2026年湖南省湘教版高三数学第六章数列综合测试卷及答案

2026年湖南省湘教版高三数学第六章数列综合测试卷及答案第1页共1页2026年湖南省湘教版高三数学第六章数列综合测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=S_n(S_n+1)/2（n≥2），则a_5的值为A.120B.240C.360D.480参考答案：B2.若等差数列{a_n}中，a_3+a_7=12，a_5=4，则该数列的公差d为A.1B.2C.-1D.-2参考答案：C3.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=b_n(3-b_n)/2（n∈N），则b_4的值为A.3/2B.2C.5/2D.3参考答案：A4.在等比数列{c_n}中，c_2c_4=81，c_3=9，则该数列的公比q为A.3B.1/3C.-3D.-1/3参考答案：A5.已知数列{d_n}的前n项和为S_n，若d_n=S_n(n-1)/n（n≥2），则数列{d_n}的通项公式为A.nB.-nC.n^2D.-n^2参考答案：A6.若数列{e_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n-1，则e_6的值为A.32B.64C.128D.192参考答案：B7.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_{n-1}+n（n≥2），则f_5的值为A.15B.31C.45D.55参考答案：C8.在等差数列{g_n}中，g_1=-5，g_10=15，则该数列的通项公式为A.g_n=2n-7B.g_n=-2n+3C.g_n=2n-5D.g_n=-2n-7参考答案：A9.已知数列{h_n}的前n项和为S_n，若S_n=n^2+n，则h_3的值为A.7B.9C.11D.13参考答案：A10.若数列{i_n}满足i_1=1，i_n=i_{n-1}+2n（n≥2），则i_4的值为A.20B.24C.28D.32参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在等差数列{a_n}中，若a_4=10，a_7=19，则该数列的通项公式a_n=______。参考答案：9+2n2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-2，则b_5=______。参考答案：483.若等比数列{c_n}中，c_1=2，c_3=8，则该数列的公比q=______。参考答案：24.求数列{d_n}：1,-1,1,-1,...的前10项和S_10=______。参考答案：05.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_7=______。参考答案：206.已知数列{b_n}满足b_n=b_{n-1}+3n，且b_1=1，则b_6=______。参考答案：557.若等比数列{c_n}的前3项和为13，公比为2，则c_1=______。参考答案：18.求数列{d_n}：3,6,9,12,...的前n项和S_n=______。参考答案：3n(n+1)/29.在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_6=15，则a_9=______。参考答案：2310.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则b_n=______。参考答案：n三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_4=14，则该数列的公差为3。参考答案：√2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_n=2^(n-1)。参考答案：×3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=32，则该数列的公比为4。参考答案：√4.数列{d_n}：1,4,9,16,...是等差数列。参考答案：×5.已知数列{e_n}满足e_n=e_(n-1)+2n，且e_1=1，则e_5=55。参考答案：√6.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_9=20，则f_5=10。参考答案：√7.数列{g_n}：2,-4,8,-16,...是等比数列。参考答案：×8.若数列{h_n}的前n项和S_n=n^2+n，则h_n=2n+1。参考答案：×9.在等比数列{i_n}中，若i_2=6，i_4=54，则i_3=18。参考答案：√10.数列{j_n}：1,1,2,3,5,...是等差数列。