苏教版高中数学必修第三册第6单元数列同步练习题及答案

苏教版高中数学必修第三册第6单元数列同步练习题及答案第1页共1页苏教版高中数学必修第三册第6单元数列同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则a_5的值为A.32B.64C.31D.63参考答案：C2.在等比数列{b_n}中，若b_3=12，b_6=96，则该数列的公比q为A.2B.3C.4D.5参考答案：A3.某城市人口每年自然增长率为1.5%，若当前人口为100万，则5年后该城市人口约为A.115.76万B.116.55万C.117.35万D.118.12万参考答案：A4.在等差数列{c_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5的值为A.5B.6C.7D.8参考答案：B5.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n^2+n，则d_4的值为A.7B.8C.9D.10参考答案：D6.若{e_n}是等比数列，且e_2=6，e_4=54，则该数列的公比q为A.3B.4C.5D.6参考答案：A7.在等差数列{f_n}中，若f_4+f_6=14，则f_3+f_5的值为A.6B.7C.8D.9参考答案：B8.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则g_5的值为A.16B.32C.64D.128参考答案：B9.某工厂产品的年产量第一年为100万吨，以后每年比前一年增产10%，则第三年的产量为A.133万吨B.134万吨C.135万吨D.136万吨参考答案：A10.在等比数列{h_n}中，若h_1=2，h_5=32，则该数列的通项公式为A.h_n=2^nB.h_n=2^n-1C.h_n=2×4^(n-1)D.h_n=4×2^(n-1)参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d=______。参考答案：22.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则b_3的值=______。参考答案：83.若{c_n}是等比数列，且c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=______。参考答案：34.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5的值=______。参考答案：05.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则e_5的值=______。参考答案：166.若{f_n}是等比数列，且f_1=2，f_5=32，则该数列的通项公式a_n=______。参考答案：2^n7.在等差数列{g_n}中，若a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n=______。参考答案：a_n=2n-18.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_4的值=______。参考答案：819.若{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a_1=b_1=1，a_3+b_3=10，则b_3的值=______。参考答案：910.在等差数列{c_n}中，若a_1=2，a_6=11，则该数列的前6项和S_6=______。参考答案：45三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.等差数列的通项公式可以表示为a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1是首项，d是公差。参考答案：√2.如果数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+2n，那么该数列是等差数列。参考答案：√3.等比数列的任意两项之比等于公比，即a_m/a_n=q^(m-n)，其中q是公比。参考答案：√4.数列{a_n}是等差数列，且a_3=5，a_7=11，则该数列的公差d=1。参考答案：√5.数列{b_n}是等比数列，且b_1=2，b_4=16，则该数列的公比q=2。参考答案：√6.等差数列的前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2，其中a_n是第n项。参考答案：√7.等比数列的前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q≠1。参考答案：×8.数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则c_5=243。参考答案：×9.数列{d_n}是等差数列，且a_1+a_9=20，则a_5=10。参考答案：√10.数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则e_5=16。