2027届江苏省启东市南苑中学九年级数学第一学期期末达标测试试题含解析

2027届江苏省启东市南苑中学九年级数学第一学期期末达标测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上的一点，且BF＝3CF，连接AE、AF、EF，下列结论：①∠DAE＝30°，②△ADE∽△ECF，③AE⊥EF，④AE2＝AD•AF，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．在中，，，则的值为()A． B． C． D．3．下列方程是一元二次方程的是（）A． B．x2+5=0 C．x2+=8 D．x（x+3）=x2﹣14．估计+1的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间5．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组6．若，则的值为（）A． B． C． D．﹣7．下列图形的主视图与左视图不相同的是（）A． B． C． D．8．设m是方程的一个较大的根，n是方程的一个较小的根，则的值是（）A． B． C．1 D．29．点M（2，-3）关于原点对称的点N的坐标是:()A．（-2，-3） B．（-2,3） C．（2,3） D．（-3，2）10．如图，反比例函数y＝与y＝的图象上分别有一点A，B，且AB∥x轴，AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，若矩形ABCD的面积为8，则b﹣a＝（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣411．下列事件是必然事件的是()A．打开电视播放建国70周年国庆阅兵式B．任意翻开初中数学书一页，内容是实数练习C．去领奖的三位同学中，其中有两位性别相同D．食用保健品后长生不老12．如图，是等边三角形，点，，分别在，，边上，且若，则与的面积比为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．二次函数的图象如图所示，若点，是图象上的两点，则____(填“>”、“<”、“=”).14．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．中，若，，，则的面积为________.16．若点P的坐标是（﹣4，2），则点P关于原点的对称点坐标是_____．17．如图是小明在抛掷图钉的试验中得到的图钉针尖朝上的折线统计图，请你估计抛掷图钉针尖朝上的概率是_____．18．如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）（1）计算；（2）解不等式．20．（8分）先化简，再求值：（）÷，其中a是一元二次方程对a2+3a﹣2＝0的根．21．（8分）如图，在下列（边长为1）的网格中，已知的三个顶点，，在格点上，请分别按不同要求在网格中描出一个点，并写出点的坐标．（1）经过，，三点有一条抛物线，请在图1中描出点，使点落在格点上，同时也落在这条抛物线上；则点的坐标为______；（2）经过，，三点有一个圆，请用无刻度的直尺在图2中画出圆心；则点的坐标为______．22．（10分）春节前，某超市从厂家购进某商品，已知该商品每个的成本价为30元，经市场调查发现，该商品每天的销售量(个)与销售单价(元)之间满足一次函数关系，当该商晶每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该商晶每个售价为60元时，每天可卖出100个．（1）与之间的函数关系式为__________________(不要求写出的取值范围)；（2）若超市老板想达到每天不低于220个的销售量，则该商品每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?23．（10分）已知某二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表.求此函数表达式.24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标；（3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标.25．（12分）综合与探究：如图所示，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点．

