2026~2027学年安徽省亳州市亳州一中高二（上）10月月考数学试题-含答案

/安徽省亳州市亳州一中2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线经过点，且法向量，则的方程为（

）A． B．C． D．2．在下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．33．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（

）

A． B． C．4 D．24．a=−1是直线与直线(垂直的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．直线与圆交于E，F两点，则△EOF（O是原点）的面积为（

）A． B． C． D．6．设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．7．直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．8．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（

）A． B．C．的长为 D．10．已知点在圆上，点，，则（

）A．点到直线的距离小于B．点到直线的距离大于C．当最小时，D．当最大时，11．曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（

）A．曲线C关于直线交于不同于原点的Ax1,yB．存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；C．存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；D．曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于.三、填空题（本大题共3小题）12．过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为．13．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，过作的垂线交轴于点，若，记椭圆的离心率为，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知空间三点，设．(1)若，，求；(2)求与的夹角的余弦值；(3)若与互相垂直，求k．16．已知直线与圆：交于两点．（1）求线段的垂直平分线的方程；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，求过点的圆的切线方程．17．已知的三个顶点分别为，，，直线经过点.(1)求外接圆的方程；(2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；(3)若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率.18．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．19．已知椭圆经过点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围.

参考答案1．【答案】C【详解】由题意知直线的法向量是，可得其斜率为，所以直线的方程为，即.故选：C2．【答案】A【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.于是四个选项都是错的.故选：A3．【答案】C【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由二面角的平面角的定义知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故选C.4．【答案】A【详解】当a=−1时，两条直线分别化为：，，此时两条直线相互垂直；当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不垂直；当、时，两条直线的斜率分别：，，∵两条直线相互垂直，∴，解得．综上可得：a=−1是直线与直线(垂直的充分不必要条件．故选A．5．【答案】D【详解】分析：由题意分别求得三角形的底边和高，然后计算面积即可.详解：由题意可知原点、圆心到直线的距离分别为：，直线被圆截得的弦长为：，则的面积为.本题选择D选项.点睛：圆的弦长的常用求法：(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.6．【答案】A【详解】如图所示：

依题意，，要想直线l过点且与线段AB相交，则或，故选：A7．【答案】B【详解】设直线的倾斜角为.因为，，，所以，.又，则.当时，单调递增，解，可得；当时，单调递增，解，可得.综上所述，.故选：B.8．【答案】D【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，又，所以，，所以的取值范围为．故选：D．9．【答案】BD【详解】根据题意，依次分析选项：对于A选项，，A错误，对于B选项，，B正确：对于C选项，，则，则，C错误：对于，则，D正确.故选：BD.10．【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.【详解】圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A正确，B错误；如下图所示：当最大或最小时，与圆相切，连接，，可知，，，由勾股定理可得，CD正确.故选ACD.【方法总结】若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.11．【答案】AC【详解】因为由可得，所以曲线关于原点对称，又直线过原点，所以Ax1,y所以，所以A正确；由，所以，即：①，当取等号，此时，点在曲线上，而，所以不可能在一个以原点为中心、边长为1的正方形内，所以B错误，点可以在一个以原点为中心、半径为1的圆上，故C正确，由①式知，所以D错误．故答案为：AC．12．【答案】【分析】由题知、，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，所以直线的方程为，即；方法2：设，，则由，可得，同理可得，所以直线的方程为.故答案为：13．【答案】/【详解】∵，，，∴，又∵A，C，D三点共线，∴，∵，不共线，∴，∴，∴.故答案为：14．【答案】【详解】如下图所示：

因为，，所以，可得，即，可得；又在中，，由椭圆定义可得，即，所以，可得.故答案为：15．【答案】(1)或(2)(3)或【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，因此或；（2）因为所以与的夹角的余弦值为；（3）因为与互相垂直，所以或.16．【答案】（1）（2）（3）【详解】试题分析：（1）由题意，线段垂直平分线经过圆的圆心，斜率为，可得线段的垂直平分线的方程；（2）利用，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求的值；（3）设切线方程，利用点到直线距离，建立斜率的方程．试题解析：（1）由题意，线段的垂直平分线经过圆的圆心，斜率为，∴方程为，即；（2）圆可化为，∵，∴圆心到直线的距离为，∵圆心到直线的距离为，∴，∴（3）由题意，知点不在圆上．①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为，即．由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，所以所求切线的方程为．②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为．综上，所求切线的方程为．考点：直线与圆的位置关系．【易错点晴】解析几何中求切线方程是一种重要题型，也是易错题型，其根源是忽视了直线方程的局限性．直线方程的点斜式（斜截式）都漏掉了一种情况，即斜率不存在的情况，故在利用这种形式的直线方程时，一定要养成优先考虑特殊情况的习惯；同样，直线方程的截距式也存在着不足，不仅要求斜率存在且不能为零，还要求直线不能过原点．17．【答案】(1)(2)或(3)，【详解】（1）设圆的方程为，，则，解得，则圆的方程为，即；（2）由（1）得圆心，半径，又，可知圆心到直线的距离，当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，圆心到直线的距离，解得，则直线方程为，即；综上，直线方程为x=1或.（3）由D1,4在圆外，则在中，，，又，则当，即时，取得最大值为，此时为等腰直角三角形，即圆心到直线的距离，即，解得.

18．【答案】(1)证明见解析；(2)1【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令，得，，