2027届江苏省南师大附中树人学校九年级数学第一学期期末经典试题含解析

2027届江苏省南师大附中树人学校九年级数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．羽毛球运动是一项非常受人喜欢的体育运动.某运动员在进行羽毛球训练时，羽毛球飞行的高度与发球后球飞行的时间满足关系式，则该运动员发球后时，羽毛球飞行的高度为（）A． B． C． D．2．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y=（x>0）上的一个动点，当点B的横坐标系逐渐增大时，△OAB的面积将会()A．逐渐变小 B．逐渐增大 C．不变 D．先增大后减小3．小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（）A． B． C． D．4．如图，已知AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．60° B．65° C．70° D．75°5．一个不透明的盒子里只装有白色和红色两种颜色的球，这些球除颜色外没有其他不同。若从盒子里随机摸取一个球，有三种可能性相等的结果，设摸到的红球的概率为P，则P的值为（）A． B． C．或 D．或6．抛物线的对称轴为直线（）A． B． C． D．7．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（）A． B． C． D．8．若抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0）上有A（-，y1），B（-

，y2），C（

，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y19．已知二次函数(是实数)，当自变量任取，时，分别与之对应的函数值，满足，则，应满足的关系式是()A． B．C． D．10．抛物线y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是()A．(0，﹣1) B．(﹣2，﹣1) C．(2，﹣1) D．(0，1)11．下列各组中的四条线段成比例的是()A．4cm，2cm，1cm，3cmB．1cm，2cm，3cm，5cmC．3cm，4cm，5cm，6cmD．1cm，2cm，2cm，4cm12．已知圆锥的底面半径为3cm，母线为5cm，则圆锥的侧面积是()A．30πcm2 B．15πcm2 C．cm2 D．10πcm2二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，圆锥的母线长为5，底面圆直径CD与高AB相等，则圆锥的侧面积为_____．14．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是_____．15．在比例尺为1∶500000的地图上，量得A、B两地的距离为3cm，则A、B两地的实际距离为_____km．16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，若AB=2，则DE=______.17．反比例函数的图像的两支曲线分别位于第二、四象限内，则应满足的条件是_________．18．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，平面直角坐标中，把矩形OABC沿对角线OB所在的直线折叠，点A落在点D处，OD与BC交于点E．OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根（OA＞OC）．（1）求A、C的坐标．（2）直接写出点E的坐标，并求出过点A、E的直线函数关系式．（3）点F是x轴上一点，在坐标平面内是否存在点P，使以点O、B、P、F为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）指出“垃圾分类工作就是新时尚”．某小区为响应垃圾分类处理，改善生态环境，将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．（1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，画树状图求垃圾投放正确的概率；（2）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了小区某天三类垃圾箱中总共10吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：ABCa30.81.2b0.262.440.3c0.320.281.4该小区所在的城市每天大约产生500吨生活垃圾，根据以上信息，试估算该城市生活垃圾中的“厨余垃圾”每月（按30天）有多少吨没有按要求投放．21．（8分）如图，在中，于，，，，分别是，的中点.（1）求证：，；（2）连接，若，求的长.22．（10分）（8分）向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．23．（10分）综合与实践—探究正方形旋转中的数学问题问题情境:已知正方形中，点在边上，且.将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）.同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答.特例分析:（1）“乐思”小组提出问题:如图1，当点落在正方形的对角线上时，设线段与交于点.求证:四边形是矩形；（2）“善学”小组提出问题:如图2，当线段经过点时，猜想线段与满足的数量关系，并说明理由；深入探究:（3）请从下面，两题中任选一题作答.我选择题.A．在图2中连接和，请直接写出的值.B．“好问”小组提出问题:如图3，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，设直线交线段于点.连接，并过点作于点.请在图3中补全图形，并直接写出的值.24．（10分）解方程：x2﹣4x﹣5＝1．25．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝20，cosA＝，点D为AC边上的动点（点D不与点A，C重合），以D为顶点作∠BDF＝∠A，射线DE交BC边于点E，过点B作BF⊥BD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△CDE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AD的长；（3）点D在AC边上运动的过程中，若DF＝CF，则CD＝．26．如图，已知AB是⊙O的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．求证：△ABC∽△POA．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据函数关系式，求出t=1时的h的值即可．【详解】t=1s时，h=-1+2+1.5=2.5故选C.本题考查了二次函数的应用，知道t=1时满足函数关系式是解题的关键.2、A【解析】试题分析：根据反比例函数的性质结合图形易知△OAB的高逐渐减小，再结合三角形的面积公式即可判断．要知△OAB的面积的变化，需考虑B点的坐标变化，因为A点是一定点，所以OA（底）的长度一定，而B是反比例函数图象上的一点，当它的横坐标不断增大时，根据反比例函数的性质可知，函数值y随自变量x的增大而减小，即△OAB的高逐渐减小，故选A.考点：反比例函数的性质，三角形的面积公式点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成.3、A【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，