（1）求，的值及反比例函数的函数表达式；（2）若点在线段上，且，请求出此时点的坐标；（3）小颖在探索中发现：在轴正半轴上存在点，使得是以为顶角的等腰三角形.请你直接写出点的坐标.26．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD=4，求图中阴影部分的面积．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据题意可得tan∠DAE的值，进而可判断①；设正方形的边长为4a，根据题意用a表示出FC，BF，CE，DE，然后根据相似三角形的判定方法即可对②进行判断；在②的基础上利用相似三角形的性质即得∠DAE＝∠FEC，进一步利用正方形的性质即可得到∠DEA+∠FEC＝90°，进而可判断③；利用相似三角形的性质即可判断④.【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，E为CD中点，∴CE＝ED＝DC＝AD，∴tan∠DAE＝，∴∠DAE≠30°，故①错误；设正方形的边长为4a，则FC＝a，BF＝3a，CE＝DE＝2a，∴，∴，又∠D＝∠C=90°，∴△ADE∽△ECF，故②正确；∵△ADE∽△ECF，∴∠DAE＝∠FEC，∵∠DAE+∠DEA＝90°∴∠DEA+∠FEC＝90°，∴AE⊥EF．故③正确；∵△ADE∽△ECF，∴，∴AE2＝AD•AF，故④正确.综上，正确的个数有3个，故选：C.本题考查了正方形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键.2、D【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosB=sinA=．故选：D．本题考查了互余两角三角函数的关系，在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．3、B【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】A、方程x+2y=1是二元一次方程，故本选项错误；B、方程x2+5=0是一元二次方程，故本选项正确；C、方程x2+=8是分式方程，故本选项错误；D、方程x（x+3）=x2-1是一元一次方程，故本选项错误．故选B．本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．4、B【解析】分析：直接利用2＜＜3，进而得出答案．详解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，故选B．点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．5、A【解析】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；所以正确的有③⑥．故选A．6、C【分析】将变形为﹣1，再代入计算即可求解．【详解】解：∵，∴＝﹣1＝﹣1＝．故选：C．考查了比例的性质，解题的关键是将变形为．7、D【解析】确定各个选项的主视图和左视图，即可解决问题.【详解】A选项，主视图：圆；左视图：圆；不符合题意；B选项，主视图：矩形；左视图：矩形；不符合题意；C选项，主视图：三角形；左视图：三角形；不符合题意；D选项，主视图：矩形；左视图：三角形；符合题意；故选D本题考查几何体的三视图，难度低，熟练掌握各个几何体的三视图是解题关键.8、C【分析】先解一元二次方程求出m，n即可得出答案．【详解】解方程得或，则，解方程，得或，则，，故选：C．本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．9、B【解析】试题解析：已知点M（2，-3），则点M关于原点对称的点的坐标是（-2，3），故选B．10、A【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到|a|＝S矩形ADOE，|b|＝S矩形BCOE，进而得到|b|+|a|＝8，然后根据a＜0，b＞0可得答案．【详解】解：如图，∵AB∥x轴，AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于C，∴|a|＝S矩形ADOE，|b|＝S矩形BCOE，∵矩形ABCD的面积为8，∴S矩形ABCD＝S矩形ADOE+S矩形BCOE＝8，∴|b|+|a|＝8，∵反比例函数y＝在第二象限，反比例函数y＝在第一象限，∴a＜0，b＞0，∴|b|+|a|＝b﹣a＝8，故选：A．本题考查了反比例函数y＝（k≠0）的系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．11、C【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．【详解】A.打开电视播放建国70周年国庆阅兵式是随机事件，故不符合题意；B.任意翻开初中数学书一页，内容是实数练习是随机事件，故不符合题意；C.去领奖的三位同学中，其中有两位性别相同是必然事件，符合题意；D.食用保健品后长生不老是不可能事件，故不符合题意；故选C.本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．12、C【分析】根据等边三角形的性质先判定是等边三角形，再利用直角三角形中角的性质求得，，进而求得答案.【详解】是等边三角形，，，，∴，，是等边三角形，，，，，，，，，，．故选：C．本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质．二、填空题（每题4分，共24分）13、>【分析】利用函数图象可判断点，都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断与的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，且开口向下，∴点，都在对称轴右侧的抛物线上，∴＞．故答案为＞．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A和点B都在对称轴的右侧．14、：k＜1．【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△==4﹣4k＞0，解得：k＜1，则k的取值范围是：k＜1．故答案为k＜1．15、【分析】过点A作BC边上的高交BC的延长线于点D，在中，利用三角函数求出AD长，再根据三角形面积公式求解即可.【详解】解：如图，作于点D，则，在中，所以的面积为故答案为：.本题主要考查了三角函数，灵活添加辅助线利用三角函数求出三角形的高是解题的关键.16、（4，﹣2）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【详解】解：点P的坐标是（﹣4，2），则点P关于原点的对称点坐标是：（4，﹣2）．故答案为：（4，﹣2）．本题考查点的对称，熟记口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称，两个都变号.17、0.1【分析】利用频数统计图可得，在试验中图钉针尖朝上的频率在0.1波动，然后利用频率估计概率可得图钉针尖朝上的概率．【详解】解：由统计图得，在试验中得到图钉针尖朝上的频率在0.1波动，所以可根据计图钉针尖朝上的概率为0.1．本题考查了频数统计图用频率估计概率，解决本题的关键是正确理解题意，明确频率和概率之间的联系和区别.18、6+π．【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积．【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O作两边的垂线，垂足分别为D，E，连接AO，则Rt△ADO中，∠OAD＝30°，OD＝1，AD＝，∴S△ADO＝OD•AD＝，∴S四边形ADOE＝2S△ADO＝，∵∠DOE＝120°，∴S扇形DOE＝，∴纸片不能接触到的部分面积为：3（﹣）＝3﹣π∵S△ABC＝×6×3＝9∴纸片能接触到的最大面积为：9﹣3+π＝6+π．故答案为6+π．此题主要考查圆的综合运用，解题的关键是熟知等边三角形的性质、扇形面积公式.三、解答题（共78分）19、（1）0；（2）；【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案；（2）先把不等式①按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法求出其解集；再把不等式②按照去分母、移项、合并同类项、系数化为1的方法求出其解集，最后求出其公共解集即可；【详解】解：（1）原式＝＝＝0；（2）解不等式①得，x＞﹣4；解不等式②得，；∴原不等式组的解集是；本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，掌握实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组是解题的关键.20、a1+3a，1【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a1+3a﹣1＝0可以得到a1+3a的值，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：（）÷＝[]•a（a﹣1）＝（）•a（a﹣1）＝•a（a﹣1）＝a（a+3）＝a1+3a，∵a1+3a﹣1＝0，∴a1+3a＝1，∴原式＝1．本题考查分式的化简求值，代数式求值．解决此题应注意运算顺序，能熟练掌握通分、因式分解、约分等知识点是解题关键．21、（1）；（2）答案见解析，．【分析】(1)抛物线的对称轴在BC的中垂线上，则点D、A关于函数对称轴对称，即可求解;(2)AC中垂线的表达式为：y=x，BC的中垂线为：x=，则圆心E为：（,）.【详解】解：（1）抛物线的对称轴在BC的中垂线上，则点D、A关于函数对称轴对称，

