《离散数学（微课版第2版）》 第6章 代数系统基本概念及性质-教案

XXXX（学校）教案课程名称：离散数学课程编号：任课教师：任课专业：任课学年学期：院系（部）：教务处制（2026年）注意事项和要求教案是任课教师的教学实施方案。任课教师应遵循专业培养方案制订的培养目标、毕业要求，严格按课程教学大纲编写，体现OBE理念，落实课程思政要求，并根据经济社会发展及学校人才培养要求及时增加和补充前沿内容，一、教案主要内容（一）课程概况：课程名称、课程编码、课程类型、考核方式、推荐教材及参考书目、教学目标、课程思政目标、教学重难点等。以上课程信息内容必须同培养方案及教学大纲保持一致。（二）课程教案：包括授课单元（章节）、授课学时、授课类型、授课周次、教学目标、教学重点难点、教学方法、教学手段、教学内容、教学设计、课后作业、教学反思、备注等。二、编写注意事项（一）教学目标：可从知识目标、能力目标、素质目标等多维度进行设定，从有利于学生发展的角度去思考，既要符合课程和教材的要求，更要符合学生先修基础和认知规律。目标要切实可行，可操作、可检测。（二）教学重点、难点：指本次课的重点和难点部分，学生必须掌握的知识点和技能。实践教学还包括实践操作训练的主要指导要点、关键环节、关键技术指导方法等。（三）教学方法：主要包括讲授法、讨论法、练习法、归纳法、演示法、启发法、实验法等。（四）教学手段：指课堂教学中师生教学相互传递信息的工具、媒体或设备，可以包括备课本、教材、模型、图表、黑板、电脑、多媒体课件、线上教学平台等，实践教学包括所用到的实践仪器设备。（五）教学内容：依据人才培养方案、教学大纲对课程教学内容的要求，扩充填写本次课的主要传授知识内容，可以用图表或知识网络图表达，并在适当内容处有机融入课程思政元素。（六）教学设计：是课堂教学的总体设计安排，可供参考（但不限于）教学设计选项有：考勤点名、作业反馈、复习旧课、导入新课、新课内容、课后小结、知识拓展、布置作业等，具体可视实际教学内容安排以上某些选项组成该堂课的教学设计，实践课的教学设计还可补充实践步骤或实践流程。不同专业，其课堂教学设计也可有不同特色。（七）课后作业或思考题：应根据本次课的教学目标要求进行布置，可以形式多样，应体现一定的高阶性、创新性和挑战度，在复习本次课的同时，注意引导学生积极开展预习。（八）教学总结与反思：填写课程教学支撑教学大纲相应课程目标、毕业要求指标点的情况、经验教训、效果估计、学生学习状态分析和存在问题等，也可以填写创新点或特色等内容（九）备注：用于批注教学过程中用到的教学方法或启发学生思维的实际案例，或实践教学中的注意事项等。一、课程概况课程名称离散数学任课专业计算机科学与技术、软件工程、网络工程、数字媒体等专业任课学年学期2026—2027学年第1学期课程编号xxx课程学时64学分4学时分配理论64学时；实践0学时考核方式考试（√）；考查（）课程类型必修课公共必修课（）；基础课（）；专业必修课（√）选修课公共选修课（）；专业选修课（）；教学目标课程目标1（专业知识）：掌握数理逻辑、集合论与关系理论、代数系统和图论的基本理论；掌握代数系统的基本理论和群、环、格等一些特殊的代数系统；掌握一些特殊图及其应用；了解逻辑推理中的各种范式和转化，了解关系、格和图的关联关系。课程目标2（专业技能）：掌握逻辑推理的符号化、公式化方法和范式转换方法；掌握使用关系理论、代数群理论划分数据集的方法；掌握集合、关系和图的各种描述和计算方法；能够应用逻辑推理、集合划分、群理论、图论的计算，分析和探索软件工程领域的复杂工程问题。