2026年深圳大学《线性代数》作业及答案

2026年深圳大学《线性代数》作业及答案作业习题部分填空题（每小题3分，共30分）已知3阶方阵A的行列式|A|=2，排列202619873的逆序数为____设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，若AB若向量组α1=(设3阶方阵A的特征值为1,2,-3，则|A齐次线性方程组x1若二次型f(设A为3阶方阵，满足A2+2已知向量α=(1,2设3维列向量线性无关，矩阵，则P的秩为____选择题（每小题4分，共20分）设A,B均为n阶可逆矩阵，下列等式成立的是（）A.B.C.D.2.已知n维向量组线性无关，则下列结论正确的是（）A.任意增加一个n维向量，向量组仍然线性无关B.任意减少一个向量，向量组仍然线性无关C.存在不全为0的数使得D.向量组中至少有一个零向量3.设非齐次线性方程组，其中A是矩阵，且，则下列结论正确的是（）A.若，则方程组有解B.若，则有唯一解C.若，则有唯一解D.若，则有无穷多解4.设A为3阶方阵，A与对角矩阵相似的充要条件是（）A.A有3个不同的特征值B.A有3个线性无关的特征向量C.A的特征值都是单根D.A是实对称矩阵设二次型，其中A为n阶实对称矩阵，若f的秩为r，符号差为s，则下列关系正确的是（）A.是偶数，B.是奇数，C.是偶数，D.是奇数，计算题（每小题8分，共32分）计算4阶行列式D已知矩阵A=1求向量组α1求非齐次线性方程组的通解，要求用基础解系表示证明题（每小题9分，共18分）设n阶方阵A满足Ak=O（k为正整数），证明设A为n阶实对称矩阵，且满足A3−4参考答案与解析填空题答案及解析答案：-4解析：由逆矩阵性质，伴随矩阵性质，代入得原式2.答案：12解析：逆序数为每个元素前比其大的元素个数之和：2(0)+0(1)+2(1)+6(0)+1(3)+9(0)+8(1)+7(2)+3(4)=0+1+1+0+3+0+1+2+4=12答案：0解析：由矩阵秩的性质，时，已知，故，结合秩的非负性得4.答案：5解析：3个3维向量线性相关等价于其构成的行列式为0，计算得，解得5.答案：51解析：矩阵多项式的特征值为，代入A的特征值得，行列式为特征值乘积：6.答案：3解析：系数矩阵秩，基础解系向量个数为7.答案：解析：二次型矩阵，正定要求顺序主子式全大于0：一阶，二阶，三阶，取交集得8.答案：解析：凑逆矩阵因子：，两边左乘得9.答案：解析：秩1矩阵的幂满足，计算，代入得结果10.答案：3解析：，过渡矩阵行列式为2≠0可逆，故选择题答案及解析1.答案：D解析：A选项，错误；B选项可逆矩阵和的逆不等于逆的和（如时），错误；C选项，错误；D选项，正确2.答案：B解析：A选项增加零向量则线性相关，错误；B选项线性无关组的任意子集均线性无关，正确；C选项线性无关组只有全零系数的线性组合为零向量，错误；D选项线性无关组不含零向量，错误答案：A解析：A选项时，增广矩阵秩，故，方程组有解，正确；B、C、D选项均可能出现的无解情况，错误4.答案：B解析：n阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件是有n个线性无关的特征向量，A、C、D均为充分非必要条件，正确选B答案：A解析：符号差，秩，故为偶数，，正确选A计算题答案及解析1.答案：5解析：该三对角行列式满足递推关系，即，是公差为1的等差数列，，故，4阶行列式，直接展开验证结果一致。2.答案：解析：构造增广矩阵，做初等行变换将A化为单位矩阵，右侧即为逆矩阵：继续行变换化简后得右侧逆矩阵，验证成立。3.答案：秩为2，极大无关组为；，解析：将向量按列排成矩阵做行最简形变换：首非零元对应列为极大无关组，剩余列系数即为线性表示的系数。4.答案：通解为，为任意实数解析：增广矩阵行变换得，，取为自由变量，解得通解，消去分母后基础解系也可表示为。证明题答案及解析1.证明：计算乘积，由得乘积等于E，根据可逆矩阵定义，可逆，且逆矩阵为，得证。2.证明：设为A的任意特征值，对应特征向量，代入等式得，因故，特征值为1或2，均为正实数；又A是实对称矩阵，所有特征值为正，故A为正定矩阵，得证。使用说明本次作业为深圳大学2025-2026学年第二学期《线性代数》公共课统一配套作业，适用于理工科、经管类