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=S_n-S_(n-1)=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5(n≥2)，又a_1=S_1=1，符合上式，故a_n=6n-52.若数列{b_n}是等比数列，且b_1=2，b_3=8，求该数列的公比q。参考答案：由b_3=b_1q^2，得8=2q^2，解得q=±23.在等差数列{c_n}中，若c_5=10，c_10=25，求该数列的通项公式c_n。参考答案：设等差数列{c_n}的公差为d，则c_5=c_1+4d=10，c_10=c_1+9d=25，联立解得c_1=2，d=2，故c_n=2+2(n-1)=2n4.已知数列{d_n}满足d_n+d_(n+1)=6n+5，且d_1=1，求d_5的值。参考答案：由d_n+d_(n+1)=6n+5，得d_(n+1)=6n+5-d_n，代入d_1=1，逐项计算得d_2=5，d_3=7，d_4=9，d_5=115.若数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+2n，求e_3的值。参考答案：e_3=S_3-S_2=9+6-4-2=96.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，求f_1与f_3的值。参考答案：由f_2=f_1q=6，f_4=f_1q^3=54，联立解得f_1=2，q=3，故f_3=f_1q^2=23^2=187.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2^(n+1)-2，求该数列的通项公式g_n。参考答案：a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n+1)-2-[2^n-2]=2^n，又a_1=S_1=2，符合上式，故a_n=2^n8.若数列{h_n}是等差数列，且h_1=3，h_4=7，求h_10的值。参考答案：设等差数列{h_n}的公差为d，则h_4=h_1+3d=7，代入h_1=3，解得d=1，故h_10=3+91=12五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂生产一种产品，其成本C（单位：元）与产量n（单位：件）的关系满足C=50n+10000/n（n\geq1）。若要使产品的平均成本最低，该工厂应生产多少件产品？请计算最低平均成本。参考答案：先求平均成本函数A(n)=C/n=50+10000/n^2，再求导数A'(n)=-20000/n^3，令A'(n)=0得n=10，验证n=10时A(n)取得极小值，最低平均成本为70元。2.已知数列\{a_n\}的前n项和S_n满足S_n=3n^2-2n。求该数列的通项公式。参考答案：由a_n=S_n-S_{n-1}得a_n=6n-5，故通项公式为a_n=6n-5。3.在等比数列\{b_n\}中，若b_1=2，b_3=8，求该数列的公比q及第5项b_5。参考答案：由b_3=b_1q^2得q^2=4，故q=2或q=-2，b_5=b_1q^4=32或b_5=-32。4.某城市人口增长模型为P_n=P_0(1+r)^n，其中P_0=100万，r=0.02，n为年份，单位为年。求该城市5年后的预计人口。参考答案：代入n=5得P_5=100\times(1+0.02)^5\approx104.08万。5.已知数列\{c_n\}满足c_{n+1}=c_n+2n，且c_1=1。求c_4的值。参考答案：逐项计算得c_2=3，c_3=8，c_4=15。6.在等差数列\{d_n\}中，若d_5=10，d_{10}=25，求该数列的公差d及第15项d_{15}。参考答案：由d_{10}=d_5+5d得d=3，故d_{15}=d_5+10d=35。7.若数列\{e_n\}的前n项和S_n=n^2+2n，求e_3的值。参考答案：由e_n=S_n-S_{n-1}得e_3=S_3-S_2=15-8=7。8.在等比数列\{f_n\}中，若f_2=6，f_4=54，求f_1及f_6。参考答案：由f_4=f_2q^2得q^2=9，故q=3或q=-3，f_1=f_2/q=2或f_1=-2，f_6=f_1q^5=243或f_6=-243。标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查等比数列的性质。由a_n=S_n(S_n+1)/2（n≥2）可得a_2=S_2(S_2+1)/2=23/2=3，同理a_3=S_3(S_3+1)/2=67/2=21，a_4=S_4(S_4+1)/2=2829/2=406。则a_5=S_5(S_5+1)/2-a_4=840841/2-406=240。错误选项排除：A项为a_4的值，C项为a_6的值，D项为a_7的值，均不符合题意。2.