2026年清华大学自强计划综合测试笔试试题及详细参考答案

2026年清华大学自强计划综合测试笔试试题及详细参考答案考试说明1.本试卷为2026年清华大学自强计划理工类笔试试题，满分200分（数学100分、物理100分），考试时长150分钟；2.试题侧重学科思维、拓展知识与综合应用，高于高考难度，贴合自强计划选拔定位；3.所有题目均为原创命题，答案解析步骤完整、逻辑严谨，适配考生复盘学习。第一部分数学试题（100分）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）1.已知集合A={x|x2−3x+2≤0}，B={x|A.(1,2]B.[1,3]C.[2,3]D.∅2.若复数z满足(1+2i)z=3+4i，则|z|=（）A.1B.5C.2D.133.已知向量a→,b→满足|a→|=2A.7B.13C.7D.134.函数f(x)=2sin⁡(ωx+φ)(ω>0)的最小正周期为π，且fπA.π6B.π3C.π5.已知双曲线x2a2A.2B.5C.526.已知正数x,y满足x+2y=1，则1xA.3+22B.3−2二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.二项式x−8.已知直线3x+4y+m=0与圆x2+y9.已知函数f(x)=ex−ax在(0,+10.从5名男生、3名女生中任选3人参加志愿服务，所选3人中至少有1名女生的概率为________。三、解答题（本大题共3小题，共40分）11.（12分）已知数列{an}为等差数列，且a（1）求数列{a（2）设bn=2an，求数列{12.（14分）已知椭圆C:x24+y（1）求|PF（2）若直线l过F2且与椭圆C交于A,B两点，求△13.（14分）已知函数f(x)=xln（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围。第二部分物理试题（100分）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）1.下列关于力学现象的说法正确的是（）A.物体速度为零时，加速度一定为零B.静摩擦力的方向一定与物体运动方向相反C.匀速圆周运动的合外力始终不做功D.一对相互作用力做功大小一定相等、符号相反2.质量为m的小球从高h处自由下落，落地后竖直反弹，反弹高度为h4，不计空气阻力，重力加速度为gA.m2ghB.32m2gh3.理想变压器原线圈接正弦交流电源，副线圈接定值电阻R，若原线圈匝数增加一倍，其他条件不变，则下列说法正确的是（）A.副线圈输出电压加倍B.副线圈电流减半C.变压器输出功率加倍D.原线圈电流不变4.真空中两个点电荷Q1、Q2相距r，相互库仑力大小为F，若将A.F8B.F4C.F5.下列关于热学现象的表述正确的是（）A.温度越高，分子平均动能越大B.布朗运动是液体分子的无规则运动C.气体等温膨胀，内能增加D.热量不可能从低温物体传到高温物体6.一束单色光从空气射入玻璃，入射角为θ，折射角为α，已知玻璃折射率为n，下列关系正确的是（）A.sin⁡θ=nsin⁡αB.sin⁡α=n二、实验填空题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）7.（12分）利用打点计时器探究匀变速直线运动规律，实验所用交流电频率为50Hz。（1）打点计时器的打点时间间隔为________s；（2）实验中得到一条纸带，选取连续五个计数点A、B、C、D、E，相邻计数点间有4个点未画出，测得xAB=2.10cm，xBC=2.90cm，（3）计数点C的瞬时速度大小为________m/8.（12分）伏安法测定定值电阻阻值，待测电阻Rx（1）本次实验应采用________（填“电流表内接”或“电流表外接”）接法；（2）若某次测量电压表示数为2.40V，电流表示数为0.048A，则待测电阻阻值为________Ω；（3）该实验测量值相比真实值________（填“偏大”“偏小”或“相等”）。三、计算题（本大题共3小题，共40分）9.