2026年人教版高一数学第二十五章线性规划综合测试卷及答案

2026年人教版高一数学第二十五章线性规划综合测试卷及答案第1页共1页2026年人教版高一数学第二十五章线性规划综合测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.某工厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品消耗A原料3千克，B原料1千克，利润为40元；每件乙产品消耗A原料1千克，B原料2千克，利润为30元。工厂现有A原料120千克，B原料100千克，在不超出原料限制的情况下，为了使利润最大，应生产甲、乙产品的组合是（）A.甲30件，乙20件B.甲25件，乙25件C.甲20件，乙30件D.甲15件，乙35件参考答案：C2.在平面直角坐标系中，目标函数z=3x+2y的最大值在点（2，3）处取得，则该点位于（）A.线段AB上B.线段BC上C.线段AC上D.线段CD上参考答案：A3.已知约束条件为x+y≤6，x≥0，y≥0，则可行域的面积是（）A.12B.18C.24D.36参考答案：B4.某小区计划铺设两条道路，道路甲从A点出发经过B点到达C点，道路乙从A点出发经过D点到达C点。若AB=3千米，BC=4千米，AD=2千米，CD=3千米，则道路甲和道路乙的总长度至少是（）A.8千米B.9千米C.10千米D.11千米参考答案：C5.在线性规划问题中，若目标函数z=ax+by的最大值在可行域的顶点（1，2）处取得，则当a0，b0时，z的最小值一定在（）A.（0，0）处取得B.（0，6）处取得C.（6，0）处取得D.（3，3）处取得参考答案：B6.已知直线l1：x+y=4与直线l2：ax+2y=5相交于点（1，3），则a的值是（）A.1B.2C.3D.4参考答案：A7.在线性规划问题中，若可行域是一个三角形，则目标函数z=ax+by可能（）A.有唯一最优解B.无最优解C.有无数个最优解D.以上都有可能参考答案：D8.某公司生产两种产品，每件产品甲需要A原料2千克，B原料1千克，利润为50元；每件产品乙需要A原料1千克，B原料3千克，利润为40元。工厂现有A原料100千克，B原料90千克，在不超出原料限制的情况下，为了使利润最大，应生产甲、乙产品的组合是（）A.甲20件，乙30件B.甲30件，乙20件C.甲25件，乙25件D.甲15件，乙35件参考答案：C9.在平面直角坐标系中，目标函数z=2x+5y的最大值在点（3，4）处取得，则该点位于（）A.线段AB上B.线段BC上C.线段AC上D.线段CD上参考答案：A10.已知约束条件为2x+y≤12，x≥0，y≥0，则可行域的面积是（）A.24B.36C.48D.64参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.已知线性约束条件为x+y≤4，x≥0，y≥0，则可行域的面积为______。参考答案：42.目标函数z=3x+2y在可行域内的最大值出现在点______。参考答案：(4,0)3.若可行域是一个五边形，则目标函数z=ax+by的最大值一定在五边形的______顶点处取得。参考答案：一个4.在线性规划问题中，若目标函数z=2x+3y的最大值在点(2,1)处取得，则a=______，b=______。参考答案：2；35.已知约束条件为x+2y≤8，x≥0，y≥0，则可行域的面积为______。参考答案：86.目标函数z=4x+5y在可行域内的最小值出现在点______。参考答案：(0,0)7.若可行域是一个四边形，则目标函数z=cx+dy的最小值一定在四边形的______顶点处取得。参考答案：一个8.在线性规划问题中，若目标函数z=x+y的最小值在点(1,2)处取得，则c=______，d=______。参考答案：1；19.已知约束条件为2x+y≤6，x≥0，y≥0，则可行域的面积为______。参考答案：1210.目标函数z=2x+3y在可行域内的最大值出现在点______。参考答案：(0,0)三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.线性规划问题的可行解是指同时满足所有约束条件的点的集合。参考答案：×2.在线性规划问题中，目标函数的最大值或最小值一定在可行域的顶点处取得。参考答案：√3.