2027届湖北省武汉市高三9月调研数学试卷含答案

武汉市教育科学研究院命制2026.9.16本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用☆祝考试顺利☆1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−2<x<2}，B={x|x2−2x−3<0}，则A∪B=A.(−2,3)B.(−2,−1)C.(−1,2)D.(−1,3)2.平面向量a,b的夹角为60◦,若|a|=2，|b|=1，则b·(a−b)=A.−1B.03.某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球。已知该地某芯片企业近9个月的月产量构成等比数列，其中前3个月总产量为50万片，前6个月总产量为110万片，则该企业这9个月的总产量为A.170万片B.178万片C.182万片D.188万片4.若函数为奇函数，则a=A.−1B.15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b(tanA+tanB)+2ctanB=0，则角A的大小是A.B.C.D.6.某单位有5名员工，需要在小长假三天安排人员值班，每天只需一人值班，不能出现同一人连续两天值班情况，则所有的安排方法种数为A.60B.70C.80D.1007.已知A,B为两个相互独立的随机事件且P(AB)=P(AB)，则P(A)=A.B.D.8.已知a>1，若函数与g的最大值相等，则a的值所在区间为A.(1,)B.(,2)C.(2,)D.(,3)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。9.已知z1,z2为复数，则下列说法中正确的有A.若|z1|=|z2|，则z=zB.若|z1|+|z2|=0，则z1=z2=0C.若|z1−1|=|z2−1|=1，则|z1−z2|≤2D.若|z1+z2|=|z1−z2|，则z1z10.记双曲线的左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线l与双曲线E交于A,B两点，则下列说法中正确的有A.双曲线E的离心率是B.若|AF2|=2|AF1|，则△AF1F2的周长为18C.存在四条不同直线l使得|AB|=511.在空间中，从同一个顶点发出多条射线围成一个“锥”，张开的空间范围就叫“立体角”。如图，以锥的顶点为球心，作半径为1的单位球面，这个锥会在球面截取一块曲面，该曲面的面积就是立体角的大小。现有底面半径为2的圆锥，设母线长为l，记其顶点锥口的立体角为Ω1。另有四棱锥P‑ABCD，其底面是边长为2的正方形，记其顶点的立体角为Ω2。则下列说法中正确的有A.对任意l>0，Ω1<2πΩΩB.若l=2√2，则Ω1=ΩΩC.当PA⊥平面ABCD时，若Ω2=，则PA=2D.当四棱锥P‑ABCD是正四棱锥时，若Ω2=，则PA=√3高三九月数学试卷第2页(共4页)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=2sin(ωx+)的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则正实数ω的最小值为.13.记公差不为零的等差数列(an)前n项和为Sn，若S15=5(a2+a7+ak)，则正整数k的值14.记椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，已知椭圆Γ上的点P满足cos∠F1PF2=，记∠F1PF2的平分线与椭圆Γ交于另外的点Q，若∠F1QF2=90。，则+=；椭圆Γ的离心率e=.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。某地将举办大型体育赛事，为做好赛时的志愿服务保障工作，组委会定期对报名者开展综合能力测评。现从某高校的报名者中随机抽取200名男生和300名女生进行评分（满分100分），分别得到如图所示的两个频率分布直方图。频率/组距a0.0250.005O0.025 0.015Oa0.0250.005O0.025 0.015O频率/组距5060708090100女生505060708090100女生（1）求a的值，并估计女生评分的平均数；（2）若评分不低于70分定为“合格”，评分低于70分定为“不合格”。完成下列2×2列联表，并根据小概率值α=0.01的独立性检验，判断评分等级与该校报名者的性别是否有关联。