2026年人教版高一数学必修第一册第7单元课后练习题及答案

2026年人教版高一数学必修第一册第7单元课后练习题及答案第1页共1页2026年人教版高一数学必修第一册第7单元课后练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.已知集合A={x|-1≤x2},B={x|x≥1},则A∩B等于A.{x|-1≤x1}B.{x|1≤x2}C.{x|x≥-1}D.{x|x2}参考答案：B2.不等式|2x-1|3的解集是A.{x|-1x2}B.{x|-1x3}C.{x|-1x4}D.{x|-2x4}参考答案：A3.函数f(x)=log₃(x+1)的定义域是A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1]∪(1,+∞)D.(-∞,+∞)参考答案：B4.若直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0平行，则a的值是A.-2B.1C.-2或1D.0参考答案：C5.已知点P(a,b)在直线x-2y+3=0上，且a,b均为正整数，则点P的坐标是A.(3,0)B.(2,1)C.(5,1)D.(4,2)参考答案：B6.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是A.1B.2C.3D.4参考答案：C7.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5,d=-2,则a₅等于A.-3B.-1C.1D.3参考答案：A8.已知函数h(x)=sin(x+π/3)，则h(π/6)的值是A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/2参考答案：B9.若向量u=(1,k)与向量v=(2,-1)垂直，则k的值是A.-2B.2C.-1/2D.1/2参考答案：A10.已知圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，则圆心C的坐标是A.(1,-2)B.(-1,2)C.(2,-1)D.(-2,1)参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像的对称轴为x=1，且过点(2,0)，则b=______。参考答案：-22.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的坐标为______。参考答案：(4,-2)3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C=______。参考答案：75°4.不等式|2x-1|3的解集为______。参考答案：(-1,2)5.抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为偶数的概率为______。参考答案：1/36.已知圆的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则该圆的圆心坐标为______。参考答案：(1,-2)7.函数f(x)=log_2(x+1)的定义域为______。参考答案：(-1,+\infty)8.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则公差d=______。参考答案：29.已知直线l的斜率为2，且过点(1,2)，则直线l的方程为______。参考答案：y=2x10.若复数z=3+i，则z的模长为______。参考答案：√10三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数y=2^x的图像关于原点对称。参考答案：×2.若A={1,2,3}，B={3,4}，则A∪B={1,2,3,4}。参考答案：√3.垂直于同一直线的两条直线平行。参考答案：×4.执行“IFA10THENB=B+1”语句后，B的值一定增加。参考答案：×5.在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为√3/2，则该锐角为60°。参考答案：√6.方程组{x+y=5,x-y=1}有唯一解。参考答案：√7.若向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a与向量b共线。参考答案：×8.圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2的圆心在x轴上，则a=0。参考答案：×9.函数y=sin(x)是周期函数，其最小正周期为2π。参考答案：√10.若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么就说函数f(x)在这个区间上是单调递增（或单调递减）的。