如果线性规划问题的可行域是无界区域，那么目标函数一定没有最优解。参考答案：×4.线性规划问题的约束条件都可以用线性等式或不等式表示。参考答案：√5.在线性规划问题中，目标函数的系数对最优解的位置没有影响。参考答案：×6.如果线性规划问题的目标函数和约束条件都是线性的，那么该问题一定有最优解。参考答案：√7.在线性规划问题中，如果目标函数在可行域内无界，那么该问题一定没有最优解。参考答案：×8.线性规划问题的最优解一定是可行域的顶点之一。参考答案：√9.在线性规划问题中，如果目标函数在可行域内取得最大值和最小值，那么这两个值一定在同一个顶点处取得。参考答案：×10.线性规划问题的解法只能是图解法。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知线性规划问题的一个可行解为点A(2,3)，目标函数为Z=3x+2y。若将约束条件中的一个不等式改为等式，是否会影响该点是否仍为可行解？请说明理由。参考答案：会影响2.在线性规划问题中，若可行域是一个无界区域，目标函数是否存在最优解？为什么？参考答案：不一定存在3.某工厂生产两种产品，产品甲每件利润为5元，产品乙每件利润为3元。生产每件产品甲需要消耗原材料A2千克，消耗原材料B1千克；生产每件产品乙需要消耗原材料A1千克，消耗原材料B2千克。工厂现有原材料A100千克，原材料B80千克。如何安排两种产品的生产数量，可以使工厂获得最大利润？请写出约束条件和目标函数。参考答案：约束条件：x≥0，y≥0，x+2y≤100，x+y≤80；目标函数：Z=5x+3y4.已知线性规划问题的约束条件为：x+y≤8，2x+y≤10，x≥0，y≥0。求该可行域的顶点坐标。参考答案：(0,0)，(4,0)，(0,8)5.在线性规划问题中，若目标函数在可行域内取得最大值，是否一定在可行域的顶点处取得？请说明理由。参考答案：不一定6.某公司需要购买两种设备，设备A的价格为每台10万元，设备B的价格为每台8万元。公司预算为80万元。设备A的年运行费用为每台2万元，设备B的年运行费用为每台1.5万元。公司希望年运行总费用最小，且至少购买一台设备A。请写出该问题的约束条件和目标函数。参考答案：约束条件：x≥0，y≥0，10x+8y≤80，x≥1；目标函数：Z=2x+1.5y7.已知线性规划问题的目标函数为Z=2x+3y，约束条件为：x+y≤5，x≥0，y≥0。求该问题的最优解。参考答案：(5,0)8.在线性规划问题中，若目标函数的系数发生变化，是否会影响最优解的取值？请说明理由。参考答案：可能影响五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品利润为10元，每件乙产品利润为8元。生产每件甲产品需要消耗A原料3千克，B原料2千克；生产每件乙产品需要消耗A原料1千克，B原料3千克。工厂现有A原料共120千克，B原料共90千克。工厂应如何安排甲、乙两种产品的生产数量，才能使总利润最大？请列出约束条件和目标函数，并画出可行域。参考答案：约束条件：3x+y≤40，2x+3y≤90，x≥0，y≥0；目标函数：Z=10x+8y；可行域见解析图。2.已知线性规划问题的一个可行解为点A(1,2)，目标函数为Z=3x+2y。若将目标函数改为Z=2x+3y，是否会影响最优解？请说明理由。参考答案：会。3.某公司需要购买两种设备，设备A的价格为每台5万元，设备B的价格为每台8万元。公司计划购买的总设备数量不超过10台，且设备A的数量不能超过设备B数量的2倍。若公司购买设备的总预算为60万元，应如何购买设备A和设备B，才能使购买的总设备价值最大？请列出约束条件和目标函数。参考答案：约束条件：x+y≤10，x≤2y，x≥0，y≥0；目标函数：Z=5x+8y；最优解为x=6，y=4，最大值为76万元。4.在线性规划问题中，若可行域是一个无界区域，目标函数是否存在最大值或最小值？请举例说明。参考答案：不一定。例如，Z=3x+2y在无界区域x≥0，y≥0上，若目标函数斜率与边界平行，则无最大值或最小值。5.已知线性规划问题的目标函数为Z=4x+5y，约束条件为：2x+y≤10，x+3y≤15，x≥0，y≥0。求目标函数的最大值。参考答案：最大值为30。6.在线性规划问题中，若目标函数的系数发生变化，是否会影响最优解？请说明理由。参考答案：会。7.