参考答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的性质可得a_3+a_7=2a_5=12，又a_5=4，则公差d=(a_7-a_3)/(7-3)=8/4=2。错误选项排除：A项为公差的一半，B项为公差的两倍，D项为公差的负值，均不符合题意。3.参考答案：A解析：本题考查递推数列的求解。由b_1=2，b_n+1=b_n(3-b_n)/2（n∈N）可得b_2=2(3-2)/2=1，b_3=1(3-1)/2=1，b_4=1(3-1)/2=3/2。错误选项排除：B项为b_1的值，C项为b_2+b_3的值，D项为b_1+b_2+b_3的值，均不符合题意。4.参考答案：A解析：本题考查等比数列的性质。由等比数列的性质可得c_2c_4=c_3^2=81，又c_3=9，则公比q=c_4/c_3=c_2c_4/c_3^2=1。错误选项排除：B项为公比的倒数，C项为公比的平方，D项为公比的负值，均不符合题意。5.参考答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式。由d_n=S_n(n-1)/n（n≥2）可得d_2=S_2(2-1)/2=S_2/2，又d_2=S_2-S_1，则S_2=2S_1，同理S_3=3S_2，…，S_n=nS_1。则d_n=S_n-S_{n-1}=nS_1-(n-1)S_1=Sn。错误选项排除：B项为-d_n，C项为n^2，D项为-n^2，均不符合题意。6.参考答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式。由S_n=2^n-1可得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-2^{n-1}+1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。则e_6=2^5=32。错误选项排除：C项为2^6，D项为2^7，均不符合题意。7.参考答案：C解析：本题考查递推数列的求解。由f_1=1，f_n=f_{n-1}+n（n≥2）可得f_2=1+2=3，f_3=3+3=6，f_4=6+4=10，f_5=10+5=15。错误选项排除：A项为f_3的值，B项为f_4的值，D项为f_6的值，均不符合题意。8.参考答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的性质可得a_1+a_10=2a_5=10，又a_5=15，则公差d=(a_10-a_1)/(10-1)=5。则a_n=a_1+(n-1)d=-5+5(n-1)=5n-10。错误选项排除：B项为通项公式的负值，C项为通项公式的变形，D项为通项公式的负值，均不符合题意。9.参考答案：A解析：本题考查等差数列的性质。由S_n=n^2+n可得a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。则h_3=23=6。错误选项排除：B项为h_3+h_4的值，C项为h_4的值，D项为h_3+h_4+h_5的值，均不符合题意。10.参考答案：B解析：本题考查递推数列的求解。由i_1=1，i_n=i_{n-1}+2n（n≥2）可得i_2=1+22=5，i_3=5+23=11，i_4=11+24=19。错误选项排除：A项为i_3的值，C项为i_5的值，D项为i_6的值，均不符合题意。二、填空题1.参考答案：9+2n解析：本题考查等差数列的通项公式。由a_4=10，a_7=19，得3d=a_7-a_4=19-10=9，解得公差d=3。又a_4=a_1+3d，所以a_1=10-9=1。故通项公式a_n=a_1+（n-1）d=1+（n-1）×3=9+2n。2.参考答案：48解析：本题考查等比数列的通项公式。由S_n=3^n-2，得b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-2-（3^{n-1}-2）=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}。所以b_5=2×3^4=48。3.参考答案：2解析：本题考查等比数列的公比。由c_3=c_1q^2，得8=2q^2，解得q^2=4，所以q=±2。又因为等比数列的公比通常取正数，故q=2。4.参考答案：0解析：本题考查等比数列的前n项和。该数列的通项公式为b_n=(-1)^(n+1)，所以S_10=b_1+b_2+...+b_{10}=1-1+1-1+...+1-1=0。5.参考答案：20解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质，a_1+a_9=a_5+a_7，又因为a_1+a_9=20，所以a_5+a_7=20。6.参考答案：55解析：本题考查数列的递推关系。由b_n=b_{n-1}+3n，得b_2=b_1+3×2，b_3=b_2+3×3，...，b_6=b_5+3×6。累加可得b_6=b_1+3（2+3+...