部编版初中数学七年级上册第8章一元二次方程练习题及答案

部编版初中数学七年级上册第8章一元二次方程练习题及答案第1页共1页部编版初中数学七年级上册第8章一元二次方程练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.某工厂计划在x天内生产完一批零件，每天生产120个，已知已经生产了3天，还剩下y个未生产，则剩余天数与剩余零件个数的函数关系式为（）A.y=120x-360B.y=120(x-3)C.y=360-120xD.y=120x+360参考答案：B2.一元二次方程2x²-8x+6=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根参考答案：B3.若关于x的一元二次方程(m-1)x²+2x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m1B.m1C.m≠1D.m1或m1参考答案：C4.将一个长为10cm，宽为6cm的长方形铁片，四周各剪去一个边长为xcm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，盒子的容积V(cm³)与x(cm)之间的函数关系式是（）A.V=x(10-2x)(6-2x)B.V=2x(10-2x)(6-2x)C.V=x(10-x)(6-x)D.V=x(10-2x)(6-x)参考答案：A5.若x₁、x₂是一元二次方程x²-3x+2=0的两个根，则x₁+x₂的值是（）A.3B.-3C.2D.-2参考答案：A6.用配方法解一元二次方程x²+6x+5=0，下列变形正确的是（）A.(x+3)²=4B.(x+3)²=-4C.(x-3)²=4D.(x-3)²=-4参考答案：A7.某城市今年1月份的空气质量优良天数为12天，2月份比1月份增加了20%，则2月份的空气质量优良天数y(天)与1月份x(天)之间的关系式是（）A.y=1.2xB.y=0.2xC.y=1.2(x+12)D.y=0.2(x+12)参考答案：A8.一元二次方程x²-5x=0的解是（）A.x=5B.x=-5C.x₁=0，x₂=5D.x₁=0，x₂=-5参考答案：C9.若一个三角形的两边长分别为5cm和9cm，第三边的长是xcm，且x满足x²-14x+45=0，则这个三角形的周长是（）A.19cmB.20cmC.23cmD.24cm参考答案：C10.某农场计划将一块长方形土地的宽增加2米，长不变，使面积增加12平方米；若将宽不变，长增加3米，面积也增加12平方米，则这块土地的原面积是（）平方米A.36B.42C.48D.54参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.若关于x的一元二次方程x²-mx+16=0的一个根是4，则m的值是______。参考答案：82.将方程3x²-12x=0化简后，它的根是______。参考答案：0，43.若一个数的平方等于它本身，则这个数是______。参考答案：0，14.方程(x-2)²=9的解是______。参考答案：5，-15.若x₁、x₂是一元二次方程x²-5x+6=0的两实数根，则x₁+x₂=______，x₁x₂=______。参考答案：5，66.若关于x的一元二次方程mx²-3x+2=0有实数根，则m的取值范围是______。参考答案：m≠07.若一元二次方程x²-px+q=0的两根之差为3，则p²-4q=______。参考答案：98.若方程x²-kx+9=0的根是互为相反数，则k=______。参考答案：09.若关于x的一元二次方程(m+1)x²-2x+1=0有增根x=1，则m=______。参考答案：-310.若一元二次方程x²-2x-k=0的根的判别式Δ=0，则k=______。参考答案：4三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.一元二次方程x²-4x+4=0的根是x=2。参考答案：×2.若方程(x-3)²=4，则x=7。参考答案：×3.一元二次方程2x²+5x-3=0的判别式Δ0。参考答案：√4.用配方法解一元二次方程x²+6x+5=0时，需要加上9才能配成完全平方。参考答案：×5.若x₁、x₂是方程x²-5x+6=0的两个根，则x₁+x₂=5。参考答案：√6.一元二次方程x²-2x-1=0的根是正数。参考答案：√7.若方程x²+mx+1=0有两个相等的实数根，则m=2。参考答案：×8.一元二次方程3x²-6x=0的根是x=2。参考答案：×9.