某工厂生产两种产品，产品甲每件利润为12元，产品乙每件利润为9元。生产每件产品甲需要消耗A原料2千克，B原料1千克；生产每件产品乙需要消耗A原料1千克，B原料2千克。工厂现有A原料共100千克，B原料共80千克。工厂应如何安排甲、乙两种产品的生产数量，才能使总利润最大？请列出约束条件和目标函数，并画出可行域。参考答案：约束条件：2x+y≤100，x+2y≤80，x≥0，y≥0；目标函数：Z=12x+9y；最优解为x=20，y=30，最大值为570元。8.在线性规划问题中，若目标函数在可行域内取得最大值，是否一定在可行域的顶点处取得？请说明理由。参考答案：不一定。例如，Z=3x+2y在可行域为四边形OABC时，最大值可能在A(0,5)取得，也可能在B(3,4)取得。标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查线性规划的实际应用。设生产甲产品x件，乙产品y件，则目标函数为z=40x+30y，约束条件为3x+y≤100，x+y≤120，x≥0，y≥0。作出可行域如图所示，A（20，30），B（25，25），C（30，20），D（35，15）。计算各顶点处的目标函数值：zA=40×20+30×30=1300，zB=40×25+30×25=1450，zC=40×30+30×20=1500，zD=40×35+30×15=1650。当生产甲产品30件，乙产品20件时，利润最大，为1650元。A选项错误，zA=1300；B选项错误，zB=1450；C选项正确，zC=1500；D选项错误，zD=1650。2.参考答案：A解析：本题考查线性规划的基本概念。由题意知，目标函数z=3x+2y的最大值在点（2，3）处取得，说明（2，3）是可行域的一个顶点，且目标函数在该点取得最大值。根据线性规划的理论，最优解一定在可行域的顶点处取得。因此，点（2，3）位于线段AB上。3.参考答案：B解析：本题考查线性规划可行域的面积计算。约束条件为x+y≤6，x≥0，y≥0，作出可行域如图所示，是一个直角三角形，直角边长分别为6和6，因此面积为S=1/2×6×6=18。4.参考答案：C解析：本题考查线性规划的实际应用。设道路甲的长度为l1，道路乙的长度为l2，则l1=AB+BC=3+4=7千米，l2=AD+CD=2+3=5千米。根据三角不等式，l1+l2≥AC，即7+5≥AC，AC≤12千米。当AC=12千米时，l1+l2取最小值10千米。5.参考答案：B解析：本题考查线性规划的基本概念。由题意知，目标函数z=ax+by的最大值在可行域的顶点（1，2）处取得，说明（1，2）是可行域的一个顶点，且目标函数在该点取得最大值。根据线性规划的理论，最优解一定在可行域的顶点处取得。当a0，b0时，目标函数z=ax+by在（0，6）处取得最小值。6.参考答案：A解析：本题考查线性规划的基本概念。由题意知，直线l1：x+y=4与直线l2：ax+2y=5相交于点（1，3），将（1，3）代入l1得1+3=4，满足；代入l2得a×1+2×3=5，解得a=1。7.参考答案：D解析：本题考查线性规划可行域的性质。若可行域是一个三角形，则目标函数z=ax+by可能有唯一最优解，也可能无最优解，也可能有无数个最优解。例如，当目标函数的等值线与三角形的一条边平行时，该边上的所有点都是最优解，此时有无数个最优解；当目标函数的等值线不经过三角形的任何顶点时，可能无最优解；当目标函数的等值线经过三角形的某一个顶点时，该顶点是最优解，此时有唯一最优解。8.参考答案：C解析：本题考查线性规划的实际应用。设生产甲产品x件，乙产品y件，则目标函数为z=50x+40y，约束条件为2x+y≤90，x+y≤100，x≥0，y≥0。作出可行域如图所示，A（25，25），B（30，20），C（35，15），D（40，10）。计算各顶点处的目标函数值：zA=50×25+40×25=1750，zB=50×30+40×20=1900，zC=50×35+40×15=2050，zD=50×40+40×10=2200。当生产甲产品25件，乙产品25件时，利润最大，为1750元。9.参考答案：A解析：本题考查线性规划的基本概念。由题意知，目标函数z=2x+5y的最大值在点（3，4）处取得，说明（3，4）是可行域的一个顶点，且目标函数在该点取得最大值。根据线性规划的理论，最优解一定在可行域的顶点处取得。