性别评分等级合计合格不合格男生女生合计附：χ2=，n=a+b+c+d.α0.001xα3.8416.63510.828高三九月数学试卷第3页(共4页)如图，在四棱锥P‑ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2，BC=4，7ABC=60。，E为PB中点。（1）证明：直线PD//平面ACE；（2）若直线PA⊥平面ABCD，异面直线AE与PD所成的角为45。，求直线PD与平面PAC所成角的正弦值。PEADBC已知函数f(x)=(x+a)2−4a2lnx，其中a0.（1）当a=−1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）讨论f(x)的单调区间；（3）若f(x)>0，求a的取值范围。已知圆M:(x−1)2+y2=1与抛物线E:y2=2px(p>0)的三个公共点恰好构成等腰直角三角（1）求抛物线E的标准方程；（2）过抛物线上一点A引射线，该射线与圆M相切且与抛物线E交于另一点B，记该射线与x轴的交点为N.（i）若7AMB=60。，求AB所在直线的斜率；（ii）若|AM|2=|AN|·|AB|，求|AM|·已知n个正整数a1,a2,···,an满足：a1<a2<···<an，这n个数两两成对可组成对数，这m对数中每对的两个数求和后形成一个数列：S1⩽S2⩽···⩽Sm。例如1,2,4求和后形成（1）当n=4时，形成6对求和数列：S1=8，S2=14，S3=16，S4=20，S5=22，S6=28。试写出a1,a2,a3,a4可能的两组值。（2）当n=5时，对于形成的S1,S2,···,S10，证明：a1,a2,a3,a4,a5的解是唯一的。（3）当n=16时，证明：存在两个不同的数列a1,a2,···,a16和b1,b2,···,b16对应同一个求和数列S1,S2,···,S120.高三九月数学试卷第4页(共4页)武汉市2027届高中毕业生九月调研考试数学参考解答全卷修订版题号与原试卷对应题目据《武汉九调.pdf》；体例参照所附深圳中学复习资料答案。本稿为独立整理的参考解答，非命题方公布答案。答案速查题号12345678答案ABCDDCBB题号9答案BCABDACD8一、单项选择题故选A。【解析】由向量数量积的运算律，得故选B。【解析】设月产量数列的前n项和为Sn。由等比数列的性质，S3，S6一S3，S9一S6成等比数列，因此(S6S3)2=S3(S9S6).由S3=50，S6=110，得故选C。武汉九调数学参考解答【解析】因为f(x)为奇函数，所以其定义域关于原点对称。由分母不为零，知x≠-a且x≠,故-也不在定义域内，从而-a=-，即a=。此时分子为奇函数，分母为偶函数，所以f(-x)=-f(x)，符合题意。故选D。【解析】由A+B+C=π,得因为题设中的正切均有意义，所以cosAcosB≠0。将已知等式两边同乘cosAcosB，得bsinC+2csinBcosA=0.由正弦定理，bsinC=csinB，所以csinB(1+2cosA)=0。又c>0，sinB>0，故cosA=-。由0<A<π,得A=。故选D。【解析】法一：分步计数。第一天有5种安排方法；第二天不能安排第一天值班的人，有4种安排方法；第三天只需排除第二天值班的人，仍有4种安排方法。由分步乘法计数原理，共有法二：分类计数。若第一天与第三天由同一人值班，则选出两人并分别安排在“第一、三天”与“第二天”，有A=20种方法；若第一天与第三天不是同一人，则三天值班者互不相同，有A=60种方法。由分类加法计数原理，共有A+A=20+60=80种安排方法.故选C。【解析】由P(AB)=P(AB)，得 P(A)=P(AB)+P(AB)=P(AB)+P(AB)=P(B).因为A,B相互独立，所以A,B也相互独立，从而=P(AB)=[1-P(A)][1-P(B)]=[1-P(A)]2.由0≤P(A)≤1，得1-P(A)=，故P(A)=。故选B。武汉九调数学参考解答【解析】函数f(x)=的定义域为(0,+∞)，且当0<x≤1时，xlnx≤0，所以f/(x)>0；当x>1时，(xlnx)/=1+lnx>0，所以xlnx严格递增。又1·ln1=0<1，elne=e>1，由零点存在定理及上述单调性，存在唯一x0∈(1,e)，使x0lnx0=1。因此f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，故f(x)max=f(x0)>0.因为a>1，所以alna>0。当0<t≤1时，上式不大于0；当t>1时，上式大于0。由题意，g(x)的最大值存在。