课程目标3（素质目标）：培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，养成良好的科学素养和严谨认真的治学态度，为后续课程（数据结构、数据库、软件工程、操作系统、人工智能、数据挖掘等）提供必要的数学基础。课程思政目标通过数学史（阿贝尔、伽罗瓦、诺特等数学家的事迹）培养学生追求科学、百折不挠的探索精神和科技报国意识；通过“抽象建模与结构思维”的训练，引导学生掌握“从具体到抽象、以公理化方法把握事物共同本质”的辩证唯物主义科学方法论；结合编码、密码、人工智能等领域的应用案例，增强学生的专业认同感和自主创新意识。教学重点、难点教学重点：命题逻辑与谓词逻辑的符号化及推理方法；集合、关系、函数的运算和性质；代数系统的运算性质（交换律、结合律、分配律、幂等律、幺元、零元、逆元）；同态与同构的判定方法；子群判定方法和拉格朗日定理；格与偏序集之间的关系；图的表示、连通性、欧拉图与哈密尔顿图的判定；最小生成树和最优二叉树的生成方法。教学难点：合式公式的主范式求解与推理规则的综合运用；无限集合基数的计算；抽象代数系统运算性质的判定与证明；同态、同构映射的构造；同余关系、商代数的理解；欧拉图与哈密尔顿图的判定定理的证明与应用。教材名称《离散数学（微课版第2版）》作者陈志奎出版社及出版时间人民邮电出版社，2026年参考书目1.《DISCRITEMATHEMATICALSTRUCTURES》，BernardKolman、RobertC.Busby、SharonCutlerRoss，高等教育出版社；2.《DISCRETEMATHEMATICSanditsapplications》，Rosen，华章出版社；3.《离散数学》，曲婉玲、耿素云、张立昂著，高等教育出版社。作者出版社及出版时间任课教师职称院系（部）注：表中（）选项请打“√”。说明：（1）本教案以离散数学64学时（全部为理论教学）教学大纲进行教案撰写。（2）教学计划安排以每周4学时、共16周进行设置，每次课2学时。（3）本册为第六章“代数系统基本概念及性质”教案，含第21、22次课；第六、七、八章复习与习题课另行安排。

二、课程教案第17次课授课单元（章节)第6章代数系统基本概念及性质：6.1代数系统的一般概念、6.2代数系统的基本性质授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次第11周教学目标知识目标：1.了解代数学的发展历史和抽象代数的研究对象，理解代数系统对计算机科学（编码理论、密码学、数据结构、数据库等）的重要意义。2.理解n元运算的定义，掌握一元运算、二元运算的概念、表示方法和封闭性（闭包性）；掌握用运算表表示有穷集上的一元和二元运算。3.掌握代数系统的定义，理解载体（基集）、成分和代数常数的概念；掌握子代数的定义和判定方法；理解同类型、同种代数系统的概念。4.掌握结合律、交换律、分配律、吸收律、等幂律、可约律等运算律的定义、逻辑表达式表示和判定方法。5.掌握幺元（单位元）、零元、等幂元、逆元的定义及其唯一性定理，能从运算表中找出各类特殊元素。能力目标：1.能够判断给定的集合与运算是否构成代数系统、是否构成子代数，培养抽象建模能力。2.能够对具体或抽象定义（含运算表定义）的二元运算，逐项验证其运算律并求解幺元、零元、逆元等特殊元素，培养严格的逻辑推理和证明能力。素质目标（课程思政）：1.通过阿贝尔、伽罗瓦、诺特等数学家的事迹，感受科学家坚持真理、不畏艰难、科技报国的精神品格。