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。参考答案：a_n=S_n-S_(n-1)=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5(n≥2)，又a_1=S_1=1，符合通项公式，故a_n=6n-52.判断数列{b_n}={(-1)^nn/(n+1)}是否为等比数列，并说明理由。参考答案：不是等比数列。理由：q=b_2/b_1=(-2)/(1)=-2，q_3=b_3/b_2=(3)/(2)≠-2，故不是等比数列3.若数列{c_n}是等差数列，且a_1=5，a_5=11，求该数列的公差d。参考答案：d=(a_5-a_1)/(5-1)=(11-5)/4=14.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n(n+2)，求d_4的值。参考答案：d_4=S_4-S_3=(46)-(35)=24-15=95.列举三个等比数列的通项公式形式，并说明其特点。参考答案：①a_n=a_1q^(n-1)(q≠0)；②a_n=a_mq^(n-m)(m,n∈N)；③a_n=S_n-S_(n-1)(n≥2,q≠-1)。特点：任意两项之比等于常数（公比），从第二项起满足a_n=a_1q^(n-1)6.若数列{a_n}满足a_n=a_(n-1)+3且a_1=2，求a_10的值。参考答案：a_10=a_1+9d=2+93=297.判断命题“等差数列的任意两项之差为常数”是否正确，并说明理由。参考答案：正确。理由：等差数列定义a_n=a_1+(n-1)d，任意两项之差a_m-a_n=(a_1+(m-1)d)-(a_1+(n-1)d)=d(m-n)，为常数d。8.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，求b_3的值。参考答案：b_3=S_3-S_2=(2^3-1)-(2^2-1)=7-3=4五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某医院为了评估其新购入的某种医疗设备的投资效益，记录了该设备在过去5年的运行成本（单位：万元）分别为：3,4,5,6,7。假设该数列{a_n}从第二项起构成一个等差数列，试求该设备前10年的总运行成本。参考答案：45万元2.某城市为了缓解交通压力，计划修建一条新的地铁线路。已知该线路的总长度为60公里，计划每年修建的长度构成一个等比数列{b_n}，其中第一年修建了5公里，第二年修建了8公里。问这条地铁线路需要多少年才能建成？参考答案：4年3.某公司为了激励员工，制定了如下的奖金方案：员工入职第一年的奖金为1万元，之后每年的奖金在上一年的基础上增加10%。假设某员工在第n年获得的奖金为a_n万元，试求该员工工作5年总共能获得多少奖金。参考答案：6.105万元4.某农场计划种植一种新作物，经过试验发现，该作物在第一年的产量为100吨，之后每年的产量在上一年的基础上增加20%。假设该农场种植该作物n年的总产量为S_n吨，试求该农场种植该作物5年的总产量。参考答案：338.8吨5.某工厂生产一种产品，已知该产品的生产成本构成一个等差数列{c_n}，其中第一年的生产成本为10万元，之后每年的生产成本在上一年的基础上增加2万元。假设该工厂生产该产品n年的总成本为T_n万元，试求该工厂生产该产品5年的总成本。参考答案：35万元6.某公司为了吸引人才，制定了如下的薪资方案：员工入职第一年的薪资为5万元，之后每年的薪资在上一年的基础上增加15%。假设某员工在第n年的薪资为d_n万元，试求该员工工作5年的平均年薪。参考答案：28.125万元7.某城市为了改善居民生活，计划修建一条新的公园道路。已知该道路的总长度为20公里，计划每年修建的长度构成一个等比数列{e_n}，其中第一年修建了2公里，第二年修建了3公里。问这条公园道路需要多少年才能建成？参考答案：3年8.某公司为了提高员工福利，制定了如下的福利方案：员工入职第一年的福利为1万元，之后每年的福利在上一年的基础上增加12%。假设某员工在第n年的福利为f_n万元，试求该员工工作5年的总福利。参考答案：18.988万元标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查等比数列的前n项和公式。由S_n=2^n-1可得a_1=S_1=1。又因为a_n=S_n-S_(n-1)，所以a_5=S_5-S_4=2^5-1-(2^4-1)=31。选项A、B、D均计算错误。2.参考答案：A解析：本题考查等比数列的性质。由b_3=12，b_6=96可得q^(6-3)=96/12=8，解得q=2。选项B、C、D均计算错误。3.参考答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式。由题意可得P=100(1+1.5%)^5≈115.76万。选项B、C、D均计算错误。4.参考答案：B解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质可得a_5=(a_1+a_9)/2=20/2=10。选项A、C、D均计算错误。5.参考答案：D解析：本题考查等差数列的前n项和公式。由T_n=n^2+n可得a_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n。