∴小华获胜的概率是：=．

故选：A．此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4、C【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACD＝70°，由平行线的性质可求解．【详解】∵AD＝CD，∠1＝40°，∴∠ACD＝70°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠ACD＝70°，故选：C．本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．5、D【分析】分情况讨论后，直接利用概率公式进行计算即可.【详解】解：当白球1个，红球2个时：摸到的红球的概率为：P=当白球2个，红球1个时：摸到的红球的概率为：P=故摸到的红球的概率为：或故选：D本题考查了概率公式，掌握概率公式及分类讨论是解题的关键.6、C【解析】根据二次函数对称轴公式为直线，代入求解即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线，故答案为C．本题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式是解题的关键．7、C【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ABP∽△PCD，再根据相似三角形对应边的比等于相似比的平方解答．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴，∵AB=BC=3，BP=1，∴PC=2，∴，∴CD=，故选C．本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.8、C【分析】根据抛物线y＝ax2＋2ax＋4（a＜0）可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有对称性，从而可以解答本题．【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋2ax＋4（a＜0），∴对称轴为：x＝，∴当x＜−1时，y随x的增大而增大，当x＞−1时，y随x的增大而减小，∵A（−，y1），B（−，y2），C（，y3）在抛物线上，且−＜−，−0.5＜，∴y3＜y1＜y2，故选：C．本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的增减性不一样．9、D【解析】先利用二次函数的性质确定抛物线的对称轴为直线x=3，然后根据离对称轴越远的点对应的函数值越大可得到|x1-3|＞|x2-3|．【详解】抛物线的对称轴为直线x=-=3，∵y1＞y2，∴点（x1，y1）比点（x2，y2）到直线x=3的距离要大，∴|x1-3|＞|x2-3|．故选：D．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．10、C【解析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可.【详解】解：∵顶点式y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)，∴y＝2(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)．故选：C．本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.11、D【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例.【详解】A.从小到大排列，由于1，所以不成比例，不符合题意；B.从小到大排列，由于1，所以不成比例，不符合题意；C.从小到大排列，由于3，所以不成比例，不符合题意；D.从小到大排列，由于1，所以成比例，符合题意；故选D.此题主要考查线段成比例的关系，解题的关键是通过计算判断是否成比例.12、B【解析】试题解析：∵底面半径为3cm，∴底面周长6πcm∴圆锥的侧面积是×6π×5=15π（cm2），故选B．二、填空题（每题4分，共24分）13、5π【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长进行计算．【详解】解：设CB＝x，则AB＝2x，根据勾股定理得：x2+（2x）2＝52，解得：x＝，∴底面圆的半径为，∴圆锥的侧面积＝××2π×5＝5π．故答案为：5π．本题考查圆锥的面积，熟练掌握圆锥的面积公式及计算法则是解题关键.14、【分析】利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．【详解】解：黑色区域的面积＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4，∴击中黑色区域的概率＝＝．故答案是：．本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．15、1【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，

∴A、B两地的实际距离3×500000=100000cm=1km，

故答案为1．此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．16、1【解析】利用位似的性质得到AB：DE=OA：OD，然后把OA=1，OD=3，AB=2代入计算即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，∴AB：DE=OA：OD，即2：DE=1：3，∴DE=1．故答案是：1．考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．17、【分析】根据反比例函数图象所在的象限求得，然后得到的取值范围即可．【详解】∵反比例函数的图象位于第二、四象限内，

∴，

则．故答案是：．本题考查了反比例函数的图象的性质，重点是比例系数k的符号．18、1【分析】根据弧长公式L＝求解即可．【详解】∵L＝，∴R＝＝1．故答案为1．本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L＝．三、解答题（共78分）19、（1）A（6，0），C（0，3）；（2）E（，3），y＝﹣x+；（3）满足条件的点P坐标为（6﹣3，3）或（6+3，3）或（，3）或（6，﹣3）．【解析】（1）解方程求出OA、OC的长即可解决问题；

（2）首先证明EO＝EB，设EO＝EB＝x，在Rt△ECO中，EO2＝OC2＋CE2，构建方程求出x，可得点E坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