2.体会“从具体运算中提炼代数系统、透过符号与公理把握不同系统共同本质”的抽象建模与结构思维方法，树立辩证唯物主义的科学方法论。教学重点、难点1.教学重点：（1）二元运算的定义、封闭性的判定及运算表的表示方法。（2）代数系统、子代数的定义；同类型代数系统的概念。（3）结合律、交换律、分配律的判定方法。（4）幺元、零元、逆元的定义、左右之分及其唯一性定理；用运算表判定运算性质和特殊元素。2.教学难点：（1）左幺元、右幺元、左零元、右零元、左逆元、右逆元的区分，及“结合律保证左右幺元（逆元）相等且唯一”定理的证明思路。（2）抽象运算（运算表定义）下分配律、吸收律的验证方法，避免与数的四则运算经验混淆。（3）可约律与可约元的概念，及其与逆元、零元的关系（定理6.9）。（4）从“具体计算”到“抽象结构”的思维方式转变。教学方法1.讲授法：系统讲解运算、代数系统、运算律和特殊元素的定义与定理，保证知识体系的完整性和逻辑性。2.案例教学法：以⟨ℤ,+⟩、⟨ℤₙ,⊕,⊗⟩、⟨P(S),∪,∩,∼⟩、⟨Mₙ(ℝ),+,·⟩、⟨S,max⟩等丰富实例对照讲解抽象概念，帮助学生建立“载体+运算+性质”的结构化认识。3.启发式教学法：先给出具体运算例子，引导学生归纳封闭性、幺元、逆元等概念，再给出严格定义；通过“偶数集、奇数集对加法和乘法是否封闭”等问题启发思考。4.练习法：利用运算表当堂训练运算律和特殊元素的判定，及时巩固。5.讨论法：组织学生讨论“生活中/程序中的运算哪些满足交换律、结合律”，如矩阵乘法、字符串拼接、浮点数加法等，深化对运算律的理解。教学手段1.多媒体课件：展示第六章修改版PPT，包括代数发展史图文、运算表示例图（图6.1、图6.2）、各性质反例的运算表等，增强教学直观性。2.板书：在黑板上推导幺元唯一性（定理6.3）、逆元唯一性（定理6.8）等证明，示范数学证明的规范书写；配合板书梳理本章知识框架。3.教材及讲义：《离散数学（微课版第2版）》第6章及配套讲义，供学生课前预习和课后复习。4.线上教学平台：用于考勤签到、发布课堂练习和课后作业。教学内容一、代数部分引言（章导入）从“代数是什么”的故事（爱因斯坦与叔叔的对话、al-jabr词源、李善兰引入“代数”译名）讲起，介绍初等代数与抽象代数的区别，简述阿贝尔、伽罗瓦、德·摩根、布尔、诺特等对抽象代数的贡献，说明代数系统在拓扑学、泛函分析以及计算机科学、编码理论中的重要影响和广泛应用。二、6.1代数系统的一般概念1.n元运算（定义6.1）：函数f:Sⁿ→S；一元运算、二元运算及其运算符记法（′、┐、ˉ；⊕、⊗、⊙、*、∨、∧等）。2.封闭性（定义6.2）：像点仍属于原集合；例：偶数集对加法、乘法封闭，奇数集仅对乘法封闭；正例与反例（整数集上的除法不封闭）。3.运算表：表示有穷集上的一元和二元运算（图6.1、图6.2）。4.代数系统（定义6.3）：⟨S;f₁,f₂,…,fₘ⟩，载体（基集）、成分；代数常数（例6.5：⟨ℤ,+,0⟩、⟨P(S),∪,∩,∼,∅,S⟩）。5.典型例子：例6.1⟨ℕ,+,*⟩与⟨ℤ,+,*⟩；例6.2幂集代数；例6.3⟨Mₙ(ℝ),+,·⟩；例6.4⟨ℤₙ,⊕,⊗⟩（模n加、乘）。6.子代数（定义6.4）：非空子集T对全部运算封闭；例6.6、例6.7（⟨nℤ₊,+,0⟩是⟨ℤ₊,+,0⟩的子代数）。7.同类型与同种代数系统（定义6.5）：运算个数、对应元数、代数常数个数相同；例6.8（V₁=⟨R,+,·,0,1⟩、V₂=⟨Mₙ(R),+,·,θ,E⟩、V₃=⟨P(B),∪,∩,∅,B⟩的性质对照表6.1）。