苏科版数学 1.1三角形中的线段和角（第2课时 三角形的中线、角平分线、高） 教案

1.1三角形中的线段和角（第2课时三角形的中线、角平分线、高）教学设计1.教学内容本节选自苏科版2024八年级数学上册第一章《三角形》，内容为“三角形中的线段和角”之第2课时，主要讲解三角形中的中线、角平分线和高。核心知识点包括：①三角形的中线定义及性质；②三角形的角平分线定义及性质；③三角形的高的定义及应用。2.内容解析本节在前一课“三角形中的线段和角”基础上，聚焦三角形中三条特殊线段的概念与作用。通过“橡皮筋定位”与“折纸探究”等情境，让学生观察并发现这些线段的生成规律：中线可等分对边，高可直观理解垂直距离，角平分线则关联等角。教学重点在于准确理解三种线段的定义与识别，掌握它们在求证与计算中的价值，如利用等面积方法求未知长度等。引导学生结合图形操作、几何推理与实际情境，充分认识这些线段的几何意义与应用价值。1.教学目标•理解并掌握三角形的高、中线和角平分线的定义。•会识别和绘制三角形的高、中线和角平分线。•理解三角形的高、中线和角平分线的基本特征。2.目标解析•通过实物演示与观察实验，让学生明确三角形中线、角平分线及高的几何含义。•借助几何作图和讨论，培养学生的识图与作图能力，并在问题探究中体会等面积法和等线段法的运用。•结合典型例题，强化对三角形三条特殊线段之间联系的认识，深入领悟其在面积计算与基本证明中的作用。大多数学生已具备对三角形内角、边等基本几何量的表象理解，能初步运用垂线、平分等作图技能。少数学生对几何概念仍停留在记忆层面，需要更直观的图示与丰富的操作环节帮助理解。中线、角平分线和高的共同特点及不同性质的对比，是本节重点与难点所在。学生易接受中线等分对边的结论，但对高与角平分线在不同三角形中的位置关系不够熟练，需要教师在教学中及时予以引导与深化。创设情景，引入新课1. 【情境引入】师：同学们，小熊和小猫想均分一块蛋糕，应该如何切？生：有的说对半切，有的说从中间切……师：在三角形中，也有类似“均分”或“特殊”的线段，它们分别是三角形的中线、角平分线和高。今天我们一起来探究这些有趣又重要的线段。2. 【操作观察】

师：（出示橡皮筋活动示意图）如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端在边BC上移动。在这个过程中，线段不断变化。你认为哪些位置是特殊的？生：当D是BC的中点时，AD比较特殊；当AD平分∠BAC时比较特殊；当AD垂直BC时也很特殊。师：这三种“特殊”其实分别对应了三角形的中线、角平分线、高。【设计意图】 通过“小熊和小猫想均分蛋糕”的生活情景激发学习兴趣，帮助学生初步感知“分割”在几何中的应用。 通过橡皮筋演示使学生直观感受“中点”“平分”“垂直”的特殊性，为进一步的概念抽象打好基础。 明确本节课的学习目标，帮助学生预设学习方向。探究点1：三角形的中线1. 【概念引入】

师：观察当D为BC的中点时，AD有什么特征？

生：BD=DC，连接顶点A与边BC的中点D的线段就是三角形的“中线”。2. 【新知导出】

师：在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线。

如图，BD=DC，则线段AD是△ABC的中线。3. 【师生活动】o 师：同学们在练习本上任选一个三角形，找出其中一条中线并标记。o 生：分组画出并标注顶点、对边中点与中线，彼此观察、讨论。o 师：请同学们展示你们的作图，与同桌或小组互相核对。【设计意图】 通过实际操作与讨论，让学生亲自体验“中线”的定义，由感性认识上升到理性概括。 让学生初步感受到中线具有“等分对边”的重要特征，为后续有关面积、分割的应用奠定基础。探究点2：三角形的角平分线1. 【概念引入】

师：在橡皮筋活动中，如果AD使∠BAD=∠CAD，那么AD又是什么线段？

生：AD是三角形的角平分线。2. 【新知导出】

师：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫作三角形的角平分线。

如图，当∠BAE=∠CAE时，线段AE是△ABC的角平分线。3. 【师生活动】o 师：请同学们回忆角平分线的定义要点：①角的平分，②与对边相交。o 生：朗读并记录角平分线的概念。o 师：小组讨论：三角形顶点A上的角平分线，要满足什么条件才是真正的角平分线？鼓励学生用度量或摆动的方法验证。【设计意图】 通过“平分角”的演示，使学生理解“角平分线”不只是“目测”等分，而是严谨的几何定义。 借助小组合作与讨论，培养学生探究意识与口头表达能力，强化对概念的准确掌握。探究点3：三角形的高1. 【概念引入】