2.说明函数奇偶性的判断方法。参考答案：判断函数奇偶性，需先检查定义域是否关于原点对称。若对称，再验证f(-x)是否等于f(x)（偶函数）或-f(x)（奇函数）。若不满足对称性，则函数非奇非偶。3.列举三个常见的三角函数公式。参考答案：①同角三角函数基本关系式：sin²α+cos²α=1，tanα=sinα/cosα（cosα≠0）；②两角和与差的正弦余弦公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ；③二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α。4.分析向量平行与垂直的坐标表示方法。参考答案：向量平行（共线）的坐标表示：设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a∥b⇔x1y2-x2y1=0。向量垂直的坐标表示：设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0。5.简述等差数列前n项和的公式及其推导过程。参考答案：等差数列前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2=a1n+n(n-1)d/2。推导过程：Sn=a1+a2+…+an，倒序相加得2Sn=n(a1+an)，故Sn=n(a1+an)/2。也可用公式Sn=na1+n(n-1)d/2，其中d为公差。6.说明直线斜率的几何意义。参考答案：直线斜率表示直线倾斜程度和方向，数值等于直线上任意两点纵坐标之差与横坐标之差的比值（有限制条件）。k=(y2-y1)/(x2-x1)，x1≠x2。斜率k0表示上升，k0表示下降，k=0表示水平，k不存在表示垂直。7.列举三个平面直角坐标系中的基本变换公式。参考答案：①平移：设点P(x,y)平移向量a=(h,k)，则新坐标P'(x+h,y+k)。②伸缩：设点P(x,y)横坐标伸长λ倍，纵坐标伸长μ倍，则新坐标P'(λx,μy)。③旋转：设点P(x,y)绕原点逆时针旋转θ角，则新坐标P'(x'cosθ-y'sinθ,x'sinθ+y'cosθ)。8.分析函数图像平移的规律。参考答案：函数y=f(x)图像向左平移h个单位得到y=f(x+h)，向右平移h个单位得到y=f(x-h)。函数y=f(x)图像向上平移k个单位得到y=f(x)+k，向下平移k个单位得到y=f(x)-k。平移规律是“左加右减，上加下减”。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-2，若f(0)=3，求a，b，c的值。参考答案：a=-1，b=2，c=32.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，cosC=1/2，求△ABC的面积。参考答案：63.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。若销售量为x件，求该工厂的利润函数表达式，并求销售量为200件时的利润。参考答案：利润函数P(x)=30x-2000，200件时的利润为6000元4.解方程组：{x+2y=5{3x-y=2参考答案：x=2，y=1.55.已知向量u=(3,-1)，v=(1,2)，求向量u+v，u-v，以及u和v的夹角cosθ。参考答案：u+v=(4,1)，u-v=(2,-3)，cosθ=5/136.在直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，求线段AB的长度和倾斜角。参考答案：线段AB的长度为√10，倾斜角为arctan(2/2)=π/47.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。现要随机抽取5名学生参加活动，求抽到的5名学生中恰好有3名男生，2名女生的概率。参考答案：C(50,5;30,3;20,2)=(3020)/(5049484746)≈0.01138.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求a_3，a_4，以及数列{a_n}的通项公式。参考答案：a_3=5，a_4=9，a_n=2^(n-1)+1标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：集合A={x|-1≤x2}表示所有大于等于-1且小于2的实数，集合B={x|x≥1}表示所有大于等于1的实数。两个集合的交集A∩B就是同时满足两个条件的实数，即1≤x2。因此A∩B={x|1≤x2}，选项B正确。选项A错误，因为-1不在集合B中；选项C错误，因为不满足x2；选项D错误，因为不满足x≥1。2.参考答案：A解析：不等式|2x-1|3表示2x-1的绝对值小于3，可以转化为-32x-13。