2027届高考数学复习考点考法通关训练第2讲 常用逻辑用语综合 测试(解析卷)

第2讲常用逻辑用语·综合测试（解析卷）

答案速查表

12345

DCBBB

678910

CCCABDBC

1112131415

（1）

或

，{�∣−2≤

AB

2�<−1−

�∃�>0�−或

31<�<

47�+6>0（2）

0�>2}

16171819

(−1,3)

5

[−1,0]∪,4(−∞,1][1,7)[3,+∞)

3

1.（2026·山东德州·4月二模）已知为正实数，则“”的充要条件可以是

A.�,�B.�>�

��

C.𝑎>𝑎D.�>�

11

【答案】�D+�>��+ln�>�+ln�

【解析】对于A，若，则推不出，故A错误.

对于B，若，则�≤0推�不�出>𝑎，故�B>错�误.

��

对于C，�≤0，取�>�，�满>足�，但成立；取，不满足，

111

但�+也�成>立�，故�C=错2,误�=.1�>�2+1>1�=1,�=2�>�

1

对于1+D，2>构2造函数，其在上单调递增.∵，即，

∴.反之，若�(�)=�，+l则n�(0,+，∞即)�+成ln立�>.故�D+正ln确�.�(�)>�(�)

【�点>拨�】本题考查�充>要�条>件0的判�断(�，)通>过�(构�)造函数�+并l利n�用>其�单+调ln性�来判断不等式的等价关系是解

决此类问题的有效方法.

2.（2026·广东茂名·一模）“”是“”的

11

A.充分不必要条件ln�>ln�0<�B<.�必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由可得.

由可ln�得>ln��.>�>0

11

0<�<��>�>0

与等价，∴“”是“”的充分必要条件.

11

∵【�点>拨�】>本0题考�>查充�>分0必要条件的判ln断�，>解ln题�的核心0在<于�将<两�个条件分别等价转化为最简形式，

再比较其范围大小.

3.（2026·宁波十校·3月联考）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”

.已知，则“”是“”的

1,�∈�

�(�)=�,�∈��+�∈��(�)+�(�)=2

A.充0分,不�必∈∁要�条�件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】∵，∴，∴，∴，故“

”是“�(�)+�(�)=”2的必要�(条�)件=.1,�(�)=1�∈�,�∈��+�∈��+�∈

�当�(�，)+假�设(�)=2时，，此时，则

�+�∈，�故“�=2”,�是=“−2�+�=0”∈的�不充分条�(件�).=0,�(�)=0�(�)+

�综(上�)：≠“2�+”�是∈“��(�)+�(”�)的=必2要不充分条件.

【点拨】�本+题�考∈查�新定义函�(数�)与+充�分(�必)=要2条件的判断，理解狄利克雷函数的取值规则并善于通过

举反例来否定充分性是关键.

4.（2024·天津一中·阶段练习）“”是“”的

11

A.充分不必要条件cos2�=−2Bc.o必s�要=不2充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】∵，∴，所以“”是“”的必要

21111

不充分条件.cos2�=2cos�−1=−2cos�=±2cos2�=−2cos�=2

【点拨】本题考查充分必要条件的判断，需熟练掌握二倍角余弦公式进行等价转化.

5.（2024·上饶六校·5月模拟）已知数列满足，则“”是

“是递增数列”的{��}��=�−�(�∈�)�≤1

{|�A�|.}必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当时，，则，所以是递增数列；

�≤1��=�−�>0|��|=|�−�|=�−�{|��|}

反之，当时，1，数列单调递增，因此当数列是递增

554,�=1

�=4|��|=�−4=5{|��|}{|��|}

数列时，可以大于，所以“”�−是4“,�≥是2递增数列”的充分不必要条件.

【点拨】�本题考查充1分必要条件�的≤判1断，结{合|�数�|}列的单调性，通过举反例说明必要性不成立是解

题的突破口.

6.（2026·江西南昌·3月测试）已知圆，：点在圆外，：直线

22

与圆有两个公共点，则�:�是+的�=1��(�,�)��

�:��A+.�充�分=不1必要�B.必要不充�分�C.充分必要D.既不充分也

不必要

【答案】C

【解析】点在圆外，等价于.

2222

直线�(�,�)与圆�:�+�=1有两个公共�点+，�等价>于1圆心到直线的距离.