若x=1是方程2x²-kx+3=0的一个根，则k=5。参考答案：√10.一元二次方程x²-7x+12=0的解是x=3或x=4。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.请简述一元二次方程的一般形式，并说明其中各项的名称。参考答案：一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。ax²是二次项，系数为a；bx是一次项，系数为b；c是常数项。2.若一元二次方程x²-5x+m=0的一个根是2，求m的值。参考答案：m=63.用配方法解一元二次方程x²+4x-5=0。参考答案：x²+4x-5=0，x²+4x=5，x²+4x+4=9，(x+2)²=9，x+2=±3，x₁=1，x₂=-54.若方程(x-3)²=1，求x的值。参考答案：x₁=4，x₂=25.判别式Δ=b²-4ac在一元二次方程根的判别中起什么作用？参考答案：判别式Δ=b²-4ac用来判断一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况。当Δ0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程没有实数根，有两个共轭虚数根。6.若方程2x²-kx+1=0的两个根的平方和为5，求k的值。参考答案：k=±47.若方程x²-mx+9=0的一个根是3，求另一个根。参考答案：另一个根是38.判断方程x²-4x+4=0是否有实数根，并说明理由。参考答案：有实数根。Δ=(-4)²-4×1×4=16-16=0。因为Δ=0，所以方程有两个相等的实数根。五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品，可变成本为50元。若工厂计划每天至少盈利1000元，则每天至少需要生产多少件产品？（列方程求解）A.20件B.30件C.40件D.50件参考答案：C2.一个矩形花园的周长为40米，面积为96平方米。求这个矩形花园的长和宽。（列方程求解）A.长12米，宽8米B.长10米，宽6米C.长8米，宽12米D.长6米，宽10米参考答案：A3.某城市计划修建一条长为20千米的公路，甲工程队单独修建需要10天完成，乙工程队单独修建需要15天完成。若两队合作，需要多少天才能完成修建任务？（列方程求解）A.6天B.7天C.8天D.9天参考答案：B4.一个篮球场的长比宽多10米，周长为100米。求这个篮球场的长和宽。（列方程求解）A.长35米，宽25米B.长40米，宽30米C.长45米，宽35米D.长50米，宽40米参考答案：A5.某农场计划用长为60米的篱笆围成一个矩形的羊圈，为了节约材料，羊圈的长比宽多5米。求这个羊圈的长和宽。（列方程求解）A.长20米，宽15米B.长25米，宽20米C.长30米，宽25米D.长35米，宽30米参考答案：B6.某工厂生产一种产品，固定成本为3000元，每生产一件产品，可变成本为40元。若工厂计划每天至少盈利2000元，则每天至少需要生产多少件产品？（列方程求解）A.50件B.60件C.70件D.80件参考答案：D7.一个矩形花园的周长为60米，面积为270平方米。求这个矩形花园的长和宽。（列方程求解）A.长27米，宽10米B.长30米，宽9米C.长33米，宽8米D.长36米，宽7米参考答案：A8.某城市计划修建一条长为30千米的公路，甲工程队单独修建需要15天完成，乙工程队单独修建需要20天完成。若两队合作，需要多少天才能完成修建任务？（列方程求解）A.6天B.7天C.8天D.9天参考答案：C标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查一元二次方程的应用。每天生产120个，3天生产了120×3=360个，剩余零件个数为y，剩余天数为x，则剩余零件个数y与剩余天数x的关系式为y=120(x-3)。故选B。2.参考答案：B解析：本题考查一元二次方程根的判别式。方程2x²-8x+6=0的判别式Δ=(-8)²-4×2×6=64-48=160，所以方程有两个不相等的实数根。故选B。3.参考答案：C解析：本题考查一元二次方程根的判别式。方程(m-1)x²+2x+1=0有两个不相等的实数根，则判别式Δ=2²-4(m-1)×1=4-4m+4=8-4m0，解得m2。又因为二次项系数不为0，即m-1≠0，所以m≠1。故选C。4.参考答案：A解析：本题考查一元二次方程的应用。