三、6.2代数系统的基本性质研究方法说明：不逐个研究具体结构，而是选定一组公理性质，推导对一切满足公理的结构都成立的一般结论（公理化方法）。1.结合律（性质6.1）：(x⊙y)⊙z=x⊙(y⊙z)；例6.9、例6.10（矩阵乘法可结合、减法不可结合）。2.交换律（性质6.2）：x⊙y=y⊙x；例6.11（Q上a*b=ab−2的交换性、结合性验证）。3.分配律（性质6.3）：左分配律与右分配律；定理6.2（⊙可交换时，左（右）分配律⟹分配律）；例6.12、例6.13（运算表验证△对*可分配而*对△不可分配）。4.吸收律（性质6.4）：x⊙(x*y)=x与(x*y)⊙x=x。5.幺元/单位元（性质6.5）：左幺元、右幺元、幺元；例6.15、例6.16（运算表找左右幺元）；定理6.3（左、右幺元存在则相等且幺元唯一，板书证明）。6.零元（性质6.6）：左零元、右零元、零元；定理6.4（零元唯一）；例6.17、例6.18（⟨{浅色,深色},*⟩的零元与幺元）。7.等幂律与等幂元（性质6.7）：x⊙x=x。8.逆元（性质6.8）：左逆元、右逆元、可逆；例6.20（运算表求各元素左右逆元）；定理6.7（结合律下左、右逆元相等）、定理6.8（逆元唯一）；例6.21、例6.22（⟨T,max⟩中仅幺元有逆元等）。9.可约律与可约元（性质6.9）：x≠θ且x⊙y=x⊙z⟹y=z；例6.24（⟨Z,×⟩中非零整数均为可约元）；定理6.9（结合律下可逆元必为可约元）。10.运算表判定方法小结：封闭性（表中元素均属于S）、交换律（关于主对角线对称）、等幂律（主对角线元素与行列表头相同）、左/右零元、左/右幺元、逆元的表上识别规则。四、课程思政融入点1.结合代数发展史讲述“抽象代数之母”埃米·诺特在逆境中坚持科学研究的事迹（6.8历史人物与事件），培养学生坚韧不拔、追求真理的科学精神。2.通过“公理化方法”（6.9思政思考：抽象建模与结构思维）说明从具体运算提炼代数系统、以公理把握共同本质的研究范式是现代数学的基石，也是软件工程、数据库、密码学、人工智能的共同方法论，引导学生掌握科学的抽象思维方法。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）：通过线上教学平台签到或现场点名，确认学生出勤情况，记录考勤结果。2.复习提问：回顾第5章函数的一元/二元映射、单射、满射、双射概念，指出“运算就是一种特殊的映射”，为本次课及后面同态同构的学习做铺垫。2（二）课程引入课程导入（5分钟）：从爱因斯坦“代数是一种懒惰人的算术”的故事和伽罗瓦决斗前夜写下群论手稿的数学史切入，引出抽象代数的研究对象——代数系统，说明其在编码、密码、人工智能等领域的应用价值，激发学习兴趣。5（三）课程内容新课内容讲授（80分钟）：1.代数部分引言与6.1前半（25分钟）：n元运算、一元/二元运算与封闭性（8分钟）；运算表（4分钟）；代数系统定义与例6.1～6.5（8分钟）；穿插提问“整数集上的除法为什么不是二元运算”。2.6.1后半（15分钟）：子代数与例6.6、6.7（8分钟）；同类型、同种代数系统与例6.8（7分钟）。3.6.2运算律（20分钟）：结合律、交换律（6分钟）；分配律、吸收律与例6.12、6.13（8分钟）；可约律（6分钟）；结合运算表当堂验证。4.6.2特殊元素（15分钟）：幺元、零元及唯一性定理（板书证明定理6.3）（8分钟）；等幂元、逆元及定理6.7、6.8（7分钟）。