+6）=1+3×21=64。所以b_6=55。7.参考答案：1解析：本题考查等比数列的前n项和。由S_3=c_1+c_1q+c_1q^2=13，且q=2，得c_1+2c_1+4c_1=13，解得c_1=1。8.参考答案：3n(n+1)/2解析：本题考查等差数列的前n项和。该数列的通项公式为d_n=3n，所以S_n=3（1+2+...+n）=3n(n+1)/2。9.参考答案：23解析：本题考查等差数列的通项公式。由a_3=7，a_6=15，得3d=a_6-a_3=15-7=8，解得公差d=8/3。又a_6=a_1+5d，所以a_1=15-5×8/3=5。故a_9=a_1+8d=5+8×8/3=23。10.参考答案：n解析：本题考查数列的通项公式。由S_n=n(n+1)/2，得b_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)/2-（n-1)n/2=n。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的通项公式及其性质〉。由等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_4=14，得14=5+3d，解得d=3。故该数列的公差为3，说法正确。2.参考答案：×解析：本题考查〈数列的前n项和与通项关系〉。由S_n=2^n-1，得b_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。当n=1时，b_1=S_1=1，而2^(1-1)=1，符合。但当n≥2时，b_n=2^(n-1)成立，故b_n=2^(n-1)对任意n成立，原说法错误。3.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列的通项公式及其性质〉。由等比数列的通项公式c_n=c_1q^(n-1)，代入c_1=2，c_4=32，得32=2q^3，解得q=4。故该数列的公比为4，说法正确。4.参考答案：×解析：本题考查〈等差数列的判定〉。数列{d_n}：1,4,9,16,...的通项公式为d_n=n^2，故d_(n+1)-(n+1)^2=n^2-(n+1)^2=-2n-1，d_(n+1)-d_n=n^2-(n-1)^2=2n-1，故d_(n+1)-d_n≠d_n-d_(n-1)，不满足等差数列的定义，原说法错误。5.参考答案：√解析：本题考查〈数列的递推关系及其求值〉。由e_n=e_(n-1)+2n，得e_2=e_1+2×2=5，e_3=e_2+2×3=11，e_4=e_3+2×4=19，e_5=e_4+2×5=29。故e_5=55，说法正确。6.参考答案：√解析：本题考查〈等差数列的性质〉。由等差数列的性质，f_1+f_9=2f_5，代入f_1+f_9=20，得2f_5=20，解得f_5=10。故f_5=10，说法正确。7.参考答案：×解析：本题考查〈等比数列的判定〉。数列{g_n}：2,-4,8,-16,...的通项公式为g_n=(-2)^(n-1)，故g_(n+1)/g_n=(-2)^n/(-2)^(n-1)=-2，g_(n+1)/g_n=g_n/g_(n-1)=(-2)^(n-1)/(-2)^(n-2)=-2，故g_(n+1)/g_n=g_n/g_(n-1)，满足等比数列的定义，原说法错误。8.参考答案：×解析：本题考查〈数列的前n项和与通项关系〉。由S_n=n^2+n，得b_n=S_n-S_(n-1)=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n，当n=1时，b_1=S_1=2，而2n=2，符合。但当n≥2时，b_n=2n成立，故b_n=2n对任意n成立，原说法错误。9.参考答案：√解析：本题考查〈等比数列的性质〉。由等比数列的性质，i_4/i_2=q^2，代入i_2=6，i_4=54，得q^2=54/6=9，解得q=3。故i_3=i_2q=6×3=18，说法正确。10.参考答案：×解析：本题考查〈等差数列的判定〉。数列{j_n}：1,1,2,3,5,...的通项公式为j_n=j_(n-1)+j_(n-2)（n≥3），故j_(n+1)-j_n=j_n-j_(n-1)（n≥3），满足斐波那契数列的性质，不满足等差数列的定义，原说法错误。四、简答题1.参考答案：a_n=S_n-S_(n-1)=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5(n≥2)，又a_1=S_1=1，符合上式，故a_n=6n-5解析：本题考查《数列》中的“由S_n求a_n”。首先利用公式a_n=S_n-S_(n-1)求出n≥2时的通项公式，再验证n=1时是否符合该公式。由S_n=3n^2-2n，得S_(n-1)=3(n-1)^2-2(n-1)，代入公式计算得a_n=6n-5。当n=1时，a_1=S_1=1，也满足a_n=6n-5，故该数列的通项公式为a_n=6n-5。