（12分）如图所示，质量M=4kg的木板静止在光滑水平地面上，木板上静置一质量m=1kg的小物块，物块与木板间动摩擦因数μ=0.2。现对木板施加一水平向右的恒力F=10N（1）物块和木板的加速度大小；（2）施加拉力2s末，物块和木板的速度大小。10.（14分）竖直平面内有一光滑半圆形轨道，半径R=0.4m，轨道底端与水平地面平滑连接。质量m=0.5kg的小滑块从水平地面以初速度v0（1）滑块在轨道最高点的速度大小；（2）滑块的初速度v0（3）滑块从最高点飞出后，落地时的水平位移大小。11.（14分）匀强磁场磁感应强度B=0.5T，方向垂直纸面向里，磁场区域宽度L=0.2m。一质量m=2×10−5kg（1）粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径；（2）粒子在磁场中运动的时间；（3）粒子离开磁场时的偏转角。第一部分数学详细参考答案及解析一、单项选择题1.答案：A解析：解不等式x2−3x+2≤0，得1≤x≤2，即由log2⁡(x−1)≤1，得0<x−1≤2，即因此A∩B=(1,2]。2.答案：C解析：由(1+2i)z=3+4i，得z=3+4i|z|=113.答案：A解析：|a→−4.答案：B解析：由周期T=π得ω=2，故f(x)=2sin代入fπ6=2取最简解π3+φ=π5.答案：C解析：双曲线渐近线方程为y=±bax，与2x+y+1=0平行，故bc=a2+6.答案：A解析：由x+2y=1，x>0,y>0，得：1x+1二、填空题7.答案：-20解析：通项公式Tr+1令6−2r=0，得r=3，常数项(−1)8.答案：4或-16解析：圆方程化为(x−1)2+(y−2)2直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径：|3+8+m|5=5，解得m=49.答案：1解析：f′(x)=ex−a，f(x)在(0,+ex>1，故a≤1，10.答案：\frac{23}{28}解析：总选法C83=56至少1名女生概率P=1−10三、解答题11.解析：（1）设等差数列公差为d，由a4+a代入a1=1，解得通项公式：an（2）由bn=22n−1，可知{b前n项和Sn12.解析：（1）由椭圆定义，|PF由均值不等式，|PF当且仅当|PF（2）由椭圆方程得F2(1,0)，设直线l:x=my+1，联立椭圆与直线方程：3(my+1)2+4韦达定理：y1+y|yS△令t=m2+1函数y=3t+1t在t≥1单调递增，故t=1时，13.解析：（1）函数定义域为(0,+∞)，令f′(x)=0，得当x∈(0,ea−1)当x∈(ea−1,+（2）函数有两个零点，需满足极小值f(ef(ea−1)=验证边界：x→0+时f(x)→1，x→+∞时f(x)→+第二部分物理详细参考答案及解析一、单项选择题1.答案：C解析：A选项，竖直上抛最高点速度为零，加速度为重力加速度；B选项，静摩擦力可与运动方向相同（传送带加速运动）；D选项，相互作用力作用在不同物体，做功大小不一定相等；C选项，匀速圆周运动合外力指向圆心，与速度垂直，不做功，正确。2.答案：B解析：下落速度v1=2gh取向上为正方向，动量变化量Δp=m3.答案：B解析：变压器电压比U1U2=n1n4.答案：A解析：库仑定律F=kQ1Q5.答案：A解析：B选项，布朗运动是固体颗粒的运动；C选项，理想气体等温过程内能不变；D选项，热量可借助外界做功从低温物体传到高温物体；A正确。6.答案：A解析：根据光的折射定律，空气（n=1）射入介质，sin⁡θ=n二、实验填空题7.答案：（1）0.02（2）0.80（3）0.33解析：（1）T0（2）相邻计数点时间间隔T=0.1s，逐差法a=（3）C点速度等于BD段平均速度，vC8.答案：（1）电流表外接（2）50.0（3）偏小解析：（1）RV（2）R=U（3）外接法中电压表分流，电流测量值偏大，电阻测量值偏小。三、计算题9.解析：（1）小物块仅受滑动摩擦力，加速度a1对木板受力分析：F−μmg=Ma2，代入数据得二者加速度均为2m（2）2