5.运算表判定方法小结与课堂练习（5分钟）：给出一个4元素运算表，学生当堂判断交换律、幺元、零元、逆元。80（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：在讲解抽象代数发展史和公理化方法时，引入阿贝尔、伽罗瓦、诺特等数学家在逆境中坚持探索、献身科学的事迹，强调“抽象建模与结构思维”这一科学方法论对现代数学和计算机科学的基础性意义，引导学生将个人学习与科技自立自强的时代责任相结合，培养严谨求实、追求卓越的品格。3（包含在新课内容讲授的80分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：组织学生讨论“程序设计中的哪些运算满足/不满足结合律、交换律？”（如浮点数加法、矩阵乘法、字符串拼接、逻辑运算），邀请2～3名学生分享并点评，加深对运算律现实意义的理解。5（包含在新课内容讲授的80分钟内）课堂小结（3分钟）：按“载体—运算—运算律—特殊元素”的主线梳理本次课知识框架，强调封闭性判定、幺元/零元/逆元的求法与唯一性定理、运算表判定规则等必须掌握的内容，并预告下次课“同态与同构”。3课后作业或思考题一、教材习题（第6章章末“习题”，教材第139～140页）1.第1、8题：举出生活中的例子说明幺元、逆元和零元；举出两个熟悉的代数系统（对应6.1代数系统概念、6.2特殊元素）。2.第2题：设g:Z×Z→Z，g(⟨x,y⟩)=x*y=x+y−xy，证明*可交换、可结合，求出幺元并指出每个元素的逆元。3.第3、4题：对N上x*y=x、Z₊上x*y=lcm(x,y)等抽象定义的二元运算，证明交换律、结合律，求幺元并指出等幂元。4.第6题：对R上给定的三个二元运算a₁*a₂=|a₁−a₂|、a₁*a₂=(a₁+a₂)/2、a₁*a₂=a₁/a₂，判定交换律与结合律，找出有幺元的运算并求R中的可逆元素。5.第9题：给定S={a,b}上运算+和*的运算表（表6.23、表6.24），判定交换律、结合律、幺元，以及+对*、*对+的分配律。6.第12、13、14题：判定⟨N,+,*⟩、⟨Z,+,*⟩的子代数系统；求V=⟨{1,2,3},∘,1⟩（∘为取大运算）的所有子代数，区分平凡子代数与真子代数。二、思考题（体现高阶性与挑战度）7.第5题：设S为有限集，S上有多少个二元运算？其中多少个是可交换的？多少个具有单位元？8.第7题：设*是S上可结合的二元运算，且对任意x,y∈S，若x*y=y*x则x=y，证明S中每个元素都是等幂的。9.第15题：同一代数系统的两个子代数系统，它们的交和并是否仍是子代数系统？证明之。三、预习要求10.预习6.3节“同态与同构”，思考：⟨R,+⟩与⟨R⁺,×⟩在结构上有什么联系？教学总结与反思1.课程目标支撑情况：本次课支撑课程目标1（掌握代数系统的基本理论）与课程目标2（培养抽象建模与逻辑推理能力），对应教学大纲第三部分“代数系统”知识单元3.1“掌握判断运算性质的方法”（交换律、结合律、分配律、幂等律、幺元、零元、逆元），并为第七章群、环及第八章格与布尔代数的学习奠定概念基础。2.教学效果估计：学生对具体数集上的运算性质较易接受，但对运算表定义的抽象运算进行性质判定时可能出现“凭四则运算经验想当然”的错误；唯一性定理的证明对部分学生有一定难度。3.学生学习状态分析与存在问题：预计学生在左右幺元/零元/逆元的区分、分配律方向性（左分配≠右分配）上易混淆，需在习题课上通过典型错例强化。