故点D（3，2），

故答案为：（3，2）；（2）AB中垂线的表达式为：y=x，BC的中垂线为：x=，则圆心E为：（,）.作图如下：本题考查的是二次函数综合运用，圆的基本性质，创新作图，求出圆心的坐标是解题的关键．22、（1）；（2）该商品每个售价定为48元时，每天的销售利润最大，最大利润是3960元【分析】(1)设y=kx+b，再根据每个售价为40元时，每天可卖出300个；当该商晶每个售价为60元时，每天可卖出100个，列方程组，从而确立y与x的函数关系为y=−10x+700；

(2)设利润为W，则，将其化为顶点式，由于对称轴直线不在之间，应说明函数的增减性，根据单调性代入恰当自变量取值，即可求出最大值．【详解】解：(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，

由题意得，，

解得：，

∴y与x之间的函数解析式为y=−10x+700.故答案为.(2)设每天销售利润为元，由题意得由于，得∴又，．当时，随着的增大而增大∴当时，取最大值，最大值为答：该商品每个售价定为48元时，每天的销售利润最大，最大利润是3960元.本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，同时考查了由二次函数图象的对称性及增减性分析解决实际问题的能力．23、【分析】观察图表可知，此二次函数以x=1为轴对称，顶点为（1，4），判断适合套用顶点式y=a（x-h）2+k,得到，再将除顶点外的任意已知点代入，如点（-1，0），得a=-1.故所求函数表达式为【详解】解：观察图表可知，当x=-1时y=0，当x=3时y=0，∴对称轴为直线，顶点坐标为，∴设，∵当x=-1时y=0，∴，∴=-1，∴.本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，这类问题首先应考虑能不能用简便方法即能不能用顶点式和交点式来解，实在不行用一般形式.此题能观察确定出对称轴和顶点的坐标是关键.24、（1）；（2）P（，），面积最大为；（3）CM+MB最小值为，M（，0）【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，设P（a，a-3），得出PD的长，列出S△BDC的表达式，化简成顶点式，即可求解；（3）取G点坐标为（0，），过M点作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情况，再将直线BG、直线B′C的解析式求出，求得M点坐标和∠CGB的度数，再根据∠CGB的度数利用三角函数得出最小值B′C的值.【详解】解：（1）∵抛物线经过点A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），代入表达式，解得a=1，b=-2，c=-3，∴故该抛物线解析式为：.（2）令，

∴x1=-1，x2=3，

即B（3，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b′，将B、C代入得：k=,1，b′=-3，∴直线BC的解析式为y=x-3，设P（a，a-3），则D（a，a2-2a-3），∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）=-a2+3aS△BDC=S△PDC+S△PDB=PD×3=，∴当a=时，△BDC的面积最大，且为为，此时P（，）；（3）如图，取G点坐标为（0，），连接BG，过M点作MB′⊥BG，∴B′M＝BM，当C、M、B′在同一条直线上时，CM+MB最小.可求得直线BG解析式为：，∵B′C⊥BG故直线B′C解析式为为，令y=0，则x=，∴B′C与x轴交点为（，0）∵OG=，OB=3，∴∠CGB=60°，∴B′C=CGsin∠CGB==，综上所述：CM+MB最小值为，此时M（，0）.此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．25、（1），，；（2）点的坐标为；（3）【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a