2026新教材数学 4.1 二次函数 课件 湘教版数学九年级上册

二次函数湘教·九年级上册新课导入观察图片，生活中物体运动的轨迹并不总是直线，它们在空中运行的轨迹就是一条曲线.已知一矩形的长为200cm，宽为150cm，从中挖去一个圆(如图4.1-1)，设挖去的圆的半径为xcm，剩余部分的面积为Scm2，如何写出S与x之间的关系式？图4.1-1200cm150cmxcm思考新知探究由于圆的半径为x，于是挖去的圆面积为πx2，则剩余部分的面积S与圆的半径x

之间有如下关系：即S=－πx2+30000，0<x≤75.①S=200×150－πx2，0<x≤75，①式表示剩余部分的面积S与圆的半径x之间的关系，而且对于x的每一个取值，S都有唯一确定的值与它对应，即S是x的函数.200cm150cmxcm做一做某型号笔记本电脑两年前的售价为6000元，经过两次降价，现在的售价为y元，若每年的平均降价率为x，写出y与x之间的关系式.笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的(1－x)倍，于是第二次降价后的售价=原售价×(1－x)2，由此，我们可以得到两次降价后的售价y与年均降价率x之间有如下关系:y=6000×(1－x)2，0<x<1，y=6000×(1－x)2，0<x<1即

y=6000x2－12000x+6000

，0<x<1②②式表示两年后的售价y与年均降价率x

之间的关系，而且对于x

的每一个取值，y都有唯一确定的值与它对应，即y是x的函数.议一议S=－πx2+30000，0<x≤75.①y=6000x2－12000x+6000

，0<x<1②①式与②式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？函数①②的表达式都是关于自变量x的二次多项式，我们把形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数称为二次函数.其中x是自变量，a，b，c

分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项，并且称y=ax²+bx+c(a≠0)为二次函数的一般形式.y=ax²+bx

+c(a，b，c是常数，a≠0)注意：①二次函数中二次项系数不能为0.

②在指出二次函数中各项系数时，不要漏掉符号.说一说当常数a，b，c满足什么条件时，函数y=ax2+bx+c为一次函数？为正比例函数？当a=0，b≠0时，为一次函数；当a=c=0，b≠0时，为正比例函数；二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，自变量的取值范围会有一些限制．例如，前述年均降价率x满足0<x<1.1.二次函数必须同时满足的三个条件：(1)含自变量的代数式是整式；(2)化简整理后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不为0.2.二次函数的特殊形式：只含二次项，即y=ax2(a≠0，b=c=0)不含常数项，即y=ax2+bx(a≠0，b≠0，

c≠0)不含一次项，即y=ax2+c(a≠0，b=0，

c≠0)随堂诊断1.下列函数一定是二次函数的是()B.y=ax2+x+cC.y=8x2D.y=x2－(x+1)2C2.指出下列函数中哪些是二次函数.（1）（2）（3）

（4）（5）√√判定一个函数是否为二次函数的思路:1.将函数化为一般形式.2.自变量的最高次数是2次.3.若二次项系数中有字母，二次项系数不能为0.3.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)y=2x2－(x+1)2；(2)y=－(－2x－1)2+1.解：(1)化为一般式为y=x2－2x－1，所以二次项系数为1，一次项系数为－2，常数项为－1.(2)化为一般式为y=－4x2+4x，所以二次项系数为－4，一次项系数为4，常数项为0.例学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆围成一个矩形植物园，如图4.1-2所示，已知篱笆的总长度为100m，设与围墙垂直的一边篙笆的长度为xm，矩形植物园的面积为Sm²，求S与x之间的函数表达式.解由于与围墙垂直的一边篙笆的长度为xm，因此，与围墙平行的一边篙笆的长度为(100－2x)m.于是面积S与x之间有如下函数关系：S=x(100－2x)，0<x<50，即

S=－2x2+100x，0<x<50.图4.1-2列二次函数解析式的一般步骤一审二找三列审题，弄清题意，找出已知量和未知量，分析它们之间的关系，把问题中的文字语言或图形语言转化为数学语言.找到两个未知量之间的关系，用等式表示出来.结合已给或设出的未知量的字母，根据等量关系列出函数解析式，注意自变量的取值范围.4.如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，

制成一幅矩形挂画，设整个挂画的总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y

与x

之间的函数表达式是_______________________．y

＝4x2＋160x

＋1500

随堂诊断1.写出下列函数的表达式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数.练习(1)正方形的面积S关于它的边长x的函数；(2)圆的周长C关于它的半径r的函数；(3)圆的面积S关于它的半径r的函数；解：(1)S=x2；(2)C=2πr；(3)S=πr2.(1)(3)是二次函数，(2)是一次函数.2.已知一个等腰直角三角形的斜边为x，设它的面积为y，求面积y与斜边x之间的函数表达式.解由于等腰直角三角形斜边为x

，根据勾股定理得两直角边的边长为，于是面积y与x之间有如下函数关系：3.药店决定对某药物价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为x,该药品的原价为36元,降价后的价格为y

元,则y

与x

之间的函数表达式为（）A．y＝72(1－x)B．y＝36(1－2x)C．y＝36(1－x2)D．y＝36(1－x)2D4.已知是关于x

的二次函数，求出它的解析式.解：根据二次函数的定义可得解得m=3或m=－1.当m=3时，y=6x2+9；当m=-1时，y=2x2－4x+1.综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2－4x+1.课堂小