所以d_4=2×4=8。选项A、B、C均计算错误。6.参考答案：A解析：本题考查等比数列的性质。由e_2=6，e_4=54可得q^(4-2)=54/6=9，解得q=3。选项B、C、D均计算错误。7.参考答案：B解析：本题考查等差数列的性质。由等差数列的性质可得f_3+f_5=2f_4。又因为f_4+f_6=14，所以2f_4=14，解得f_4=7。所以f_3+f_5=14。选项A、C、D均计算错误。8.参考答案：B解析：本题考查等比数列的前n项和公式。由S_n=2^n-1可得a_1=S_1=1。又因为a_n=S_n-S_(n-1)，所以a_5=S_5-S_4=2^5-1-(2^4-1)=32。选项A、C、D均计算错误。9.参考答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式。由题意可得P_3=100(1+10%)^2=100×1.21=121万吨。选项B、C、D均计算错误。10.参考答案：C解析：本题考查等比数列的通项公式。由h_1=2，h_5=32可得q^(5-1)=32/2=16，解得q=2。所以h_n=2×2^(n-1)=2^n。选项A、B、D均计算错误。二、填空题1.参考答案：2解析：本题考查等差数列的通项公式。由a_5=a_1+4d，代入a_1=3，a_5=9，得9=3+4d，解得d=2。2.参考答案：8解析：本题考查数列前n项和的性质。由S_n=n^2+n，得b_3=S_3-S_2=6^2+6-(2^2+2)=8。3.参考答案：3解析：本题考查等比数列的通项公式。由c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54，得54=6q^2，解得q=3。4.参考答案：0解析：本题考查等差数列的性质。由a_1+a_9=20，得2a_5=20，解得a_5=10。再由a_5=a_1+4d，得10=3+4d，解得d=7/2。但题目要求a_5的值，故a_5=0。5.参考答案：16解析：本题考查数列前n项和的性质。由S_n=2^n-1，得e_5=S_5-S_4=32-16=16。6.参考答案：2^n解析：本题考查等比数列的通项公式。由f_5=f_1q^4，代入f_1=2，f_5=32，得32=2q^4，解得q=2。故通项公式a_n=22^(n-1)=2^n。7.参考答案：a_n=2n-1解析：本题考查等差数列的通项公式。由a_3=a_1+2d，a_7=a_1+6d，代入a_3=7，a_7=15，得7=2+2d，15=2+6d，解得d=3/2，a_1=2。故通项公式a_n=2+(n-1)3/2=2n-1。8.参考答案：81解析：本题考查数列前n项和的性质。由S_n=3^n-1，得h_4=S_4-S_3=81-80=81。9.参考答案：9解析：本题考查等差数列与等比数列的混合问题。由a_3=a_1+2d，b_3=b_1q^2，代入a_1=b_1=1，a_3+b_3=10，得1+2d+q^2=10，且q^2=9，解得q=3，b_3=9。10.参考答案：45解析：本题考查等差数列前n项和的公式。由a_1=2，a_6=11，得a_1+5d=11，解得d=1。故S_6=62+(65/2)1=45。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查“等差数列通项公式”。等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d是高中数学必修第三册第6单元的核心知识点。该公式由首项a_1和公差d唯一确定，通过n-1的倍数关系表达了数列中任意一项与首项、项数n之间的线性关系。题干表述完整准确，符合等差数列的定义和通项公式形式。2.参考答案：√解析：本题考查“等差数列前n项和的判定”。等差数列前n项和S_n的一般形式为S_n=An^2+Bn，其中A和B是常数。当A=0时，S_n=Bn，即S_n与n成正比，此时数列为等差数列。本题S_n=n^2+2n中A=1≠0，但B=2≠0，因此S_n=n^2+2n不是等差数列。正确表述应为：当S_n=An^2+Bn且A≠0时，数列{a_n}是等差数列，其通项公式为a_n=S_n-S_{n-1}=2n+1。3.参考答案：√解析：本题考查“等比数列性质”。等比数列{b_n}的任意两项之比等于公比q，即a_m/a_n=q^(m-n)。这是等比数列的基本性质之一，由等比数列的定义a_{n+1}=a_nq可推导出该性质。题干表述准确，符合等比数列的定义和性质。4.参考答案：√解析：本题考查“等差数列公差的求解”。由等差数列性质a_m+a_n=a_{m+n}，可得a_7=a_3+4d，即11=5+4d，解得d=1。这是等差数列中任意两项与公差关系的典型应用。题干条件充分，计算过程符合等差数列性质，结论正确。5.参考答案：√解析：本题考查“等比数列公比的求解”。由等比数列性质a_ma_n=a_{m+n}，可得b_4=b_1q^3，即16=2q^3，解得q=2。这是等比数列中任意两项与公比关系的典型应用。题干条件充分，计算过程符合等比数列性质，结论正确。6.参考答案：√解析：本题考查“等差数列前n项和公式”。等差数列前n项和公式S_n=n(a_1+a_n)/2是高中数学必修第三册第6单元的核心知识点。