4.改进措施：增加运算表判定规则的表格化总结并发放到线上平台；对证明题给出分步书写示范；课后通过平台答疑收集问题，及时调整第二次课节奏。（课后根据实际授课情况补充完善）备注1.本次课是代数系统部分的起始课，学生刚从“关系、函数”的具体思维进入“抽象结构”思维，务必用足够多的正反例（数的运算、矩阵运算、集合运算、模n运算、max/min运算）对照讲解。2.讲授唯一性定理（定理6.3、6.4、6.8）时采用板书逐步推导，示范“从定义出发、逻辑表达式化简”的证明方法，该方法是第七章群论证明的基本功。3.运算表判定规则（封闭性、对称性、主对角线等）在第七章子群判定、第八章格的运算中会反复使用，要求学生当堂掌握。4.可结合例6.21（⟨T,max⟩）说明“幺元、逆元依赖于具体运算，不能凭直觉”，启发学生思维的严谨性。第18次课授课单元（章节)第6章代数系统基本概念及性质：6.3同态与同构、6.4同余关系、6.5商代数、6.6积代数、6.7应用与拓展、6.8历史人物与事件、6.9思政思考授课学时2授课类型讲授课(√)实践课()其它()授课周次第11周教学目标知识目标：1.掌握同态映射的定义（f(a·b)=f(a)*f(b)），理解单同态、满同态、同构的分类及其关系；掌握判定给定映射是否为同态的方法。2.掌握同构的定义，会构造简单的同构映射，理解“同构的代数系统具有完全相同的代数性质”的含义。3.掌握满同态的性质定理（定理6.10：结合律、交换律、幺元、零元、逆元在满同态下的保持），理解同构关系是等价关系（定理6.11）及商集S/≌的意义。4.理解同余关系的定义和代换性质，掌握判定等价关系是否为同余关系的方法；理解商代数的构造方法。5.理解积代数的定义和构造方法，掌握积代数的基本性质（定理6.14）。6.了解同构思想在迁移学习、BERT模型微调等人工智能技术中的应用（6.7应用与拓展）。能力目标：1.能够判断和证明给定映射是（不是）代数系统间的同态、满同态或同构，培养抽象概括与严格证明能力。2.能够验证等价关系的代换性质并构造商代数、积代数，培养运用“等价关系—划分—商结构”方法分析问题的能力。素质目标（课程思政）：1.通过“同构”理解“结构等价、举一反三”的科学思想，体会数学结构统一性的哲学内涵。2.通过同构与迁移学习、大模型微调的案例，感受数学基础对人工智能等前沿技术的支撑作用，增强科技自立自强的使命感和专业学习兴趣。教学重点、难点1.教学重点：（1）同态映射的定义及判定方法；单同态、满同态、同构的概念与相互关系。（2）满同态下运算性质与特殊元素的保持（定理6.10）。（3）同余关系的定义、代换性质及商代数的构造。2.教学难点：（1）同构映射的构造与验证（例6.33、例6.34），理解“同构即结构相同，仅元素名称不同”的抽象含义。（2）同余关系的代换性质验证：对含多个运算的代数结构需逐运算验证，理解验证的次序策略。（3）“同态—同余关系—商代数”三者之间的内在联系，以及与第4章“等价关系—划分”知识的贯通。（4）积代数中运算的按分量定义方式及定理6.14的证明思路。教学方法1.讲授法：系统讲解同态、同构、同余关系、商代数、积代数的定义与定理，突出概念间的逻辑链条。2.案例教学法：以f(x)=3x（⟨N,+⟩到自身）、f(x)=eˣ（⟨R,+⟩到⟨R⁺,·⟩）、字符串长度映射（⟨Σ*,‖⟩到⟨N,+⟩）、奇偶性映射、模n映射等典型同态实例，以及⟨ℤ₄,+₄⟩与⟨{1,i,−1,−i},×⟩同构等实例，化抽象为具体。