长方形铁片长为10cm，宽为6cm，四周各剪去一个边长为xcm的小正方形，折成一个无盖的盒子，盒子的长为(10-2x)cm，宽为(6-2x)cm，高为xcm，所以盒子的容积V(cm³)与x(cm)之间的函数关系式为V=x(10-2x)(6-2x)。故选A。5.参考答案：A解析：本题考查一元二次方程根与系数的关系。方程x²-3x+2=0的两个根x₁、x₂满足x₁+x₂=-(-3)/1=3。故选A。6.参考答案：A解析：本题考查配方法解一元二次方程。方程x²+6x+5=0，将常数项5分解为1×5，则x²+6x+1+4=0，即(x+3)²=4。故选A。7.参考答案：A解析：本题考查一元二次方程的应用。2月份比1月份增加了20%，即2月份的空气质量优良天数是1月份的1.2倍，所以y=1.2x。故选A。8.参考答案：C解析：本题考查一元二次方程的解法。方程x²-5x=0，分解因式得x(x-5)=0，所以x₁=0，x₂=5。故选C。9.参考答案：C解析：本题考查一元二次方程的应用。第三边的长xcm满足x²-14x+45=0，分解因式得(x-5)(x-9)=0，所以x₁=5，x₂=9。又因为5、9、5不能构成三角形，所以第三边长为9cm。三角形的周长为5+9+5=23cm。故选C。10.参考答案：C解析：本题考查一元二次方程的应用。设这块土地的原长为L米，宽为W米。根据题意得：(L+2)W-LW=12L(W+3)-LW=12解得L=6，W=4。所以这块土地的原面积是6×4=24平方米。故选C。二、填空题1.参考答案：8解析：本题考查一元二次方程的根与系数的关系。由题意知，x=4是方程x²-mx+16=0的一个根，代入得4²-4m+16=0，解得m=8。2.参考答案：0，4解析：本题考查一元二次方程的解法。方程3x²-12x=0可化简为x(x-4)=0，解得x₁=0，x₂=4。3.参考答案：0，1解析：本题考查一元二次方程的解法。设这个数为a，则a²=a，即a(a-1)=0，解得a=0或a=1。4.参考答案：5，-1解析：本题考查一元二次方程的解法。方程(x-2)²=9可化简为x-2=±3，解得x₁=5，x₂=-1。5.参考答案：5，6解析：本题考查一元二次方程的根与系数的关系。由根与系数的关系知，x₁+x₂=-(-5)/1=5，x₁x₂=6/1=6。6.参考答案：m≠0解析：本题考查一元二次方程根的判别式。由题意知，方程mx²-3x+2=0有实数根，则Δ=(-3)²-4m×2≥0，且m≠0，解得m≠0。7.参考答案：9解析：本题考查一元二次方程的根与系数的关系及代数式求值。设方程的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=p，x₁x₂=q，由题意知|x₁-x₂|=3，即(x₁-x₂)²=9，又(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=p²-4q，解得p²-4q=9。8.参考答案：0解析：本题考查一元二次方程的根与系数的关系。由题意知，方程x²-kx+9=0的两根互为相反数，则x₁+x₂=k=0。9.参考答案：-3解析：本题考查一元二次方程的解法。由题意知，方程(m+1)x²-2x+1=0有增根x=1，代入得(m+1)×1²-2×1+1=0，解得m=-3。10.参考答案：4解析：本题考查一元二次方程根的判别式。由题意知，方程x²-2x-k=0的根的判别式Δ=0，即(-2)²-4×1×(-k)=0，解得k=1。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查一元二次方程的解。方程x²-4x+4=0可化简为(x-2)²=0，解得x=2。但该方程只有一个根x=2（重根），题干说“是x=2”未体现重根性质，表述不完整，故错误。2.参考答案：×解析：本题考查解一元二次方程。由(x-3)²=4，开方得x-3=±2，解得x=5或x=1。题干说x=7，与计算结果不符，故错误。3.参考答案：√解析：本题考查根的判别式。方程2x²+5x-3=0的判别式Δ=5²-4×2×(-3)=25+24=490，故方程有两个不相等的实数根，故正确。4.参考答案：×解析：本题考查配方法。方程x²+6x+5=0，配方法时需加上(6/2)²=9，化简为(x+3)²=4。题干说“加上9”，未体现配方的中间步骤，表述不完整，故错误。5.参考答案：√解析：本题考查根与系数的关系。方程x²-5x+6=0的两个根x₁、x₂满足x₁+x₂=-(-5)/1=5，故正确。6.参考答案：√解析：本题考查一元二次方程的解。方程x²-2x-1=0，解得x=1±√2。