解这个复合不等式：-3+12x3+1，即-22x4，再除以2得到-1x2。因此解集是{x|-1x2}，选项A正确。选项B错误，因为不满足x2；选项C错误，因为不满足x4；选项D错误，因为不满足x4。3.参考答案：B解析：函数f(x)=log₃(x+1)的定义域要求对数函数的真数必须大于0，即x+10。解这个不等式得到x-1。因此定义域是(-1,+∞)，选项B正确。选项A错误，因为不满足x-1；选项C错误，因为不包含-1；选项D错误，因为不满足x-1。4.参考答案：C解析：两条直线平行，它们的斜率必须相等。直线l₁:ax+2y-1=0的斜率是-a/2，直线l₂:x+(a+1)y+4=0的斜率是-1/(a+1)。令-a/2=-1/(a+1)，交叉相乘得到-a(a+1)=-2，即a²+a=2，解这个方程得到a=-2或a=1。因此a的值可以是-2或1，选项C正确。选项A错误，因为不满足斜率相等；选项B错误，因为不满足斜率相等；选项D错误，因为不包含a=-2或1。5.参考答案：B解析：点P(a,b)在直线x-2y+3=0上，所以满足方程a-2b+3=0，即a=2b-3。因为a,b都是正整数，可以尝试不同的正整数值：如果b=1，则a=2(1)-3=-1（不是正整数）；如果b=2，则a=2(2)-3=1（正整数）。因此a=1,b=2，点P的坐标是(1,2)。选项B正确。选项A错误，因为不满足a=2b-3；选项C错误，因为不满足a=1；选项D错误，因为不满足a=1。6.参考答案：C解析：函数g(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和。当x在-2和1之间时，即-2≤x≤1，|x-1|+|x+2|=(1-x)+(x+2)=3。因此函数的最小值是3，选项C正确。选项A错误，因为不是最小值；选项B错误，因为不是最小值；选项D错误，因为不是最小值。7.参考答案：A解析：等差数列{aₙ}中，a₁=5,d=-2。第n项的通项公式是aₙ=a₁+(n-1)d。当n=5时，a₅=5+(5-1)(-2)=5+4(-2)=5-8=-3。因此a₅=-3，选项A正确。选项B错误，因为不是-3；选项C错误，因为不是-3；选项D错误，因为不是-3。8.参考答案：B解析：函数h(x)=sin(x+π/3)的值是sin(π/6+π/3)=sin(π/2)=1。因此h(π/6)=√3/2，选项B正确。选项A错误，因为不是1/2；选项C错误，因为不是-1/2；选项D错误，因为不是-√3/2。9.参考答案：A解析：向量u=(1,k)与向量v=(2,-1)垂直，所以它们的点积为0，即1×2+k×(-1)=0。解这个方程得到2-k=0，即k=2。因此k的值是-2，选项A正确。选项B错误，因为不是-2；选项C错误，因为不是-1/2；选项D错误，因为不是1/2。10.参考答案：A解析：圆C的方程为(x-1)²+(y+2)²=4，这是一个标准形式的圆方程，其中圆心坐标是(h,k)，半径是r。因此圆心C的坐标是(1,-2)，选项A正确。选项B错误，因为不是(1,-2)；选项C错误，因为不是(1,-2)；选项D错误，因为不是(1,-2)。二、填空题1.参考答案：-2解析：函数f(x)=ax^2+bx+c的对称轴为x=-b/(2a)，由题意得-b/(2a)=1，即b=-2a。又因为函数过点(2,0)，所以4a+2b+c=0。联立两式解得b=-2。2.参考答案：(4,-2)解析：向量a+b的坐标为(a_1+b_1,a_2+b_2)，即(1+3,2-4)=(4,-2)。3.参考答案：75°解析：三角形内角和为180°，所以角C=180°-角A-角B=180°-60°-45°=75°。4.参考答案：(-1,2)解析：由绝对值不等式的性质，|2x-1|3等价于-32x-13，解得-1x2，即解集为(-1,2)。5.参考答案：1/3解析：骰子的点数为偶数的情况有2、4、6三种，总情况数为6，所以概率为3/6=1/2。6.参考答案：(1,-2)解析：圆的标准方程为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径。由题意得圆心坐标为(1,-2)。7.参考答案：(-1,+\infty)解析：对数函数的定义域要求真数大于0，即x+10，解得x-1，所以定义域为(-1,+\infty)。8.参考答案：2解析：等差数列的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，由题意得a_5=a_1+4d，即9=3+4d，解得d=2。9.参考答案：y=2x解析：直线的点斜式方程为y-y_1=m(x-x_1)，代入点(1,2)和斜率m=2，得y-2=2(x-1)，即y=2x。10.参考答案：√10解析：复数z=3+i的模长为|z|=√(3^2+1^2)=√10。三、判断题1.参考答案：×解析：函数y=2^x是指数函数，其图像不关于原点对称，而是关于y轴对称。