22

�:��+��=1，∴�:�+�=，1即.�(0,0)��<1

|−1|1122

222222

∵�与=等�价+�，=即�是+�的充分�必+�要<条件1.�+�>1

∴【�点拨�】本题考�查直�线与圆的位置关系及充要条件的判断，将几何关系转化为代数不等式是解题

的关键.

7.（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，给

1

出下列命题：�1:�+(1+�)�=1−�(�∈�)�2:�=−2�

①，使得；②，使得；

③∃�∈�，与�1都∥相�2交；④∃�∈�，使�得1⟂原�2点到的距离为.

其中∀�正∈确�的是�1�2∃�∈��12

A.①②B.②③C.②④D.①④

【答案】C

【解析】对于①，若，则，该方程组无解，①错；

11

−�+1=−2

�1∥�2

对于②，若，则1−�≠0，解得，②对；

113

对于③，当�1⟂�2时，直−1线+�的⋅方−程2为=−1，�=即−2，此时，重合，③错；

1

对于④，直�线=的1方程为�1�+2�=0，若�=−2�，使得原点�1到,�2的距离为，则

，�1整理可得�+(�+1)�+�−，1=0∃�∈�，方程�12

|�−1|22

2

有1+解(�，+1④)对=.23�−10�+7=0Δ=100−4×3×7>03�−10�+7=0

【点拨】本题考查直线的位置关系及点到直线的距离公式，需分类讨论直线斜率存在与否的情况.

8.（2025·萍乡实验·3月一模）命题“，使”是假命题，

2

则实数的取值范围为∃�0∈���0−(�+3)�0+�≤0

A.�B.C.D.

【答案】

�C<0�<−1�>3�≥3

【解析】命题“，使”是假命题，等价于其否定“，

2

∃�0∈�”是�真�0命−题(�.+3)�0+�≤0∀�∈�

2

�当�−(�时+，3不)�等+式�化>为0，不恒成立.

�=0−3�>0

当时，要使恒成立，需满足.

2�>0

�≠0��−(�+3)�+�>022

由，即，解得Δ=或(�+3).−4�<0

22

结Δ合=−3�，+可6得�+9<.0�−2�−3>0�<−1�>3

【点�拨】>本0题考查�存>在3量词命题的真假判断，将其转化为全称量词命题恒成立问题，并结合二次

函数的图象特征求解是关键.

9.（2026·安徽马鞍山·一模）已知，条件，则成立的充分不必要条件

有�,�∈��:�+�<2�

A.B.C.D.且

22

�=�=0|�|+|�|<2�+�=2ln�<0

【答案】

ln�<0ABD

【解析】对于A，由，得，而也能使成立，因此

是成立的�充=分�不=必0要条件�+，�A=是0；<2�=1,�=0�+�<2

�对=于�B=，0�，由，得，而也能使成立，

因此�≤|�|,�是≤|成�|立的充|�|分+不|�必|<要2条件，�B+是�；<2�=−2,�=0�+�<2

对于|C�|，+当|�|<2�时，成立，而不等式不成立，因此不是

2222

的充分条件�，=C�不=是1；�+�=2�+�<2�+�=2�

对于D，由且，得且，则，而也能

使l成n�立<，0因此ln�<0且0<�<是1成0立<的�充<分1不必要0条<件�+，�D<是2.�=�=0

【�点+拨�】<本2题考查充分不ln必�要<条0件的ln判�断<，0通过�举反例或利用不等式的性质进行逻辑推理是解题

的关键.

10.（2026·山东泰安·5月三模）下列选项正确的是

A.已知是两个非零向量，则“”是“与的夹角为钝角”的充要条件

B.“�,�”是“”的充分�不⋅�必<要0条件��

C.事si件n�=与1相互独c立os的�=充0要条件是

D.已知�等比�数列的公比为，则�“(��)=”�是(�“)�(�)是单调递增数列”的必要不充

分条件{��}��>1{��}

【答案】BC

【解析】对于A，若，则与的夹角为钝角或平角（夹角为时，

�）.⋅所�以<“0��”是“夹角为钝角”的必要不充�分条件，故A错误.

