2026年线性代数期中考试试题及答案

2026年线性代数期中考试试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）排列的逆序数为（）A.B.C.D.设是3阶方阵，将的第一行的倍加到第三行得到，若，则（）A.B.C.D.设都是阶可逆方阵，下列等式一定成立的是（）A.B.C.D.设是矩阵，，则下列说法正确的是（）A.中所有阶子式都不为零B.中所有阶子式都不为零C.中存在阶子式不为零D.中所有阶子式都不为零设是3阶可逆矩阵，交换的第二列和第三列得到矩阵，则（）A.交换第二行和第三行得到B.交换第一行和第二行得到C.交换第二列和第三列得到D.交换第一列和第二列得到向量组线性无关的充要条件是（）A.存在全为零的数使得B.任意部分组都线性相关C.任意部分组都线性无关D.每个向量都可以由其余向量线性表示设是阶可逆矩阵，是阶可逆矩阵，分块矩阵，则为（）A.B.C.D.设是矩阵，，齐次线性方程组的解空间的维数是（）A.B.C.D.下列关于矩阵等价与向量组等价的关系，说法正确的是（）A.若与等价，则的行向量组与的行向量组等价B.若的行向量组与的行向量组等价，则与等价C.若与等价，则与的列向量组等价D.秩相等的两个同型矩阵，它们的列向量组一定等价10.设是矩阵，非齐次线性方程组有解的充要条件是（）A.B.C.D.二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）计算n阶行列式Dn=a11设A是3阶方阵，|A|=已知向量组α1=(设初等矩阵E(i,j(k))表示把矩阵的第设齐次线性方程组只有零解，则的取值范围是_________三、计算题（本题共4小题，每小题10分，满分40分）计算四阶行列式D已知矩阵A=10111011已知向量组α1已知非齐次线性方程组，讨论参数取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出方程组的通解。四、证明题（本题共2小题，每小题5分，满分10分）设n阶矩阵A满足A2−3A−设是矩阵，是矩阵，证明：。—以下为参考答案及解析—一、选择题答案1.A2.A3.C4.C5.A6.C7.B8.B9.B10.C解析：1.计算逆序数时，前n个奇数之间不存在逆序，每个奇数仅比后个偶数大，因此总逆序数为，故选A。2.初等行变换中将一行的倍数加到另一行，行列式值不变，因此，伴随矩阵行列式满足，故选A。3.对可逆矩阵，有，因此，而，因此成立，其余选项均存在反例，比如A选项取A=E,B=-E，A+B=O不可逆，显然不成立；D选项，只有k=1时成立，故选C。4.矩阵秩的定义为矩阵中非零子式的最高阶数，因此意味着至少存在一个阶子式不为零，所有阶子式全为零，对低阶子式没有要求，可能存在r-1阶零子式，因此只有C正确。5.由题设，因此，左乘初等矩阵对应交换矩阵的第二行和第三行，因此交换第二行第三行得到，故选A。6.由线性无关的定义，向量组线性无关等价于任何一个部分组都线性无关，等价于只有全零组合才能得到零向量，其余选项都是线性相关的性质，比如D选项每个向量可由其余线性表示就是线性相关的充要条件，故选C。分块矩阵验证可得OABO齐次方程组解空间维数满足N(两个同型矩阵行向量组等价，说明它们可以互相线性表示，因此秩必然相等，故两矩阵等价；反之，矩阵等价仅表示可以通过初等变换互化，不代表行或列向量组可以互相线性表示，秩相等的两个同型矩阵也不一定列向量等价，因此只有B正确。非齐次线性方程组有解的充要条件就是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，其余选项都是充分或必要条件，不是充要条件，故选C。二、填空题答案12.13.14.15.解析：11.本题为箭形行列式，从第二列开始，每一列乘以加到第一列，即可消去第一列所有下方的1，得到上三角行列式，最终结果为。对n阶矩阵A，(kA)*=kn将向量组组成矩阵做初等行变换，秩为2时行列式等于零，解得t=3。初等矩阵E(i,三阶齐次方程组只有零解等价于系数行列式不等于零，计算得行列式为，因此。三、计算题解答解：利用初等行变换化简行列式，首先将第一行的2倍加到第二行，第一行的-1倍加到第三行，第一行的-1倍加到第四行，可得：按第四行展开，第四行只有第一个元素非零，因此：因此行列式。17.解：首先计算，由伴随矩阵性质，因此。将其代入原方程得：，整理得，进一步化简，代入得：，两边左乘，右乘得，因此。计算，利用初等行变换求逆：，因此。18.解：将向量组按列排成矩阵，对做初等行变换：行阶梯形有4个非零行，因此向量组的秩为4，主元位于第1、2、4、5列，因此一个极大线性无关组为。继续化行最简形：因此可得，即。19.解：写出增广矩阵并做初等行变换：分情况讨论：当b−2a当b−2a=0当且时，若即，此时，方程组无解；若，则，此时，方程组有无穷多解，继续化行最简形：取自由未知量，得通解为：四、证明题解答证明：由已知，对等式变形凑因式可得：我们需要找到矩阵使得，设，展开得，将代入得，因此满足方程组，解得，因此：，根据可逆矩阵的定义，可逆，且。证明：构造阶分块矩阵，对做分块初等行变换，将第一行左乘