设其在x=x1处取得，则由上述正负性可知x1>a+1，且g(x)max=g(x1)>0。若alna>1，则对任意t>1，有取得若0<alna<1，则在f(x)的最大值点x0处，有也不合题意。因此alna=1。反之，此时g(at+1)=f(t)，且t遍历(0,+∞)，两函数的最大值确实相等。上述两个函数在x=1处均为0，所以x1<lnx<x一1(x>1)。从而ln<<1,2ln2>1.因为xlnx在(1,+∞)上严格递增，结合alna=1，得<a<2。故选B。武汉九调数学参考解答第4页共16页二、多项选择题【解析】对于A，取z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|=1，但z=1≠-1=z，故A错误。对于B，因为|z1|≥0，|z2|≥0，由|z1|+对于C，|z1-1|=|z2-1|=1表明两复数对应的点都在以(1,0)为圆心、半径为1的圆上。两点间的距离不大于直径，故|z1-z2|≤2，C正确。【解析】由双曲线方程=1，得a=2，b=√,c=3，故F1对于A，离心率，故A正确。对于B，因为|AF2|=2|AF1|>|AF1|，由双曲线的定义，得|AF2|-|AF1|=2a=4.所以|AF1|=4，|AF2|=8，故△AF1F2的周长为4+8+6=18，B正确。对于C，当l为x轴时，|AB|=4≠5。其余过F1的直线均可设为x=my-3，代入双曲线方程，得(5m2-4)y2-30my+25=0.因为有两个交点，所以5m2-4≠0，且Δ=400(m2+1)>0。设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理，得从而由|AB|=5，得4(1+m2)=|5m2-当5m2-4>0时，4+4m2=5m2-4，得m2=8；当5m2-4<0时，4+4m2=4-5m2，得m=0。故m=0或m=±2√2，均满足5m2-4≠0。因此所求直线恰有3条，C错误。其中m=0对应竖直直线x=-3，没有遗漏。对于D，若弦中点为，则1=m√-3，解得m=取此值，有5m2-4=12≠0，且Δ>0，故直线与双曲线确有两个不同交点。由韦达定理，其弦中点坐标满足故弦中点可以为(1,√5)，D正确。综上，选ABD。武汉九调数学参考解答【解析】单位球的表面积为4π,全等的锥对应相等的立体角；若两个锥顶点相同，且一个锥所张开的方向区域严格包含于另一个锥，则前者的立体角较小。对于A，题设圆锥非退化，故母线长实际满足l>2，其高为√l2-4>0。圆锥在单位球上截得的曲面严格小于一个半球，所以Ω1<2π,A正确。这里l的取值以题设圆锥存在为前提。对于B，当l=2√2时，圆锥的高为2。取棱长为4的正方体，其中心与六个面构成六个全等的正四棱锥，恰好分割全部方向，故每个立体角为其中一个面的内切圆半径为2，面心到正方体中心的距离也为2，所以题设圆锥是相应正四棱锥的内接圆锥。由于圆盘严格包含于正方形面内，故Ω1<，B错误。对于C，先取PA=2，将四棱锥补成棱长为2的正方体。顶点P处三个两两垂直的面所围区域对应单位球的八分之一。正方体不经过P的三个面与P构成三个全等的四棱锥，恰好分割该区域，因此固定底面形状，设高为h>0。将顶点重合，并将底面沿射线缩放到距离顶点为1的平行平面上，所得正方形的边长为2/h，且一个顶点固定。因此h增大时，所得正方形严格缩小，所对应的立体角也严格减小。所以Ω2=时必有PA=2，C正确。对于D，设底面中心为O。当PO=1时，该正四棱锥恰由棱长为2的正方体中心与一个面构成，所以。同理，缩放后的正方形中心固定，边长随高的增大而严格减小，因此立体角关于高严格递减。故题设条件下必有PO=1，从而故D正确。综上，选ACD。PDCDDOPC项：顶点处三等分D项：中心处六等分武汉九调数学参考解答三、填空题【解析】向右平移个单位长度后，所得函数为其图象与原图象重合，所以相位之差为2π的整数倍，即【解析】设等差数列的公差为d，则d≠0。由S15=15a8及已知等式，得3a8=a2+a7+ak.又a2=a8-6d，a7=a8-d，所以ak=3a8-(a8-6d)-(a8-d)=a8+7d=a15.由于d≠0，数列的各项互不相同，故k=15。【解析】设椭圆的半焦距为c，则c>0，c2=a2-b2。直接设题目中的两个比值为记D=PQ∩F1F2。因为PQ平分LF1PF2，所以D在线段F1F2内部。又线段F1F2位于椭圆内部，故P,D,Q依次共线，从而射线QP位于LF1QF2内部。因此LF1QP+LPQF2=90O.