�对于⋅�B=，−若|�||�|<0，则�⋅�<0，此时成立.若，则

�

，此si时n�=1�，=不2�一�定+有2(�∈�).“cos�=”0是“cos�”=的0充分�不=必�要�条+件，

�

故2(�B∈正�确).sin�=±1sin�=1∴sin�=1cos�=0

对于C，事件与相互独立的充要条件是，这是相互独立的定义，故C正确.

���(��)=�(�)�(�)

对于D，若等比数列的公比为，当且时，数列单调递减；当且

时，数列单{�调�}递减.若�是单�调1递<增0数�列>，1则{��}或�1>0，此0时<推

�不<出1.“{��”}既不是充分{条��件}也不是必要条件，故�1D>错0误,�.>1�1<0,0<�<1

【点�拨>】1本∴题�考>查1命题的真假判断与充要条件，涉及向量夹角、三角函数方程、独立事件及等比

数列的单调性，需全面掌握相关基础知识.

11.已知，下列命题中是真命题的有

A.0<�<�<1，B.，C.

��

∀�，∈(0,+∞)�>D�.，∀�∈(0,1)log��>log��

���

∃【�答∈案(0】,1A)B�>�∃�∈(0,�)�>log��

【解析】对于，由得：，，，则，

A�

�����0

���

A正确；0<�<�<1�>1∀�∈(0,+∞)�=�>�=1�>�

对于B，，.，∴，∴.，

ln�ln�11

��

，lo∴g�=ln�，l即og�=ln�∵0<，�B<正�确<；1ln�<ln�<0ln�<ln�<0∵�∈(0,1)

ln�ln�

l对n�于<C0，函数ln�>ln�log��>lo在g��上为减函数，而，则，即

���

，�，=C�错(误0；<�<1)(0,1)0<�<�<1�<�∀�∈

��

(对0,于1)D，�当<�时，，，即，D错误.

��

【点拨】本�题∈考(查0,指�)数函�数与<对1数l函og数��的>单lo调g�性�>，l灵og活��运=用1换底公�式<及lo作g�差�比较法是判断命题真

假的关键.

12.（2025·沧衡八县·3月一模）将分别标有数字的个大小相同的小球放入一个

不透明的袋子中，甲、乙两人分别从袋中摸出一1球,2，,3,互4,5相不5知道对方摸出球的数字.甲先

对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙再对甲说：“我也不能确定咱俩

谁的球上面的数字更大.”若甲、乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球上的数字为＿

＿＿＿＿＿.

【答案】

【解析】3甲摸出一球，乙摸出一球.数字分别为，且.

甲说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大�,.�”∈{1,2,3,4,5}�≠�

如果甲摸到的是5，甲一定知道自己的大；如果甲摸到的是1，甲一定知道自己的小.

所以甲摸到的不是1和5，甲的数字.

乙听到甲的话，知道了.�∈{2,3,4}

乙说：“我也不能确定咱�∈俩{谁2,3的,4球}上面的数字更大.”

如果乙摸到的是5，乙知道自己的比甲（2,3,4）大，乙就能确定；

如果乙摸到的是1，乙知道自己的比甲（2,3,4）小，乙也能确定；

如果乙摸到的是4，乙知道甲是2或3（因为甲不可能是4，），那么乙一定比甲大，乙就能

确定；�≠�

如果乙摸到的是2，乙知道甲是3或4，那么乙一定比甲小，乙就能确定.

因此，乙摸到的只能是3.因为如果乙摸到3，甲可能是2或4，乙无法确定谁大谁小.

所以乙摸球上的数字为3.

【点拨】本题考查逻辑推理能力，通过逐步排除确定性情况，缩小可能取值的范围是解决此类推

理题的常用策略.

13.（2024·山东潍坊·二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一

个可能值是＿＿＿＿＿＿.�=�sin�+cos�>1�

【答案】

�

【解析】由4可得，则，所以

��2��

sin�，+解co得s�>12sin�+4>1，因为si“n�+4”>是“22��+4<”�的+一4个<

3��

2充�分�+条件4(，�故∈�的)一个可2能��取<值�为<.2��+2(�∈�)�=�sin�+cos�>1

�

【点拨】本题考�查三角不等式的解4法及充分条件的含义，利用辅助角公式化简三角函数是解题的

基础.

14.（2025·石家庄·5月三模）若命题：，，则命题的否定为＿＿

2

＿＿＿＿.�∀�>0�−7�+6≤0�

【答案】，

2

【解析】∃命�题>0：�−7，�+6>0的否定为：，.

