人教A版高中数学必修一题库 第一章　§1.1　集合的概念

学习目标1.通过实例了解集合与元素的含义，利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题.(重点)2.能判断元素与集合的关系，识记常见数集的表示符号.(重点)3.掌握集合的两种表示方法，并会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(重难点)导语在日常生活中，同学们经常听到“集合”一词.比如体育课上，体育老师常常在开始的时候说“集合”，现代汉语解释为“许多分散的人或物聚集在一起”.在我们数学课上也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子.一、元素与集合的概念问题1下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？(1)1~10之间的所有偶数；(2)立德中学今年入学的全体高一学生；(3)所有的正方形；(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；(5)方程x2-3x+2=0的所有实数根.提示以上例子描述的内容都是某种研究对象的总体组成的，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中的事物或人等.问题2问题1中的几个例子都能构成集合吗？它们的元素分别是什么？提示都能构成集合.(1)中的元素是：2，4，6，8，10；(2)中的元素是：立德中学今年入学的每一位高一学生；(3)中的元素是：正方形；(4)中的元素是：到直线l的距离等于定长d的点；(5)中的元素是：1，2.知识梳理1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.3.集合中元素的特征：确定的，互异性，无序的.4.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.注意点：集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关.例1(1)下列说法中正确的是()A.与定点A，B等距离的点不能构成集合B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C.一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形D.高中学生中的游泳能手能构成集合答案C解析A不正确，与定点A，B等距离的点在线段AB的垂直平分线上，能构成集合；B不正确，由“title”中的字母构成的集合中的元素为t，i，l，e，共4个；C正确，一个集合中有三个元素a，b，c，故a，b，c互异，故不可能构成等腰三角形；D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合.(2)若集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围为.答案a≠±1解析由元素是互不相同的，得a2≠1，即a≠±1.延伸探究在例1(2)中增加条件“集合B中含有两个元素1和4，且集合A=B”，则a=.答案±2解析由题意得a2=4，a=±2，符合题意.反思感悟(1)判断元素是否能够构成集合，主要是看集合中的元素是否满足确定性、互异性、无序性.(2)若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.二、元素和集合之间的关系1.元素和集合之间的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素a∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A的元素a∉Aa不属于集合A2.常用数集及其记法名称非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N+ZQR注意点：(1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写.(2)0属于自然数集.例2(1)(多选)下列所给关系正确的是()A.π∈R B.2∉QC.0∈N* D.|-5|∉N*答案AB解析对于选项A，π是实数，所以π∈R正确；对于选项B，2是无理数，所以2∉Q正确；对于选项C，0不是正整数，所以0∈N*错误；对于选项D，|-5|=5为正整数，所以|-5|∉N*错误(2)已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1，若-3∈A，则实数a=.答案0或-1解析因为-3∈A，所以a-3=-3,2a-1≠反思感悟判断元素和集合关系的方法(1)直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.三、集合的表示角度1列举法表示集合问题3用A表示“地球上的四大洋”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？请把集合A中的所有元素逐一列举出来.提示这是用自然语言表示的集合；太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.知识梳理列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.注意点：(1)元素间用“，”隔开.(2)当元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{}”括起来即可，不必考虑元素间的顺序.(3)当元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}.(4)这里，集合的“{}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼.例3(课本例1)用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合.解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={0，1}.例3用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程2x2-x-3=0的实数根组成的集合C；(4)方程组2x+y解(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以A={0，2，4，6，8，10}.(2)小于8的质数有2，3，5，7，所以B={2，3，5，7}.(3)方程2x2-x-3=0的实数根为-1，32，所以C(4)解方程组2x+y=8,x-y=1反思感悟用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来.角度2描述法表示集合问题4不等式x-7<3的解集能用列举法表示吗？为什么？提示不等式x-7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}.问题5阅读课本，请仿照上面的例子表示出偶数集.提示{x∈Z|x=2k，k∈Z}.知识梳理一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.注意点：(1)描述法表示集合，要先看代表元素，再看代表元素的共性.(2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.(3)“{}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}是错误的.例4(课本例2)试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合A；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.解(1)设x∈A，则x是一个实数，且x2-2=0.因此，用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.方程x2-2=0有两个实数根2，-(2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B={x∈Z|10<x<20}.大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.例4用描述法表示下列集合：(1)不等式2x-3<1的解集组成的集合A；(2)B={2，4，6，8，10}；(3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合C.(4)方程2x+y-3+|x-2解(1)不等式2x-3<1的解集组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设x∈A，则x满足2x-3<1，则A={x|2x-3<1}，即A={x|x<2}.