错误选项可能为忽略n=1时的验证或错误计算S_(n-1)。2.参考答案：由b_3=b_1q^2，得8=2q^2，解得q=±2解析：本题考查《数列》中的“等比数列的通项公式”。根据等比数列的性质，b_3=b_1q^2，代入b_1=2，b_3=8，解方程得q=±2。错误选项可能为忽略q的两种可能取值或错误计算q的值。3.参考答案：设等差数列{c_n}的公差为d，则c_5=c_1+4d=10，c_10=c_1+9d=25，联立解得c_1=2，d=2，故c_n=2+2(n-1)=2n解析：本题考查《数列》中的“等差数列的通项公式”。设等差数列{c_n}的首项为c_1，公差为d，根据题意列出方程组c_5=c_1+4d=10，c_10=c_1+9d=25，解得c_1=2，d=2，代入通项公式c_n=c_1+d(n-1)得c_n=2n。错误选项可能为忽略公差的计算或通项公式应用错误。4.参考答案：由d_n+d_(n+1)=6n+5，得d_(n+1)=6n+5-d_n，代入d_1=1，逐项计算得d_2=5，d_3=7，d_4=9，d_5=11解析：本题考查《数列》中的“递推关系式”。根据题意，数列{d_n}满足递推关系式d_n+d_(n+1)=6n+5，代入d_1=1，逐项计算得d_2=5，d_3=7，d_4=9，d_5=11。错误选项可能为递推关系式应用错误或计算错误。5.参考答案：e_3=S_3-S_2=9+6-4-2=9解析：本题考查《数列》中的“由S_n求a_n”。根据题意，数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+2n，故e_3=S_3-S_2=(3^2+23)-(2^2+22)=9。错误选项可能为S_n公式应用错误或计算错误。6.参考答案：由f_2=f_1q=6，f_4=f_1q^3=54，联立解得f_1=2，q=3，故f_3=f_1q^2=23^2=18解析：本题考查《数列》中的“等比数列的通项公式”。根据等比数列的性质，f_2=f_1q，f_4=f_1q^3，代入f_2=6，f_4=54，解方程得f_1=2，q=3，代入通项公式f_n=f_1q^(n-1)得f_3=18。错误选项可能为忽略q的计算或通项公式应用错误。7.参考答案：a_n=S_n-S_(n-1)=2^(n+1)-2-[2^n-2]=2^n，又a_1=S_1=2，符合上式，故a_n=2^n解析：本题考查《数列》中的“由S_n求a_n”。根据题意，数列{g_n}的前n项和S_n=2^(n+1)-2，故a_n=S_n-S_(n-1)=2^n。当n=1时，a_1=S_1=2，也满足a_n=2^n，故该数列的通项公式为a_n=2^n。错误选项可能为S_n公式应用错误或计算错误。8.参考答案：设等差数列{h_n}的公差为d，则h_4=h_1+3d=7，代入h_1=3，解得d=1，故h_10=3+91=12解析：本题考查《数列》中的“等差数列的通项公式”。设等差数列{h_n}的首项为h_1，公差为d，根据题意列出方程h_4=h_1+3d=7，代入h_1=3，解得d=1，代入通项公式h_n=h_1+d(n-1)得h_10=12。错误选项可能为忽略公差的计算或通项公式应用错误。五、应用题1.参考答案：先求平均成本函数A(n)=C/n=50+10000/n^2，再求导数A'(n)=-20000/n^3，令A'(n)=0得n=10，验证n=10时A(n)取得极小值，最低平均成本为70元。解析：本题考查“数列应用与最值问题”。首先求平均成本函数A(n)=C/n=50+10000/n^2，然后求导数A'(n)=-20000/n^3，令A'(n)=0得n=10。由于A''(n)=60000/n^40，故n=10时A(n)取得极小值。代入n=10得最低平均成本为70元。错误选项可能为直接代入n=1或n=100等特殊值，或忽略导数验证。2.参考答案：由a_n=S_n-S_{n-1}得a_n=6n-5，故通项公式为a_n=6n-5。解析：本题考查“由前n项和求通项公式”。根据公式a_n=S_n-S_{n-1}，当n=1时，a_1=S_1=1。当n\geq2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5。故通项公式为a_n=6n-5。错误选项可能为忽略n=1时的特殊情况，或错误计算S_{n-1}。3.参考答案：由b_3=b_1q^2得q^2=4，故q=2或q=-2，b_5=b_1q^4=32或b_5=-32。解析：本题考查“等比数列通项公式”。根据等比数列性质b_{n+1}=b_nq，有b_3=b_1q^2，代入b_1=2，b_3=8得q^2=4，故q=2或q=-2。进而b_5=b_1q^4=32或b_5=-32。错误选项可能为忽略q的正负性，或错误计算q^4。4.参考答案：代入n=5得P_5=100\times(1+0.02)^5\approx104.08万。解析：本题考查“指数函数应用”。根据人口增长模