22

【点拨】本题考�查∀全�>称量0词�命−题7的�否+定6≤，0需注意改变量∃词�并>否0定�结−论7，�但+不6能>改0变条件域.

15.（13分）（2026·合肥一六八·一模）已知函数的定义域为，关于的不等

�+2

式的解集为.�(�)=�+1��

22

（�1）−若2�+2�时−，�求≤0；�

（2）若�=2是的(∁�充�分)∩条�件，求实数的取值范围.

【答案】（�∈1）��∈�或�或（2）

【解析】（1）{由�∣−2≤�<−1−1且<�<0，�所>以2集}合(−1,3)且，..........2分

�+2≥0

由⇒�≥−2�≠−1；�={�∣�≥−2�≠−1}

�+1≠0

22

当�−2�时+，2不�等−式�为≤0⇒(�−�)(�−2+�)≤，0即集合，............................4分

又�=2或�(�−，2.)...≤....0....⇒....0....≤....�...≤....2..................�....=....{..�..∣.0...≤....�....≤....2..}.................................5分

所∁以��={�∣�<0�>2}或或；.........................................................7分

（2）(∁因��为)∩�=是{�∣−2的≤充�分<−条1件，−所1以<�是<0的子�集>，2又}且，............8分

当时，�∈��∈�，满足题意，....�......�.......................�...=....{..�..∣.�....≥...−....2.......�...≠...−....1..}.................9分

当�=1时，�={�∣�=1}，所以或，得，............11分

�≥−2�>−1

�<1�={�∣�≤�≤2−�}−1<�<1

当时，，所以2−�<−1，得2−�<1........................................13分

�>1

�>1�={�∣2−�≤�≤�}1<�<3

2−�>−1

综上，实数的取值范围为.

【点拨】本题�考查集合的运(算−及1,3充)分条件的判定，解题的关键是正确求出集合A和B，并结合数

轴分类讨论参数的取值范围.

16.（15分）若命题“，”为假命题，求实数的

2

取值范围.∃�∈[−1,3]��−(2�−1)�+3−�<0�

【答案】

5

【解析】[命−题1“,0]∪3,4，”为假命题，其否定为真命题，

2

即“∃，�∈[−1,3]��−(2�−1)�+”3为−真�命<题0...........................................................3分

2

令∀�∈[−1,3]��−(2�−1)�+3−�≥0，...................................................6分

22

则�(�)=��−，2.�..�...+....�...+....3...−....�...=....(..�.....−...2...�...−....1..).�....+...�...+....3....≥....0........................................................9分

（）

�(−1)≥0

即�3≥0，........................................................................................................................12分

2

−�2+3�+4≥0

解得3�−5�≥0，所以实数的取值范围为分

或.......................................................15

5

−1≤5�≤4

�[−1,0]∪3,4

【点拨�】≥本3题�考≤查0存在量词命题的真假判断及主元法的应用，将关于的不等式转化为关于的一

次函数恒成立问题是解题的突破口.��

17.（15分）已知命题：，，若为假命题，求实数的取值范

2

围.�∃�∈��+2�+2−�<0��

【答案】

【解析】(∵−命∞题,1]：，，

2

：，�∃�∈��+2�，+..2...−....�....<....0................................................................................4分

2

∴又¬∵�为∀�假∈命�题，�∴+2�为+真2命−题�，≥.0......................................................................................................7分

即�，¬�恒成立，

2

∀�∈，�即�+2�+2−�≥，0..........................................................................................................11分

2

∴解Δ得≤0...2.....−....4..(..2...−....�..)...≤....0...............................................................................................................15分

【点�拨≤】1本题考查命题真假的等价转化，利用二次函数恒成立与判别式的关系是求解参数范围的

常规方法.

18.（17分）若命题：“，”是假命题，求的取值

22

范围.�∃�∈�(�−1)�+4(1−�)�+3≤0�

【答案】

【解析】[∵1,命7)题“，”是假命题，

22

∴命题“，∃�∈�(�−1)�+4(1−�)�”+是3真≤命0题，....................................................3分

22

若∀�∈，�即(�−或1)�+4(，1−�)�+3>0

2

当�−1时=，0不等�式=为1�=，−恒1成立，满足题意；.........................................................................6分

当�=1时，不等式为3