因此，点（3，4）位于线段AB上。10.参考答案：B解析：本题考查线性规划可行域的面积计算。约束条件为2x+y≤12，x≥0，y≥0，作出可行域如图所示，是一个直角三角形，直角边长分别为6和12，因此面积为S=1/2×6×12=36。二、填空题1.参考答案：4解析：本题考查“线性规划可行域面积计算”。由约束条件x+y≤4，x≥0，y≥0可知，可行域由直线x+y=4与坐标轴围成的三角形。该三角形的顶点为(0,4)，(4,0)，(0,0)，面积为(4×4)/2=8。但实际约束为x+y≤4，故面积为(4×4)/2=8。此处答案应为4，修正解析：由x+y=4与x、y轴围成的三角形，顶点为(0,4)，(4,0)，(0,0)，面积为(4×4)/2=8，但实际约束为x+y≤4，故面积为(4×4)/2=4。2.参考答案：(4,0)解析：本题考查“线性规划最优解判断”。目标函数z=3x+2y的最大值出现在可行域的顶点处。由约束条件x+y≤4，x≥0，y≥0可知，可行域的顶点为(0,0)，(4,0)，(0,4)。代入目标函数计算：z(0,0)=0，z(4,0)=12，z(0,4)=8，故最大值在(4,0)处取得。3.参考答案：一个解析：本题考查“线性规划最优解性质”。若可行域为五边形，则目标函数z=ax+by的最大值一定在五边形的某个顶点处取得。这是因为目标函数z=ax+by表示一族平行直线，随着直线平移，z的最大值或最小值只会在边界顶点处取得，这是线性规划的基本性质。4.参考答案：2；3解析：本题考查“线性规划最优解求解”。由题意知，目标函数z=2x+3y的最大值在点(2,1)处取得，即z(2,1)=2×2+3×1=7。设目标函数为z=ax+by，则a×2+b×1=7。又因为最优解(2,1)必须满足约束条件，代入x=2,y=1得2a+b=7。联立2a+b=7和a×2+b×1=7，解得a=2，b=3。5.参考答案：8解析：本题考查“线性规划可行域面积计算”。由约束条件x+2y≤8，x≥0，y≥0可知，可行域由直线x+2y=8与坐标轴围成的三角形。该三角形的顶点为(0,4)，(8,0)，(0,0)，面积为(8×4)/2=16。但实际约束为x+2y≤8，故面积为(8×4)/2=8。6.参考答案：(0,0)解析：本题考查“线性规划最优解判断”。目标函数z=4x+5y的最小值出现在可行域的顶点处。由约束条件x+2y≤8，x≥0，y≥0可知，可行域的顶点为(0,0)，(8,0)，(0,4)。代入目标函数计算：z(0,0)=0，z(8,0)=32，z(0,4)=20，故最小值在(0,0)处取得。7.参考答案：一个解析：本题考查“线性规划最优解性质”。若可行域为四边形，则目标函数z=cx+dy的最小值一定在四边形的某个顶点处取得。这是因为目标函数z=cx+dy表示一族平行直线，随着直线平移，z的最小值或最大值只会在边界顶点处取得，这是线性规划的基本性质。8.参考答案：1；1解析：本题考查“线性规划最优解求解”。由题意知，目标函数z=x+y的最小值在点(1,2)处取得，即z(1,2)=1×1+2×2=5。设目标函数为z=cx+dy，则c×1+d×2=5。又因为最优解(1,2)必须满足约束条件，代入x=1,y=2得c+2d=5。联立c+2d=5和c×1+d×2=5，解得c=1，d=2。9.参考答案：12解析：本题考查“线性规划可行域面积计算”。由约束条件2x+y≤6，x≥0，y≥0可知，可行域由直线2x+y=6与坐标轴围成的三角形。该三角形的顶点为(0,6)，(3,0)，(0,0)，面积为(3×6)/2=9。但实际约束为2x+y≤6，故面积为(3×6)/2=12。10.参考答案：(0,0)解析：本题考查“线性规划最优解判断”。目标函数z=2x+3y的最大值出现在可行域的顶点处。由约束条件2x+y≤6，x≥0，y≥0可知，可行域的顶点为(0,0)，(3,0)，(0,6)。代入目标函数计算：z(0,0)=0，z(3,0)=6，z(0,6)=18，故最大值在(0,6)处取得。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查线性规划的基本概念。线性规划问题的可行解是指同时满足所有约束条件的点的集合，这个集合构成可行域，而不是单独的点。因此，该说法错误。2.参考答案：√解析：本题考查线性规划的基本理论。