3.启发式教学法：从“对数把乘法变成加法”的历史引入同构思想；通过提问“模m同余为什么能保持加法”引导学生发现代换性质。4.对比归纳法：对比单同态、满同态、同构的异同并画出关系图（图6.3）；对比同余关系与等价关系、商代数与商集的异同。5.讨论法：结合6.7应用与拓展（同构与迁移学习、BERT微调），组织学生讨论数学结构思想在人工智能中的应用。教学手段1.多媒体课件：展示第六章修改版PPT，包括各类同态关系图（图6.3）、同余类划分示意图、积代数运算表（表6.20～6.22）、迁移学习与BERT微调示意图等。2.板书：板书同态定义的验证过程、同构映射的构造（例6.33、例6.34）、定理6.10的证明要点，示范证明书写规范。3.教材及讲义：《离散数学（微课版第2版）》第6章及配套讲义。4.线上教学平台：签到、发布课堂测验与课后作业、答疑讨论。教学内容一、复习与引入回顾6.1、6.2：代数系统、运算律、幺元、零元、逆元；提问：不同的代数系统之间能否“沟通”？以“对数运算把乘法转化为加法”（⟨R,+⟩与⟨R⁺,×⟩）引出保持运算结构的映射——同态。二、6.3同态与同构1.同态（定义6.6）：f(a·b)=f(a)*f(b)；典型例子：例6.25f(x)=3x是⟨N,+⟩到自身的同态；例6.26f(x)=eˣ是⟨R,+⟩到⟨R⁺,*⟩的同态；例6.27字符串长度映射f(x)=|x|是⟨Σ*,‖⟩到⟨N,+⟩的同态；例6.28、6.29奇偶性/零非零分类映射；例6.30模n映射φ(x)=xmodn是⟨Z,+,·⟩到⟨ℤₙ,⊕,⊗⟩的同态；例6.31φ(x)=eˣ保持一元运算（相反数与倒数）。2.单同态、满同态、同构的分类及关系图（图6.3）。3.同构（定义6.7）：双射且保持运算；例6.32φₐ(x)=ax是⟨Z,+⟩的自同态（a=±1时为自同构）；例6.33⟨A,+₄⟩与⟨B,∪⟩不同构的分析；例6.34、例6.36（⟨{∅,A,B,C},∩,∪⟩与⟨{1,2,5,10},⊗,⊕⟩的同构构造）；理解“同构的系统除元素名称外性质完全相同，探索新结构时若能证明其同构于已知结构，则结论可以‘彼此相通’”。4.同态与同构的性质：定理6.10（满同态保持结合律、交换律、分配律、幺元、零元、逆元等）；定理6.11（同构关系是等价关系，可按同构分类得到商集S/≌，代数系统研究的总体实质上是S/≌）。三、6.4同余关系1.定义6.8：代数系统上的等价关系E，若对运算⊙具有代换性质（x₁Ex₂且y₁Ey₂⟹(x₁⊙y₁)E(x₂⊙y₂)），则称E为该代数系统的同余关系。2.例6.35～例6.38：模m同余是⟨ℕ,+⟩、⟨Z,+,·⟩的同余关系；对多运算结构需逐运算验证代换性质，发现某运算不具有代换性质即可立刻否定（验证次序策略）。3.同余类（等价类）与同余类的运算。四、6.5商代数1.由同余关系E的等价类（同余类）构成载体S/E，按代表元运算定义S/E上的运算，得到商代数⟨S/E,⊙_E⟩；良定义性说明。2.例：⟨ℤ,+⟩关于模n同余的商代数即⟨ℤₙ,⊕⟩；贯通第4章“等价关系—划分”与本章“同余—商代数”的联系。五、6.6积代数1.积代数的定义：同类型代数系统V₁=⟨A,∘⟩与V₂=⟨B,*⟩的积代数V₁×V₂=⟨A×B,·⟩，运算按分量定义：⟨a₁,b₁⟩·⟨a₂,b₂⟩=⟨a₁∘a₂,b₁*b₂⟩。2.例6.39（F₂×F₃与F₃×F₂的构造）、例6.40（由运算表求积代数运算表，表6.20～6.22）。3.