(2)设x∈B，则x=2n，n∈Z，且2≤x≤10，所以x=2n，n≤5，n∈N*.所以B={x|x=2n，n≤5，n∈N*}.(3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为C={(x，y)|x<0，y>0}.(4)由题意可得，2x+y-3和x-2y-4需同时为0.解集用描述法可以表示为(解集用列举法可以表示为(2，-1).反思感悟用描述法表示集合的三个步骤(1)写出代表元素：弄清楚集合的元素是数、点还是其他的元素，一般地，数用一个字母表示，点用一个有序实数对表示.(2)明确元素的特征：语言力求简明、准确，对代表元素以外的字母要指出其含义或其取值范围.(3)用花括号括起来：一般格式为{x|p(x)}或{x∈A|p(x)}.其中p(x)为元素x所具有的性质或限制条件.跟踪训练选择适当方法表示下列集合：(1)由小于8的所有自然数组成的集合A；(2)自然数的平方组成的集合B；(3)方程组x+y=3(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合D.解(1)列举法A={0，1，2，3，4，5，6，7}，描述法A={x∈N|x<8}.(2)描述法B={x|x=n2，n∈N}.(3)列举法C={(2，1)}，描述法C=(x(4)描述法D={(x，y)|y=x2+2x-10}.1.知识清单：(1)元素与集合的概念.(2)元素与集合的关系.(3)常用数集的记法.(4)集合表示方法：列举法和描述法.2.方法归纳：直接法、推理法、分类讨论.3.常见误区：自然数集中容易遗忘0这个元素；集合中忽略对互异性的判断；列举法与描述法的乱用.1.(多选)下列各组对象能构成集合的有()A.接近于1的所有正整数B.小于0的实数C.(2025，1)与(1，2025)D.未来世界的高科技产品答案BC解析A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2025，1)与(1，2025)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，未来世界的高科技产品标准不明确，不能构成一个集合.2.由大于-3且小于11的奇数所组成的集合是()A.{x|-3<x<11，x∈Z}B.{x|-3<x<11}C.{x|-3<x<11，x=2k+1}D.{x|-3<x<11，x=2k+1，k∈Z}答案D解析由题意可知，满足题设条件的只有D.3.用列举法表示集合D={(x，y)|y=-x2+8，x∈N，y∈N}为.答案{(0，8)，(1，7)，(2，4)}4.若由a，ba，1组成的集合A与由a2，a+b，0组成的集合B相等，则a2026+b2026答案1解析由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以ba=0，所以b=0所以a2=1，即a=±1，又当a=1时，集合A，B均不满足集合中元素的互异性，舍去，所以a=-1.所以a2026+b2026=1.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分1.(多选)下面给出的四类对象中，能构成集合的是()A.2025年参加“两会”的代表B.长寿的人C.小于π的所有整数D.倒数等于它本身的数答案ACD解析A，C，D中的元素是确定的.2.集合{(x，y)|y=2x-2}表示()A.方程y=2x-2B.点(x，y)C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.一次函数y=2x-2图象上的所有点组成的集合答案D解析本题中的集合是点集，其表示一次函数y=2x-2图象上的所有点组成的集合.3.下列元素与集合的关系中，正确的是()A.-1∈N B.0∈ZC.0.3·∉Q D.2π5答案B解析因为-1不是自然数，所以A不正确；因为0是整数，所以B正确；因为0.3·是有理数，所以C不正确；因为2π5是无理数，不是有理数，所以D4.下列说法中，正确的为()A.集合{x|4<x<5}可以用列举法表示B.{(x，y)|x+y=0}={x|x+y=0}C.{x|x2-4x+4=0}={y|y=2}D.集合{(2，2)}不满足元素的互异性答案C解析由于集合{x|4<x<5}中有无数个元素，故不宜用列举法表示，故A错误；集合{(x，y)|x+y=0}是点集，集合{x|x+y=0}是数集，两个集合的元素不相同，故B错误；{x|x2-4x+4=0}={2}={y|y=2}，故C正确；集合{(2，2)}只有一个元素(2，2)，符合集合的互异性，故D错误.5.设A是关于x的方程x2+ax+4=0的解集，且2∈A，则实数a的值为()A.-5 B.-4 C.4 D.5答案B解析因为2∈A，所以22+2a+4=0，解得a=-4.6.已知A={a-2，2a2+5a，12}，且-3∈A，则由a的值构成的集合是()A.-32 B.C.{-1} D.-答案D解析∵-3∈A，A={a-2，2a2+5a，12}，∴a解得a=-32故由a的值构成的集合是-37.(多选)下列集合中表示同一个集合的是()A.M={(3，2)}，N={(2，3)}B.M={2，3}，N={3，2}C.M={(x，y)|x+y=1}，N={y|x+y=1}D.M={x|x>2}，N={t|t>2}答案BD解析选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y=1-x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y=1-x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M与N是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合.8.(5分)设集合A中含有1，a，b三个元素，集合B中含有a，a2，ab三个元素，若A=B，则实数a=，b=.答案-10解析由题意，得1∈B且a≠1，a≠0，∴a2=1或ab=1,由a≠1，解①得a解②得a=1,b=1,∴a=-1，b=0.9.(5分)若集合A={x|kx2+4x+4=0}中有2个元素，则实数k的取值范围为.答案{k|k<1且k≠0}解析若集合A中有2个元素，则方程kx2+4x+4=0有两个不同的根，即k≠0,Δ=16-16k>010.(13分)用适当的方法表示下列集合：(1)大于0.5且不大于6的自然数构成的集合；(3分)(2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数的集合；(3分)(3)在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；(3分)(4)不等式x-2>6的解集；(4分)解(1)用列举法可表示为{1，2，3，4，5，6}.(2)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}.(3)用描述法可表示为{x|x=2n+1，且x<1000，n∈N}.(4)用描述法可表示为{x|x>8}.11.已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是()A.x1·x2∈A B.x2·x3∈BC.x1+x2∈B D.x1+x2+x3∈A答案D解析由x1，x2∈A，x3∈B，可知x1，x2是奇数，x3是偶数.因为两个奇数的乘积为奇数，所以x1·x2∈A，即A正确；因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以x2·x3∈B，即B正确；因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，即C正确；因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，即D错误.12.(多选)已知集合A={1，2，3，4，5}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，C={(x，y)||x-y|=1，(x，y)∈B}，则下列是集合C中的元素的是()A.(1，2) B.(3，4)C.(5，4) D.(3，2)答案CD解析因为B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，故满足条件的元素(x，y)有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)，因为C={(x，y)||x-y|=1，(x，y)∈B}，所以集合C中的元素有(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4).13.(5分)由实数x，-x，|x|，x2，-3x答案2解析当x>0时，x=|x|=x2，-3x3=-x<0，此时集合中共有2个元素；当x=0时，x=|x|=x2=-3x3=-x