（3）分情形分别求解即可解决问题；【详解】（1）由x2﹣9x＋18＝0可得x＝3或6，∵OA、OC的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x＋18＝0的两个根（OA＞OC），∴OA＝6，OC＝3，∴A（6，0），C（0，3）．（2）如图1中，∵OA∥BC，∴∠EBC＝∠AOB，根据翻折不变性可知：∠EOB＝∠AOB，∴∠EOB＝∠EBO，∴EO＝EB，设EO＝EB＝x，在Rt△ECO中，∵EO2＝OC2＋CE2，∴x2＝32＋（6﹣x）2，解得x＝，∴CE＝BC﹣EB＝6﹣＝，∴E（，3），设直线AE的解析式为y＝kx＋b，则有，解得，∴直线AE的函数解析式为y＝﹣x＋．（3）如图，OB＝＝3．①当OB为菱形的边时，OF1＝OB＝BP1＝3＝，故P1（6﹣3，3），OF3＝P3F3＝BP3＝3，故P3（6＋3，3）．②当OB为菱形的对角线时，∵直线OB的解析式为y＝x，∴线段OB的垂直平分线的解析式为y＝﹣2x＋，可得P2（，3），③当OF4问问对角线时，可得P4（6，﹣3）综上所述，满足条件的点P坐标为（6﹣3，3）或（6＋3，3）或（，3）或（6，﹣3）．本题考查的是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数是解题的关键.20、（1）垃圾投放正确的概率为；（2）该城市生活垃圾中的“厨余垃圾”每月（按30天）没有按要求投放的数量为3000（吨）．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出垃圾投放正确的情况数，即可求出所求的概率．（2）用样本中投放不正确的数量除以厨余垃圾的总质量，再乘以每月的厨余垃圾的总吨数即可得．【详解】解：（1）列表如下：abcA（a，A）（b，A）（c，A）B（a，B）（b，B）（c，B）C（a，C）（b，C）（c，C）所有等可能的情况数有9种，其中垃圾投放正确的有（a，A）；（b，B）；（c，C）3种，∴垃圾投放正确的概率为＝；（2）该城市生活垃圾中的“厨余垃圾”每月（按30天）没有按要求投放的数量为500×30××＝3000（吨）．考核知识点：概率.运用列举法求概率是关键.21、（1）证明见解析；（2）EF=5．【解析】试题分析：（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．试题解析：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△BDG和△ADC中，，∴△BDG≌△ADC，∴BG=AC，∠BGD=∠C，∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，∴∠EDG+∠FDA=90°，∴DE⊥DF；（2）∵AC=10，∴DE=DF=5，由勾股定理得，EF==5．22、10%．【解析】试题分析：设这两年的平均增长率为x，根据等量关系“2010年的人均收入×（1+平均增长率）2=2012年人均收入”列方程即可．试题解析：设这两年的平均增长率为x，由题意得：12000(1+x)2=14520，解得：x答：这两年的平均增长率为10%．考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．23、（1）见解析；（2）；（3）A.，B..【分析】（1）根据旋转性质证得，从而证得绪论；（2）连接、，过点作，根据旋转性质结合三角形三线合一的性质证得，再证得四边形是矩形，从而求得结论；（3）A.设，根据旋转性质结合两边对应成比例且夹角相等证得，利用相似三角形对应边成比例再结合勾股定理即可求得答案；B.作交直线于点，根据旋转性质利用AAS证得，证得OP是线段的中垂线，根据旋转性质结合两边对应成比例且夹角相等证得，利用相似三角形对应高的比等于相似比再结合勾股定理即可求得答案；【详解】（1）由题意得：，，由旋转性质得：，∵四边形是矩形（2）连接、，过点作于N，由旋转得：，∵，，∵ON⊥D，∠=∠，∴四边形是矩形，∴，∴；（3）A.如图，连接，，，由旋转的性质得：∠BO=∠，BO=O，，∴，∴，，，设，则，B.如图，过点作AG∥交直线于点G，过点O作交直线于点，连接OP，∵AG∥，，四边形是正方形，由旋转可知：，，，，，，，，，，，，在和中，，，又∵，，，，，，，又∵，，，，，设，则，，在中，由勾股定理可得：，．本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、、勾股定理、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．24、x＝﹣1或x＝2．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】x2-4x-2=1，移项，得x2-4x=2，两边都加上4，得x2-4x+4=2+4，所以（x-2）2=9，则x-2=3或x-2=-3∴x＝﹣1或x＝2．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．25、（1）证明见解析；（2）；（3）1．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．

（2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△ACB，推出，可得AD=．

（3）点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF．作FH⊥AC于H，BM⊥AC于M，BN⊥FH于N．则∠NHM=∠BMH=∠BNH=90°，由△BFN∽△BDM，可得=tan∠BDF=tanA=，推出AN=AM=×12=9，推出CH=CMMH=CMAN=169=7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．【