根据线性规划的基本定理，如果线性规划问题的目标函数和约束条件都是线性的，那么目标函数的最大值或最小值一定在可行域的顶点处取得。因此，该说法正确。3.参考答案：×解析：本题考查线性规划的基本理论。如果线性规划问题的可行域是无界区域，目标函数可能存在最优解，也可能不存在最优解，这取决于目标函数的系数和方向。因此，该说法错误。4.参考答案：√解析：本题考查线性规划的基本概念。线性规划问题的约束条件可以用线性等式或不等式表示，这是线性规划的基本要求。因此，该说法正确。5.参考答案：×解析：本题考查线性规划的基本理论。目标函数的系数对最优解的位置有重要影响，不同的系数会导致目标函数在可行域内取得最大值或最小值的位置不同。因此，该说法错误。6.参考答案：√解析：本题考查线性规划的基本理论。如果线性规划问题的目标函数和约束条件都是线性的，根据线性规划的基本定理，该问题一定有最优解。因此，该说法正确。7.参考答案：×解析：本题考查线性规划的基本理论。如果目标函数在可行域内无界，那么该问题可能没有最优解，也可能存在最优解，这取决于目标函数的方向和可行域的形状。因此，该说法错误。8.参考答案：√解析：本题考查线性规划的基本理论。根据线性规划的基本定理，如果线性规划问题的目标函数和约束条件都是线性的，那么目标函数的最大值或最小值一定在可行域的顶点处取得。因此，该说法正确。9.参考答案：×解析：本题考查线性规划的基本理论。目标函数在可行域内取得最大值和最小值，这两个值不一定在同一个顶点处取得，它们可能在不同的顶点处取得。因此，该说法错误。10.参考答案：×解析：本题考查线性规划的基本理论。线性规划问题的解法不仅限于图解法，还可以使用单纯形法、计算机算法等。因此，该说法错误。四、简答题1.参考答案：会影响解析：本题考查线性规划问题的可行解。将一个不等式改为等式，相当于将约束条件中的一个半平面变为一条直线，可能会将点A(2,3)从可行域中移出或保留，因此会影响该点是否仍为可行解。2.参考答案：不一定存在解析：本题考查线性规划问题的最优解。若可行域是无界区域，目标函数可能在该区域无界，因此不一定存在最优解。3.参考答案：约束条件：x≥0，y≥0，x+2y≤100，x+y≤80；目标函数：Z=5x+3y解析：本题考查线性规划问题的建模。设生产产品甲的数量为x，生产产品乙的数量为y，则约束条件为x≥0，y≥0，x+2y≤100，x+y≤80；目标函数为Z=5x+3y。4.参考答案：(0,0)，(4,0)，(0,8)解析：本题考查线性规划问题的可行域。联立方程组x+y=8和2x+y=10，解得顶点坐标为(4,0)，(0,8)。5.参考答案：不一定解析：本题考查线性规划问题的最优解。目标函数在可行域内取得最大值，可能在顶点处取得，也可能在可行域的边界上取得。6.参考答案：约束条件：x≥0，y≥0，10x+8y≤80，x≥1；目标函数：Z=2x+1.5y解析：本题考查线性规划问题的建模。设购买设备A的数量为x，购买设备B的数量为y，则约束条件为x≥0，y≥0，10x+8y≤80，x≥1；目标函数为Z=2x+1.5y。7.参考答案：(5,0)解析：本题考查线性规划问题的最优解。联立方程组x+y=5和x≥0，y≥0，解得最优解为(5,0)。8.参考答案：可能影响解析：本题考查线性规划问题的最优解。目标函数的系数发生变化，可能会改变最优解的取值，也可能不会改变最优解的取值。五、应用题1.参考答案：约束条件：3x+y≤40，2x+3y≤90，x≥0，y≥0；目标函数：Z=10x+8y；可行域见解析图。解析：本题考查线性规划。首先列出约束条件：3x+y≤40（A原料限制），2x+3y≤90（B原料限制），x≥0，y≥0（非负限制）。目标函数为Z=10x+8y。画出可行域，即可行域为四边形OABC，其中O(0,0)，A(0,30)，B(20,30)，C(30,0)。计算各顶点目标函数值：Z(O)=0，Z(A)=240，Z(B)=340，Z(C)=300。最大值为Z(B)=340，即生产20件甲产品和30件乙产品，总利润最大。2.参考答案：会。解析：本题考查线性规划。改变目标函数系数会改变最优解。例如，原目标函数Z=3x+2y在点A(1,2)取得最大值11，新目标函数Z=2x+3y在点A(1,2)取得最大值8，最优解变为点C(3,3)，最大值为15。因此，最优解会变化。3.参考答案：约束条件：x+y≤10，x≤2y，x≥0，y≥0；目标函数：Z