数学高考圆锥曲线压轴题

数学高考圆锥曲线压轴题经典预测

一、圆锥曲线中的定值问题

★★椭圆C\1+*=1(a>/?>0)的离心率e=-^-,石+6=3.

(I)求椭圆。的方程；

(II)如图，45。是椭圆C的顶点，。是椭圆C上除顶点外的任意点，直

线。0交x轴于点/V直线力。交8户于点色设"的斜率为4,仞V的斜率为外

证明2m—〃为定值.

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★★如图，椭圆C:*+£=1(a>b>0)经过点户

线/的方程为x=4.

(I)求椭圆C的方程；

(II)48是经过右焦点厂的任一弦(不经过点夕),

于点色记户4PB,ZW的斜率分别为％,儿，丘问：是否存在常数人,使得

儿+儿=入％3?若存在，求人的值；若不存在，说明理由.

★★椭圆C:§+方=1(a>b>0)的左右焦点分别是A,F),离心率为坐,

过月且垂直于x轴的直线被椭圆。截得的线段长为1.

(I)求椭圆C的方程；

(II)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，

角平分线""交C的长粕于点"(加，0),求力的

(III)在(2)的条件下，过点P作斜率为A的卫

只有一个公共点，设直线85,8s的斜率分别为

1

+二为定值，并求出这个定值.

KK2

二、圆锥曲线中的最值问题

★★在平面直角坐标系x0y中，椭圆C:2+2=1(a>6>0)的离心率为幸，

aDz

直线y=x被椭圆。截得的线段长为妃?®.

□

(I)求椭圆C的方程；

(II)过原点的直线与椭圆C交于48两点、(力，8不是椭圆C的顶点).点D

在椭圆。上，.ELAP±AB,直线勿与x轴、y轴分别交于"，N两点、.

(i)设直线8a4/的斜率分别为儿，儿，证明存在常数人使得％=入％,并求

出入的值；

(ii)求椒面积的最大值.

★★已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,彳为C上异于原点的任意一点，

过点4的直线/交C于另一点8,交x轴的正半轴于点伉且有|)|=|尸。当

点力的横坐标为3时，ZU，/7为正三角形.

(I)求C的方程；

(II)若直线U//,且。和。有且只有一个公共点E,

(i)证明直线彳E过定点，并求出定点坐标；

(ii)储的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说

明理由.

X2V2

★★★如图，0为坐标原点，椭圆C1：-+-72=1(石>6>0)的左、右焦点

ab

x2J

分别为立，匕,离心率为&；双曲线。2：/一方=1的左、右焦点分别为

Fz,FA,离心率为&2,已知6]&2=^2f且IFZFA|=—1.

(I)求G、G的方程；

(II)过Q作Ci的不垂直于y轴的弦N8,V为48的中点，当直线。的与

C?交于P,。两点时，求四边形APBO面积的最小值.

三、圆锥曲线与过定点(定直线)问题

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★★设椭圆E：刍+的焦点在x轴上.

a1—a

(I)若椭圆E的焦距为1,求椭圆£的方程；

(II)设£分别是椭圆E的左、右焦点，〃为椭圆E上第一象限内的点，

直线EP交y轴于点0,并且尸证明：当s变化时，点户在某定直线

.I一一•

四、圆锥曲线与求参数

★★在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点0,焦点在x轴

上，短轴长为2,离心率为平■.

(I)求椭圆。的方程；

(II)力，8为椭圆C上满足△408的面积为李的任意两点，£为线段AB

的中点，射线交椭圆。与点P,设婷亡春求实数亡的值.

五、存在性问题

★★如图，已知椭圆2+5=1(5>/?>0)过点(1,堂)，离心率为‘，左、右

aDLZ

焦点分别为F、、£.点?为直线/:x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线

用和M与椭圆的交点分别为力、B知C、D,。为坐标原点.

(I)求椭圆的标准方程；

(II)设直线PF1、PE的斜线分别为人、〃2.

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①证明：—--=2；

k\ki

②问直线I上是否存在点P,使得直线。4、OB、0C、勿的斜率k°A、ko8.koc.

Go满史晶+koe+k℃+k。产金?若存在，求出所有满足条件的点尸的坐标；若不

存在，说明理由.

六、轨迹方程

xy

★★已知椭圆C：1+1=1(d>6>0)的两个焦点分别为(-1,0),E

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(1,0),且椭圆C经过点P