由半角公式，得在△PF1Q与△PF2Q中分别应用正弦定理，得因为LF1PQ=LQPF2，且两个分子中的角互余，所以武汉九调数学参考解答第7页共16页由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a。在△PF1F2中，由余弦定理，得·2=|PF1|2+|PF2|22|PF1||PF2|·=(|PF1|+|PF2|)2一2|PF1||PF2|(1+在直角三角形QF1F2中，2=|QF1|2+|QF2|2=4a22|QF1||QF2|.比较两式，得|PF1||PF2|=2|QF1||QF2|，所以由（12）及m,n>0，得m+n=√m2+n2+2mn=√10+故第一空为。又由椭圆的定义，m|QF1|+n|QF2|=2a，结合|QF1|+|QF2|=2a，得因为2=m2+n22mn=>0，所以m≠n。解上述方程组，得===PDF1PF2Q武汉九调数学参考解答四、解答题水平下，没有充分证据认为评分等级与性别有关联。【解析】（1）由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1，得解得a=0.04。因此，女生在五个评分区间内的频率依次为0.10,0.20,0.40,0.25,0.05.以各组区间的中点55,65,75,85,95作为该组数据的代表，女生评分平均数的估计值为（2）男生合格的频率为10(0.030+0.020+0.010)=0.60，所以男生合格人数为200×0.60=120，不合格人数为200-120=80。女生合格的频率为10(0.040+0.025+0.005)=0.70，所以女生合格人数为300×0.70=210，不合格人数为300-210=90。性别评分等级合计合格不合格男生200女生21090300合计330500提出零假设H0：评分等级与报名者的性别无关联。由题给公式，得因此，在α=0.01的检验水平下，不拒绝H0，没有充分证据认为评分等级与报名者的性别有关联。这并不等于已经证明二者无关联。武汉九调数学参考解答；（【解析】（1）连接AC,BD，交于点O，再连接EO。因为ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点。又E为PB的中点，故在△PBD中，EO为中位线，从而因为EOC平面ACE，且平面ACE与底面的交线为AC，而D∉AC，故D∉平面ACE，从而PD丈平面ACE。由线面平行的判定定理，得（2）法一：几何法在△ABC中，由余弦定理，得所以AC=2√3，且AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC。由（1）知EOⅡPD，所以AE与PD所成的角等于AE与EO所成的锐角。又△AEO在A处为直角，所以∠AEO=45O，从而△AEO为等腰直角三角形。因此EO=√2AO=√6.再由EO为△PBD的中位线，得PD=2EO=2√6。由于C∈平面PAC，点D在平面PAC上的射影为C，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角。在直角三角形PCD中，故所求正弦值为PDEDEOCAB武汉九调数学参考解答（2）法二：建立空间直角坐标系P由前述计算，AC=2√3，且AB⊥AC。又PA⊥平面ABCD，所以AP分别垂直于AB,AC，故AB,AC,AP两两垂直。EDA以A为坐标原点，分别以AB,AC,AP的方向为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系A–xyz，如图。EDAyCBx设PA=h(h>0)，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2√3,0),P(0,0,h).由AD=BC，以及E为PBD(–2,2√3,0),E(1,0,.由异面直线AE与PD所成的角为45O，得√2|AE·PD=AE||PD|两边平方，得AE||PD|两边平方，得，解得h2=8。由h>0，得h=2√2。设=(n1,n2,n3)为平面PAC的一个法向量。由得取n1=1，可得=(1,0,0)。设PD与平面PAC所成的角为θ,则故所求正弦值为故所求正弦值为6武汉九调数学参考解答【解析】函数f(x)=(x+a)2-4a2lnx的定义域为(0,+∞)。（1）当a=-1时，f(x)=(x-1)2-4lnx，所以由f(1)=0，f,(1)=-4，得所求切线方程为y-f(1)=f,(1)(x-1),即y=-4x+4.所以导数的符号由(x+2a)(x-a)决定。当a>0时，x+2a>0，方程f,(x)=0在定义域内的唯一解为x=a。