该公式表达了等差数列前n项和与首项a_1、末项a_n、项数n之间的线性关系。题干表述完整准确，符合等差数列的定义和前n项和公式形式。7.参考答案：×解析：本题考查“等比数列前n项和公式”。等比数列前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)仅适用于q≠1的情况。当q=1时，等比数列变为常数列，其前n项和S_n=na_1。题干未说明q≠1，因此该公式不一定成立。正确表述应为：等比数列的前n项和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1），或S_n=na_1（q=1）。8.参考答案：×解析：本题考查“等比数列前n项和与通项关系”。数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，则c_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=23^{n-1}。因此c_5=23^4=162，而非243。题干条件正确，但计算错误。正确计算过程为：c_5=23^4=162。9.参考答案：√解析：本题考查“等差数列中项性质”。由等差数列性质a_m+a_n=a_{m+n}，可得a_1+a_9=2a_5，即20=2a_5，解得a_5=10。这是等差数列中项性质的典型应用。题干条件充分，计算过程符合等差数列性质，结论正确。10.参考答案：×解析：本题考查“等比数列前n项和与通项关系”。数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则e_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。因此e_5=2^4=16，而非32。题干条件正确，但计算错误。正确计算过程为：e_5=2^4=16。四、简答题1.参考答案：a_n=S_n-S_(n-1)=(3n^2-2n)-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5(n≥2)，又a_1=S_1=1，符合通项公式，故a_n=6n-5解析：本题考查“由前n项和求通项公式”。首先利用a_n=S_n-S_(n-1)求出n≥2时的通项公式，再验证n=1时是否符合该公式。计算过程需注意平方差公式的展开与合并同类项。错误选项可能源于未减去S_(n-1)或未展开平方项。方法规律是“S_n法求通项”的典型应用，需掌握n=1时的单独验证步骤。2.参考答案：不是等比数列。理由：q=b_2/b_1=(-2)/(1)=-2，q_3=b_3/b_2=(3)/(2)≠-2，故不是等比数列解析：本题考查“等比数列的判定”。判断等比数列需验证从第二项起任意一项与它的前一项的比等于同一个常数。错误选项可能误认为b_1/b_0存在或直接看前两项之比。易错点在于未从“任意项”角度验证，而只看前两项。方法规律是“等比数列的充要条件”的应用，需掌握q的计算与任意项比的验证。3.参考答案：d=(a_5-a_1)/(5-1)=(11-5)/4=1解析：本题考查“等差数列的通项公式”。利用a_n=a_1+(n-1)d求解公差d。错误选项可能算错差值或分母错误。易错点在于公式变形时符号或项数混淆。方法规律是“等差数列基本量（首项、公差、项数、通项、前n项和）的相互转化”。4.参考答案：d_4=S_4-S_3=(46)-(35)=24-15=9解析：本题考查“由前n项和求特定项”。利用a_n=S_n-S_(n-1)求解。错误选项可能算错S_4或S_3的值。易错点在于n的取值错误或计算符号错误。方法规律是“S_n法求特定项”的应用，需注意n的对应关系。5.参考答案：①a_n=a_1q^(n-1)(q≠0)；②a_n=a_mq^(n-m)(m,n∈N)；③a_n=S_n-S_(n-1)(n≥2,q≠-1)。特点：任意两项之比等于常数（公比），从第二项起满足a_n=a_1q^(n-1)解析：本题考查“等比数列的通项公式”。列举三种常见形式并说明特点。错误选项可能遗漏公比不为0或-1的条件。易错点在于对公式形式的理解或记忆错误。方法规律是“等比数列核心性质”的总结，需掌握不同形式间的转化。6.参考答案：a_10=a_1+9d=2+93=29解析：本题考查“等差数列的通项公式”。利用a_n=a_1+(n-1)d求解。错误选项可能算错公差或项数。易错点在于公式变形时符号或项数混淆。方法规律是“等差数列基本量”的应用，需注意公差与项数的对应关系。7.参考答案：正确。理由：等差数列定义a_n=a_1+(n-1)d，任意两项之差a_m-a_n=(a_1+(m-1)d)-(a_1+(n-1)d)=d(m-n)，为常数d。解析：本题考查“等差数列的性质”。利用通项公式证明任意两项之差为常数。错误选项可能误认为差为a_1或d的其他倍数。易错点在于公式变形时符号或项数混淆。方法规律是“等差数列核心性质”的证明，需掌握通项公式的应用。8.参考答案：b_3=S_3-S_2=(2^3-1)-(2^2-1)=7-3=4解析：本题考查“由前n项和求特定项”。利用a_n=S_n-S_(n-1)求解。错误选项可能算错S_3或S_2的值。易错点在于n的取值错误或计算符号错误。方法规律是“S_n法求特定项”的应用，需注意n的对应关系。五、应用题1.参考答案：4