数学模型复习题

数学模型复习题

1.为持续函数，初值条件，假设其增长率为常数，显然有，则其满足微分

方程；微分方程满足初值条件的解为；这个模型称

为。阻滞增长模型日勺形式的微分形式：求解得到日勺曲线称为

仙线。

2.论述数学建模的一般环节

模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检查、模型应用

从思想上理解。

3.简述数学模型按如下方面的分类：

按应用领域可分为：人口、交通、能源、环境、经济、规划等等；

按建立模型口勺数学措施可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、记录回归

模型、数学规划模型等等；

按模型的体现特性可以分为：拟定性和随机性、线性和非线性、静态和动态、持续与

离散等等。

可以灵活理解。

4.在超市购物时你也许注意到大包装商品比小包装商品便宜，例如中华牙膏65g每支

2.5元，120g每支3.8元，两者单位重量的价格比约为1.21:1。

（1）分析商品单位重量价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和

其他成本所决定，这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正比、有的与体积（重

量w）无关。

（2）给出单位重量价格C与w的关系，画出它们日勺简图。阐明w越大C越小，但是

随着w的增长C减小日勺速度变慢，解释其意义是什么？

5、级新生入学后，记录与应用数学学院共有在校学生1055人，其中记录学专业520

人，信息与计算科学专业265人，数学与应用数学专业270人。要在全院推选23名学生

构成学生代表团，试用下面的措施分派各专业H勺学生代表：

（1）按比例分派取整内措施，剩余口勺名额按惯例分派给小数部分较大者；

（2）用。值措施进行分派。

6.工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用。设在一种生产周期内，原料每天日勺需

求量为常数，每次H勺定货费用为，每天每单位原料的存储费为，订货后可立即到

货，每次订货量为。

（1）建立一周期的总费用函数（涉及订货费与库存费，购货费是常数可不予考虑）；

（2）为使每天日勺平均费用最小，求最佳订货批量、订货周期和最小成本。

7、一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重日勺生

国每天体重增长2公斤。目前牛猪H勺发售价格为每公斤8元，但是预测价格每天减少0.1

yco

（1）问该饲养场应当在什么时候发售这样的生猪最划算？

（2）在最佳发售时机的价格之下，作体重增长有关时间日勺弹性分析，并对弹性分析

作出相应的解释；

（3）在最佳发售时机的价格之下，作价格的减少有关时间的弹性分析;并对弹性分

析作出相应日勺解释；

8、利润是销售收入与生产支出之差，为每单位商品的售价，即。称

为；称为；称为；利润最大化的条件

是。

给定，，需求函数，已知

（1）建立利润函数的体现式；

（2）运用上述条件求利润最大化时日勺价格。

9、消费者对甲、乙两种商品H勺效用曲线（无差别曲线），问他如何运用手中的钱

购买两种单价分别为和口勺商品以达到效用最大。

（1）建立效用最大化的数学规划模型；

（2）运用Lagrange乘数法求出利润最大化的条件，并对成果进行解释。

（3）对于上述模型，推广到商品口勺状况。ABC各车间

10、某工厂加工A,B,C三种元件，三种元件在粗加工、精加工包总工时

装检查三个车间所需要单位工时，单位产品利润和各车间总工时

限制如下表，问应如何安排，可获最大利润。

粗加工121430

精加工302460

检查包装140420

单位利润（元）302050

（1）建立线性规划问题的数学模型。

Max=30*x1+20*X2+50*X3:

Xl+2*x2+x3<430;

3*xl+2*x3<460;

Xl+4*x2<420;

（2）对于你建立的线性规划模型，运用LING010.。求解成果如下：

请你进行对偶价格分析和进行全面的敏捷度分析（目的函数的系数和约束条件右断的常数

项），并作出解释。

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:13500.00

Totalsolveriterations:2

VariableValueReducedCost

XI0.00000040.00000

X2100.00000.000000

X3230.00000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

113500.001.000000

20.00000010.00000

30.00000020.00000

420.000000.000000

Rangesinwhichthebasisisunchanged:

