵θ∈π4，π2∴∴cos2θ=-18，sinθ=4.sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值为()A.-14 B.14 C.1答案B解析sin20°·cos70°+sin10°·sin50°=1+1=12(sin90°-sin50°)+12(cos=14-12sin50°+=14-12sin50°+125.设-3π<α<-5π2，化简1+sin(α-π)A.sinα2+cosα2 B.-cosαC.cosα2-sinα2 D.sinα答案D解析∵-3π<α<-5π∴-3π2<α∴sinα2>0，cosα21+sin(α=sin=sin=sinα2-cosα6.设直角三角形中两锐角分别为A和B，则cosAcosB的取值范围是()A.0，12 B.(0，1) C.答案A解析直角三角形中两锐角分别为A和B，则A+B=π2，则cosAcosB=12[cos(A-B)+cos(A+B)]=12cos(A-B)，再结合A-B∈-π2，π2，可得cos(∴12cos(A-B)∈07.(多选)已知sinα=-45，180°<α<270°，则下列选项正确的是(A.sin2α=-2425 B.sinC.cosα2=-55 D.tan答案BCD解析因为sinα=-45，180°<α所以cosα=-3所以sin2α=2sinαcosα=2×-45×因为90°<α2<135°所以sinαcosα2=-1+cosα2=-tanα2=sinα2cosα2=-28.(5分)在△ABC中，sinA+π2=32答案2-3解析因为在△ABC中，sinA所以cosA=32，且所以tanA2=1-cos9.(5分)计算：tan20°+4sin20°=.答案3解析原式=sin20°cos20°+4sin=sin20°+4sin20°cos20°=sin20°+2sin(60°-20°)=sin20°+310.(10分)化简：1+sinα1-sinα解因为π<α<3π2，所以cosα2<0，sinα2所以原式=si=sin=-2=-2cosα211.已知α∈(0，π)，且sin2α1-cos2α=-13，则tanA.-2103 B.2103答案D解析由题意可得sin2α1-cos2α=2sinαcosα即2tanα21-tan2α2=-3，又α12.(多选)已知cos(α+β)=-55，cos2α=-513，其中α，βA.sin2α=12B.cos(α-β)=19C.cosαcosβ=8D.tanαtanβ=11答案AC解析因为cos(α+β)=-55，cos2α=-513，其中α，β为锐角，所以sin(α+β)=255，sin2α=1-cos22α=1213，故A正确；cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=-513×-55+1213×255sinαsinβ=12[cos(α-β)-cos(α+β)]=12×29565--55=2113.(5分)已知tanθ=815，θ∈0，π2答案8解析1+sinθ+cosθ因为tanθ=815，所以sin解得sin又θ2∈0所以2cosθ214.(11分)证明：2sinxcosx证明左边=2sin=2sin=2sinx右边=1+2co所以左边=右边，即等式成立.15.(5分)已知sinα+sinβ=14，cosα+cosβ=13，