由于√2≈1.41，故两个根分别为1-√2≈-0.41（负数）和1+√2≈2.41（正数），其中一个根是正数，故正确。7.参考答案：×解析：本题考查根的判别式。方程x²+mx+1=0有两个相等的实数根，需满足Δ=m²-4×1×1=0，解得m=±2。题干说m=2，未考虑m=-2的情况，表述不完整，故错误。8.参考答案：×解析：本题考查解一元二次方程。方程3x²-6x=0可因式分解为3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。题干说x=2，未考虑x=0的情况，表述不完整，故错误。9.参考答案：√解析：本题考查一元二次方程的解。由x=1是方程2x²-kx+3=0的根，代入得2×1²-k×1+3=0，解得k=5，故正确。10.参考答案：√解析：本题考查解一元二次方程。方程x²-7x+12=0可因式分解为(x-3)(x-4)=0，解得x=3或x=4，故正确。四、简答题1.参考答案：一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。ax²是二次项，系数为a；bx是一次项，系数为b；c是常数项。解析：本题考查〈一元二次方程的概念〉。一元二次方程必须满足三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。一般形式ax²+bx+c=0中，a≠0是关键，否则就不是二次方程而是一次方程。各项名称是二次项（ax²）、一次项（bx）、常数项（c），系数分别是a、b。这是七年级上册第8章的核心定义，必须掌握。2.参考答案：m=6解析：本题考查〈一元二次方程的根与系数关系〉。已知一个根是2，代入方程得2²-5×2+m=0，即4-10+m=0，解得m=6。这是应用方程根的定义解题，属于基础应用。注意检验代入后方程是否成立。3.参考答案：x²+4x-5=0，x²+4x=5，x²+4x+4=9，(x+2)²=9，x+2=±3，x₁=1，x₂=-5解析：本题考查〈配方法解一元二次方程〉。配方法的步骤是：①将常数项移到等号右边；②在左边加上一次项系数一半的平方；③将左边配成完全平方形式；④等式两边同时开平方。这里一次项系数是4，一半是2，平方是4。原方程变形为x²+4x+4=9，即(x+2)²=9。开平方得x+2=±3，解得x₁=1，x₂=-5。这是七年级上册第8章的核心解法。4.参考答案：x₁=4，x₂=2解析：本题考查〈解一元二次方程的变形〉。方程(x-3)²=1是一个完全平方式，可以直接开平方。开平方得x-3=±1，即x-3=1或x-3=-1。解得x₁=4，x₂=2。注意开平方后要写正负两种情况。5.参考答案：判别式Δ=b²-4ac用来判断一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况。当Δ0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程没有实数根，有两个共轭虚数根。解析：本题考查〈一元二次方程根的判别式〉。这是七年级上册第8章的重要结论。Δ的值决定了方程根的性质和数量，是解决与根相关问题的有力工具。必须熟记三个条件对应的根的情况。6.参考答案：k=±4解析：本题考查〈一元二次方程根与系数关系的应用〉。设两个根为x₁、x₂，则x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂。由根与系数关系得x₁+x₂=-(-k)/2=k/2，x₁x₂=1/2。代入得(k/2)²-2×(1/2)=5，即k²/4-1=5，k²=24，k=±√24=±4√6。注意题目要求k的值，需化简。这里题目数据较复杂，需要计算能力。7.参考答案：另一个根是3解析：本题考查〈一元二次方程根与系数关系的应用〉。设两个根为x₁、x₂，由根与系数关系得x₁+x₂=-(-m)/2=m/2，x₁x₂=9。已知一个根是3，代入得3+x₂=m/2，3x₂=9。解得x₂=3。即两个根都是3，说明方程有两个相等的实数根。这是对根与系数关系的逆向应用。8.参考答案：有实数根。Δ=(-4)²-4×1×4=16-16=0。因为Δ=0，所以方程有两个相等的实数根。解析：本题考查〈一元二次方程根的判别式的应用〉。首先计算判别式Δ=b²-4ac，这里a=1，b=-4，c=4。Δ=(-4)²-4×1×4=16-16=0。根据判别式的意义，Δ=0时方程有两个相等的实数根。五、应用题1.参考答案：C解析：本题考查一元二次方程的应用。设每天需要生产x件产品，则每天的总成本为2000+50x元，每天的总收入为60