指数函数y=a^x（a0且a≠1）的图像具有以下性质：当a1时，图像从左下方向右上方无限延伸，当0a1时，图像从左上方向右下方无限延伸。所有指数函数的图像都经过点(0,1)，且当x趋近于负无穷时，y趋近于0，当x趋近于正无穷时，y趋近于正无穷。指数函数的图像关于y轴对称，而不是关于原点对称。关于原点对称的函数称为奇函数，指数函数y=a^x（a0且a≠1）不是奇函数，因此其图像不关于原点对称。例如，函数y=2^x的图像经过点(0,1)，但经过点(0,1)的奇函数是y=x，而y=2^x的图像显然不与y=x的图像重合。因此，函数y=2^x的图像不关于原点对称。2.参考答案：√解析：集合A={1,2,3}，集合B={3,4}，则A∪B表示集合A和集合B的并集，即包含集合A和集合B中所有元素的集合。集合A中的元素有1,2,3，集合B中的元素有3,4，将这两个集合的元素合并，并去除重复元素，得到A∪B={1,2,3,4}。并集运算的性质是：对于任意集合A和B，A∪B包含所有属于A或属于B的元素，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。在本题中，A∪B包含所有属于A或属于B的元素，即1,2,3,4，因此A∪B={1,2,3,4}。这个结论符合集合论的基本定义，因此该判断题的说法正确。3.参考答案：×解析：垂直于同一直线的两条直线不一定平行。在平面几何中，垂直于同一直线的两条直线可能相交，也可能平行，还可能重合。例如，在三维空间中，如果两条直线都垂直于同一条直线，但不在同一平面内，那么这两条直线是异面直线，既不相交也不平行。在平面几何中，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。但是，如果两条直线都垂直于同一条直线，但不在同一平面内，那么这两条直线是异面直线，既不相交也不平行。因此，垂直于同一直线的两条直线不一定平行。例如，在三维空间中，直线l1和直线l2都垂直于直线l3，但l1和l2是异面直线，既不相交也不平行。4.参考答案：×解析：执行“IFA10THENB=B+1”语句后，B的值不一定增加。这个语句是一个条件语句，当条件A10为真时，执行B=B+1，即B的值增加1；当条件A10为假时，不执行B=B+1，即B的值不变。因此，B的值是否增加取决于条件A10是否为真。例如，如果A=5，那么条件A10为假，B的值不变；如果A=15，那么条件A10为真，B的值增加1。因此，执行“IFA10THENB=B+1”语句后，B的值不一定增加。5.参考答案：√解析：在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为√3/2，则该锐角为60°。正弦函数是三角函数之一，对于角度x，sin(x)表示对边与斜边的比值。在直角三角形中，正弦值为√3/2的角度是60°，因为sin(60°)=√3/2。这是因为在30°-60°-90°的直角三角形中，对边与斜边的比值是√3/2。例如，在一个30°-60°-90°的直角三角形中，如果斜边为2，那么对边为√3，邻边为1，因此sin(60°)=√3/2。因此，在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为√3/2，则该锐角为60°。6.参考答案：√解析：方程组{x+y=5,x-y=1}有唯一解。这个方程组是一个二元一次方程组，可以通过加减消元法或代入消元法求解。首先，将两个方程相加，得到2x=6，即x=3。将x=3代入第一个方程，得到3+y=5，即y=2。因此，方程组的解为{x=3,y=2}。这个解是唯一的，因为两个方程是线性无关的，即它们的系数矩阵的行列式不为0。因此，方程组{x+y=5,x-y=1}有唯一解。7.参考答案：×解析：向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，则向量a与向量b不共线。向量共线的条件是两个向量成比例，即存在一个实数k，使得向量b=k向量a。在本题中，向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，如果向量a与向量b共线，那么应该存在一个实数k，使得(3,4)=k(1,2)，即3=k1，4=k2。解这个方程组，得到k=3。但是，3≠2，因此不存在这样的实数k，使得向量b=k向量a。因此，向量a与向量b不共线。向量a=(1,2)和向量b=(3,4)的斜率分别为2和4/3，这两个斜率不相等，因此向量a与向量b不共线。8.参考答案：×解析：圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2的圆心在x轴上，则a可以取任意实数。圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径。如果圆心在x轴上，那么圆心的y坐标为0，即b=0。但是，a可以取任意实数，因为圆心的x坐标可以任意取值。