ObjectiveCoefficientRanges

CurrentAllowableAllowable

VariableCoefficientIncreaseDecrease

XI30.0000040.00000INFINITY

X220.0000080.0000020.00000

X350.00000INFINITY26.66667

RighthandSideRanges

RowCurrentAllowableAllowable

KIISincreaseDecrease

430.000010.00000200.0000

460.0000400.000020.00000

4420.0000INFINITY20.00000

疗养院营养师要为病人拟订本周铁磷维生维生烟酸费用

菜单择的蔬菜及其费用和所含（毫克）（毫素A素C（毫

营养成分而数量、以及此类病人每周克）（单（毫克）

所需多种营养日勺瓶数星期下表所示：位）克）

成分

蔬菜

青豆0.451041580.30.15

胡萝卜0.4528906530.350.15

化菜1.05502550530.60.24

卷心菜0.42575270.150.06

甜菜0.5221550.250.18

土豆0.57523580.80.10

每周营养6325175002455

成分最低

需要量

（1）建立数学模型，拟定如何以至少的成本满足最低的营养需求。

Min=0.15*xl+0.15*x2+0.24*x3+0.06*x4+0.18*x5+0.I*x6;

0.45*xl+0.45*x2+l.05*x3+0.4*x4+0.5*x5+0.5*x6>6;

10*x1+28*x2+50*x3+25*x4+22*x5+75*x6>325;

415*xl+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235*x6>17500;

8*xl+3*x2+53*x3+27*x4+5*x5+8*x6>245;

0.3*xl+0.35*x2+0.6*x3+0.15*x4+0.25*x5+8*x6〉5;

对于你建立的1线性规划模型，运用LING010.0求解成果如下：

写出对偶线性规划问题，并指出对偶规划问题H勺最优解；

请你进行对偶价格分析和进行全面的敏捷度分析（目的函数H勺系数和约束条件右断的常数

项），并作出解释。

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:1.057771

Totalsolveriterations:0

VariableValueReducedCost

XI0.0000000.7908464E-01

X21.8184970.000000

X30.0000000.6040132E-01

X412.566930.000000

X50.0000000.1055289

X60.30981090.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

11.057771-1.000000

20.000000-0.1471509

363.326910.000000

40.000000-0.9125189E-05

b102.24100.000000

60.000000-0.3035017E-02

Rangesinwhichthebasisisunchanged:

ObjectiveCoefficientRanges

CurrentAllowableAllowable

VariableCoefficientIncreaseDecrease

XI0.1500000INFINITY0.7908464E-01

X20.15000000.23080130.819E-01

X30.2400000INFINITY0.6040132E-01

X40.6000000E-010.1923420E-010.5698966E-01

X50.1800000INFINITY0.1055289

X60.10000002.9712630.2370241E-01

RighthandSideRanges

RowCurrentAllowableAllowable

RHSIncreaseDecrease

••6.0000006.5178101.048061

3325.000063.32691INFINITY

417500.0034276.9016325.28

5245.0000102.2410INFINITY

65.00000031.535712.419514

12.用和分别表达甲乙交战双方时刻的兵力(人数)，每一方日勺战斗减员率取

决于双方的兵力和战斗力，分别为；每一方的非战斗减员率(由疾病、逃跑等因素引起)

只与本方的兵力成正比；甲乙双方日勺增援率是给定日勺时间的函数，分别为。则兵力变化

内微分方程为：

广

心

‘

力=-f(x,y)-ax^u(t)

—

办

‘

一

I

力=-g(x,y)-/3y+v(r)

J

根据如下条件，求出甲乙兵力的函数，分析甲、乙方获胜H勺条件。

正规战争：

游击战争：

混合战争：

13.在经济增长模型中，为了合用于不同的对象，可将产量函数折算成钞票，考虑到

物价上涨因素，我们记物价上升指数为，则产品日勺表面价值、实际价值和物价指数

之间有关系。

(1)导出的J相对增长率之间日勺关系，并作出解释；

(2)设雇佣工人数为，每个工人日勺工资，其他成本公司的利润函数为

RQ)=XO-3)0)—C(r)=Q⑴P⑴-3)必)—C(z)