定理6.14：积代数继承因子代数的交换性、结合性、幂等性；幺元（零元）为各分量幺元（零元）构成的序偶。六、6.7应用与拓展、6.8历史人物与事件、6.9思政思考1.同构与迁移学习：结构层面的等价使得“在一个结构中成立的定理、方法可原封不动地搬到另一个结构中”，对应人工智能中的“举一反三”。2.BERT模型微调：通用语言模型通过微调“适配”具体任务，体会数学结构思想对现代AI技术的支撑。3.抽象代数之母埃米·诺特的事迹；思政思考：抽象建模与结构思维是软件工程、数据库、密码学、人工智能的共同方法论。教学设计及时间安排教学设计时间分配（分钟）（一）复习及提问1.考勤点名（2分钟）：通过线上教学平台签到或现场点名，确认学生出勤情况，记录考勤结果。2.复习提问（3分钟）：提问幺元、零元、逆元的定义与唯一性条件，检查上次课作业中的典型问题并简要讲评。5（二）课程引入课程导入（5分钟）：以“对数把乘法变加法”和“钟表上的算术（模12）”两个例子提问：⟨R,+⟩与⟨R⁺,×⟩、⟨Z,+⟩与⟨ℤ₁₂,⊕⟩之间有什么本质联系？引出“保持运算结构的映射”这一核心思想，导入同态与同构。5（三）课程内容新课内容讲授（77分钟）：1.6.3同态（22分钟）：同态定义（6分钟）；例6.25～6.27典型同态验证（9分钟）；例6.28～6.31分类映射与模n同态（7分钟）；穿插提问“f(x)=x²是否是⟨R,+⟩到⟨R,+⟩的同态”。2.6.3同构（18分钟）：单同态、满同态、同构的分类与关系图（6分钟）；例6.32～6.34、例6.36同构映射的构造与验证（9分钟）；“同构即结构相同”的含义（3分钟）。3.6.3.3同态与同构的性质（10分钟）：定理6.10满同态保持性质（板书证明要点）（6分钟）；定理6.11同构是等价关系与商集S/≌（4分钟）。4.6.4同余关系（12分钟）：定义与代换性质（5分钟）；例6.35～6.38模m同余的验证（7分钟）。5.6.5商代数（8分钟）：同余类构造商代数、良定义性；⟨Z,+⟩/模n同余⟹⟨ℤₙ,⊕⟩；与第4章等价关系划分的贯通。6.6.6积代数（7分钟）：按分量定义运算；例6.39、6.40；定理6.14。（6.7～6.9应用拓展、历史人物与思政思考穿插在导入与小结环节讲解。）77（四）融入课程思政设计融入课程思政设计（3分钟）：结合6.7应用与拓展，从“同构意味着结构等价、方法可以迁移”讲到人工智能中的迁移学习与BERT模型微调，说明扎实的基础数学是核心技术自主创新的源头，引导学生认识“举一反三”背后的一般科学方法；结合6.8讲述埃米·诺特在性别歧视环境下坚持科研并取得开创性成就的事迹，激励学生不畏艰难、追求卓越、科技报国。3（包含在新课内容讲授的77分钟内）（五）互动环节设计互动环节设计（5分钟）：给出映射f₁(x)=2ˣ（⟨R,+⟩→⟨R⁺,·⟩）、f₂(x)=|x|（⟨R,·⟩→⟨R,·⟩）、f₃(x)=xmod3（⟨Z,+⟩→⟨ℤ₃,⊕⟩），组织小组讨论判断其是否为同态、是否为满同态/单同态/同构，邀请2～3组学生代表发言，教师点评归纳判定要领。5（包含在新课内容讲授的77分钟内）课堂小结（3分钟）：按“同态（保持运算）→同构（双射同态，结构相同）→同余关系（保持运算的等价关系）→商代数（对同余类作运算）→积代数（按分量作运算）”的主线梳理知识框架；强调同态判定三步骤与定理6.10、6.11；说明本章内容是第七章群、环（同态基本定理、正规子群、商群）的直接基础，并预告第六、七、八章复习与习题课。3课后作业或思考题一、教材习题（第6章章末“习题”第