例如，圆(x-1)^2+(y-0)^2=4的圆心在x轴上，圆心坐标为(1,0)，半径为2；圆(x-5)^2+(y-0)^2=9的圆心在x轴上，圆心坐标为(5,0)，半径为3。因此，圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2的圆心在x轴上，则a可以取任意实数，b必须为0。9.参考答案：√解析：函数y=sin(x)是周期函数，其最小正周期为2π。周期函数是指函数值在某个固定的区间内重复出现的函数。正弦函数y=sin(x)是一个周期函数，其周期为2π，即sin(x+2π)=sin(x)对于所有实数x都成立。这是因为正弦函数的图像每隔2π就重复一次。正弦函数的图像是一个波形，波形从0开始，经过一个完整的周期后回到0，然后继续重复。因此，正弦函数的最小正周期为2π。例如，sin(0)=0，sin(2π)=0，sin(4π)=0，等等。因此，函数y=sin(x)是周期函数，其最小正周期为2π。10.参考答案：√解析：若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。例如，在抛硬币的实验中，事件A是出现正面，事件B是出现反面，这两个事件是互斥的，因为抛硬币时不可能同时出现正面和反面。对于互斥事件A和B，它们的并集A∪B表示事件A或事件B发生的事件。根据概率的加法规则，对于互斥事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)。这是因为互斥事件不可能同时发生，所以它们的概率可以直接相加。例如，如果事件A的概率是0.5，事件B的概率是0.3，且A和B互斥，那么P(A∪B)=0.5+0.3=0.8。因此，若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。四、简答题1.参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么就说函数f(x)在这个区间上是单调递增（或单调递减）的。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求明确区间和不等号方向。单调递增指随着自变量增大，函数值也增大；单调递减则相反。此题考查对单调性定义的理解，需掌握定义中的区间、任意性和不等号方向。错误选项可能混淆单调增减或忽略区间要求。2.参考答案：判断函数奇偶性，需先检查定义域是否关于原点对称。若对称，再验证f(-x)是否等于f(x)（偶函数）或-f(x)（奇函数）。若不满足对称性，则函数非奇非偶。解析：奇偶性判断分两步：第一步检查定义域对称性，这是必要条件；第二步验证函数关系式。偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。易错点在于忽略定义域对称性，或错误套用关系式。方法规律是先域后式，结合图像理解更直观。3.参考答案：①同角三角函数基本关系式：sin²α+cos²α=1，tanα=sinα/cosα（cosα≠0）；②两角和与差的正弦余弦公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ；③二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α。解析：三角函数公式是基础，需分类记忆。基本关系式是核心，可用于化简求值。和差角公式用于处理复合角，二倍角公式有三种形式需灵活选用。易错点在于符号错误或公式变形不当。方法规律是结合单位圆理解公式几何意义。4.参考答案：向量平行（共线）的坐标表示：设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a∥b⇔x1y2-x2y1=0。向量垂直的坐标表示：设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0。解析：向量平行垂直是向量线性关系的体现，坐标表示是计算判断的主要方法。平行条件是行列式为零，垂直条件是数量积为零。易错点在于符号混淆或计算失误。方法规律是利用行列式或数量积统一处理，注意条件中的非零限制。5.参考答案：等差数列前n项和公式：Sn=n(a1+an)/2=a1n+n(n-1)d/2。推导过程：Sn=a1+a2+…+an，倒序相加得2Sn=n(a1+an)，故Sn=n(a1+an)/2。也可用公式Sn=na1+n(n-1)d/2，其中d为公差。解析：前n项和公式有两种形式，推导过程体现倒序相加法思想。公式应用需明确a1,an,n,d四个量。易错点在于公式变形或混淆项数。方法规律是结合等差中项理解公式，注意区分首项与末项。6.参考答案：直线斜率表示直线倾斜程度和方向，数值等于直线上任意两点纵坐标之差与横坐标之差的比值（有限制条件）。k=(y2-y1)/(x2-x1)，x1≠x2。斜率k0表示上升，k0表示下降，k=0表示水