师：若在橡皮筋活动中，当AD垂直BC时，你能说出AD的几何名称吗？

生：AD就是三角形的高。2. 【新知导出】

师：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。

如图，AH⊥BC，垂足为H，则线段AH是△ABC的边BC上的高。3. 【师生活动】o 师：请同学们在练习本上任选一个三角形，画出它的一条高；o 生：合作互评：哪个是垂足，如何表示垂直？o 师：请同学上台示范，用三角板或直尺完成高的作图。【设计意图】 通过“垂线作图”的实际操作，帮助学生加深对三角形高的“垂直”属性的理解与辨别。 让学生感受到，多条“高”有时在三角形内部，也可能在外部，为后续学习“三角形高的交点”做铺垫。尝试交流>如图，过点A分别画出△ABC的中线、角平分线、高。

>解：如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的角平分线，AF是>思考：三角形的中线、角平分线、高各有几条？【设计意图】

本题通过让学生亲自动手画出三角形的中线、角平分线和高，帮助学生建立对这三条线段的直观认识，为后续深入探究和应用打下基础。典例分析例1>如图，AD是△ABC的中线。

>求证：△ABD和△ADC的面积相等。

>证明：如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H。

>AH是△ADC的高，也是△ABD的高。

>∵AD是△ABC的中线，

>∴BD=DC。

>又【设计意图】

本例通过中线平分对边从而平分三角形面积的事实，让学生理解中线在三角形面积计算和证明中的常用作用，同时培养学生作辅助线（如作垂线）的解题思路。例2>如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上的一点，∠EAC=∠B。

>求证：∠ADE=∠DAE。

>证明：

>∵AD是△ABC的角平分线，

>∴【设计意图】

通过本例，学生直观体会到：角平分线不但可以分割角度，也能通过与外部角的关系构建几何等量关系。此题可进一步加深对角平分线性质的理解，锻炼学生的几何推理能力。1. 如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD=∠CAD，E是AC的中点，BE,AD相交于点F解：AD是△ABC的角平分线，

AF是△ABE的角平分线，

BE是△ABC的中线，

DE是2. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，点D在BC上，DE⊥AB，垂足为E。指出图中DE,AC解：∵∠C=90∘，

∴AC是△ABC,△ACD,△ABD的高，

∵DE⊥AB，3. 如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高。填空：

（1）BD=CD=12BC;

（2）∠BAE=∠【设计意图】

上述练习紧扣中线、角平分线、高的定义和基本性质，通过识别与简单填空，让学生加深对概念的掌握，并能根据描述迅速准确地画出相关线段与角度。1. 如图，BD是△ABC的角平分线，∠1=25∘,>证明：

>∵BD是△ABC的角平分线，

>∴∠2. 如图，在△ABC中，∠（1）△ABC中AC边上的高是4cm，BC边上的高是3cm；

（2）在图中画出AB边上的高CD（3）能否在BC边上取一点E，使△ACE与△ABE的面积相等？

>解：（2）因为∠ACB=90∘，CD⊥AB，

>所以S△ABC=12×AB×CD=12×AC×BC，

>因为AC=3cm,;BC=4cm,;AB=5cm，

>所以CD=AC×BCAB=3×45=125cm。

【设计意图】第1题突出角平分线与平行关系的应用，第2题则结合直角三角形边长与高的关系进行多步推理，帮助学生强化对中线、角平分线和高的综合应用能力。【设计意图】引导学生在实际情境中体验三条特殊线段的重要性，形成对概念的直观认识和灵活应用意识。本节课围绕“如何平均分蛋糕”的实际情境，引入三角形中线、角平分线和高的定义及特征，并通过橡皮筋演示、折纸探究等活动，让学生体验到这些线段在形状分割和面积性质中的重要作用。学生在绘制、观察和辨析过程中，不仅掌握了三条线段的基本定义，而且初步认识到它们在面积划分、顶点垂直投影、等角分割等方面的意义，为后续学习三角形更深入的性质打下基础。【设计意图】层次分明、突出概念与应用，方便学生梳理知识脉络。1. 情境导入：蛋糕平均切分问题，引出三角形特殊线段2. 概念引入：

（1）中线：连接顶点与对边中点

（2）角平分线：顶点角的平分线

（3）高：顶点到对边直线的垂线3. 特征归纳：

（1）中线等分对边

（2）角平分线等分对应角

（3）高垂直于对边4. 典例分析：利用中线等分面积、角平分线角度关系及高的垂直性质进行问题求解5. 课堂小结：三条特殊线段在三角形中的位置、性质和应用本节课的教学目标主要是帮助学生理解三角形中线、角平分线和高的定义及特征，并能识别与应用。通过蛋糕分割等情境导入和橡皮筋动态演示，学生对概念的理解较为直观，达成了课程中“会识别和绘制”以及“理解特征”两项目标。在例题练习的过程中，大部分学生能将中线与面积等分、角平分线与角度关系以及高与垂线等知识有效结合