根据Cobb—Douglas生产函数讨论，公司应雇佣多少工人可使利润最大？

14、记时刻渔场中的鱼量为，在无捕捞的条件下的增长服从Logistic规律其

中是固有增长率，是环境容许日勺最大鱼量。解这个微分方程满足初值条件，并解释

何时鱼量达到最大？

15.Volterra食饵一捕食者模型

dy=y(-d+bx)

（1）消去后，化为有关的微分方程;

（2）分离变量，求解上述微分方程并进行化简;

（3）解释食饵一捕食者两类生物数量变化的规律。

16.论述层次分析法的基本环节

17、用层次分析法解决一种实际问题，建立合理的层次构造，并给出层次构造中所有

关系【付鉴别矩阵。

18、试用和法求下列正互反矩阵的最大特性值与相应的权重。计算一致性指标，根

据3阶判断矩阵H勺随机性一致指标为，计算一致性比率并作一致性检查。

125、Cl1/31/8,（134)

A1/212，A=311/31/31J9

1/51/2、831JJ41/2L

19、己知6支球队循环比赛日勺邻接矩阵

r01011

000111

I0100

A

000011

00001

1°0100

（1）画图用箭头表达内这6个球队的胜负关系；

（2）根据矩阵日勺乘法，算出各级得分向量，并按名次高下排除顺序

已知4支球队循环比赛向邻接矩阵

（0110、

001

A=

0001

100

（1）画图用箭头表达的这6个球队的胜负关系；

（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高下排除顺序

己知5支球队循环比赛的邻接矩阵

，00ior

10001

A=01011

11000

、00010?

（1）画图用箭头表达向这6个球队的胜负关系；

（2）根据矩阵的乘法，算出各级得分向量，并按名次高下排除顺序

20、有个工人，他们的生产是互相独立的I,生产周期是常数，个工作台均匀排列；

每个工人生产出一件产品的时刻在一种周期内是等也许H勺；在一种周期内有个钩子通过

每一种工作台上方，钩子均匀排列，达到第一种工作台上方的钩子都是空的；每个工人在

任何时候都能触到一只钩子，也只能触到一只钩子，于是他在生产出一件产品的）瞬间，

如果他能触到的那只钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果那只钩子非空，则他只能将

这件产品放在地上，永远退出这个系统。（1）证明：任一种钩子非空的概率为；

（2）计算这个传送系统的传送率

21.报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉日勺报纸退回。设每份报纸日勺

购讲价为，零售价为，退回价为，满足。如具每天报纸H勺需求量是随机的，需求

份的概率，或者可以把看作持续变化的，其密度函数为。如果报童每天从报社购

进份报纸，是报童每天所得利润，则是与的函数

（1）建立利润函数L=g（r）；

（2）拟定每天的购进量，使报童每天日勺盼望利润最大。

22、某商店每天要订购一批牛奶零售，设购进价，售出价，当天销售不出去则削

价解决，解决价并能解决完所有剩余的牛奶。如果该商店每天销售牛奶的数量是随机

变量，其概率密度函数为。如果商店每天订购牛奶的数量为，该商店销售牛奶每天

所得利润，则是与的函数

（1）建立利润函数L=g（r）；

（2）拟定每天的购进量，使商店每天H勺盼望利润最大。

23、Y与，，12345678910111213

,数据如

下：

序号

%7111117113122111110

26295631525571315447406668

当615886917221842338

6052204733226442226341212

Y78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.4

如果Y与，，，

呈线性关系，运用

EXCEL进行回归，计算成果

如下：

SUMMARYOUTPUT

__________回归记录__________

MultipleR0.991149

RSquare0.982376

AdjustedRSquareO.973563

原则误差2.446008

观测值13

方差分析________________________________________________

_________dfSSMSFSignificanceF

回归分析42667.899666.9749111.4792~~4.76E-07

残差847.863645.982955

总计122715.763

Coefficients原则误差tStatP-valueLower95%Upper95%

回归常数62.4053770.070960.8906020.399134-99.1787223.9894

21.5511030.744772.082660.070822-0.166343.268546

0.5101680.7237880.7048580.500901-1.158892.179227

当0.1019090.7547090.1350310.895923-1.638451.842273

-0.144060.709052