当0<x<a时，f,(x)<0；当x>a时，f,(x)>0。故f(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞)。当a<0时，x-a>0，方程f,(x)=0在定义域内的唯一解为x=-2a。当0<x<-2a时，f,(x)<0；当x>-2a时，f,(x)>0。故f(x)的单调递减区间为(0,-2a)，单调递增区间为(-2a,+∞)。（3）题设f(x)>0按在定义域内恒成立处理，即对任意x>0，均有f(x)>0。由（2）知，f(x)都先减后增，且最小值在定义域内取得，故题设等价于f(x)min>0。f(x)min=f(a)=4a2(1-lna).因为4a2>0，所以f(x)min>0←→lna<1←→a<e.结合a>0，得0<a<e。f(x)min=f(-2a)=a2[1-4ln(-2a)].因为a2>0，所以←→0<-2a<e1/4←→-<a<0.综上，a的取值范围为其中a=e或a=-时，函数的最小值均为0，故不能取；a=0已由题设排除。武汉九调数学参考解答【解析】（1）联立圆与抛物线的方程，得消去y，得x(x+2p-2)=0.圆与抛物线都关于x轴对称，且都经过原点O。其余两个公共点可设为C(x0,y0)，D(x0,-y0)，其中x0>0，y0>0。由对称性，OC=OD，所以等腰直角三角形OCD的直角只能在O，于是又C在圆上，所以x+y=2x0。两式联立，结合x0>0,y0>0，得x0=y0=1。代入y2=2px，得p=，所以抛物线方程为OMD(1,-1)xx（2）与圆相切的水平直线为y=±1，它们与抛物线均只有一个交点，不合题意。因此可设直线AB的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1≠y2，且N(n,0)。这一设法包含m=0时的竖直直线。由圆心M(1,0)到直线AB的距离为1，得所以m2=n2-2n.(1)将x=my+n代入y2=x，得y2-my-n=0。由韦达定理，得y1+y2=m,y1y2=-n.(2)因为有两个不同交点，所以Δ=m2+4n=n2+2n=n(n+2)>0.又m2=n(n-2)≥0，两者结合，得n<-2或n≥2。武汉九调数学参考解答由于x1=y，x2=y，由（12得x1+x2=(y1+y2)2−2y1y2=m2+2n=n2,x1x2=(y1y2)2=n2.所以(1−x1)(1−x2)=1，只能有x1=x2=0，从而A=B=O，矛盾。因此由（3有x=(x1+x2)x1−x1x2=n2x1−n2，故同理，|BM|2=(n2−1)(x2−1)。结合（4）及n2>1，得（i）由向量数量积，得率为此时Δ=m2+4n=3>0，确有两个不同交点。因y1y2=3>0，且|y1|,|y2|>1，可取纵坐标绝对值较大的交点为射线端点A，使切点位于射线AB上。因此两种斜率均符合题意。武汉九调数学参考解答（ii）记射线与圆的切点为T(xT,yT)。因为T在圆上，所以|yT|≤1；而x1=y>1，所以|y1|>1。又B,T均在以A为端点的同一条射线上，且直线AB不水平，所以y1-yT与y1-y2同号。从而y1(y1-y2)>0,即x1+n>0.(6)由N(n,0)及直线AB的方程x=my+n，得结合（126得|AN||AB|=(1+m2)|y1(y1-y2)|=(1+m2)y1(y1-y2)=(n-1)2(x1+n).(n2-1)(x1-1)=(n-1)2(x1+n).因为n≠1，两边约去n-1，并展开整理，得(n+1)(x1-1)=(n-1)(x1+n),再由x1+x2=n2，得x1-x2=1。结合（3得1=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=n4-4n2.所以(n2-2)2=5。由n2>0，而2-√5<0，得n2=2+√5。代入（5得下面验证该值可以取得。取y1=√x1>y2=√x2>1,并取m=y1+y2，n=-y1y2。此时x1+x2=x1x2=2+√5,x1-x2=1,所以m2=n2-2n，直线AB与圆相切。切点满足yT≤1<y2<y1，故B,T均在从A出发、纵坐标减小的射线上。又2x1=n2+1，沿上述等式逆推可得题设长度关系。因此所得结果确实可以取得。武汉九调数学参考解答【解析】（1）因为a1<a2<a3<a4，所以最小、次小、次大、最大的两数之和分别为从而a2=8-a1,a3=14-a1,a4=14+a1.其余两个和为a1+a4=14+2a1,a2+a3=22-2a1,它们分别为16和20，但先后次序不确定。若a1+a4=16，则14+2a1=16，得a1