平面向量经典试题(含答案)

平面向量

1.（2007年天津理15）如图，在中，,是边上一点.，则

K解析』在口中，有余弦定理得口，口，

由正弦定理得，则，在中，由余弦定理求得，则，由余弦定理得，

K答案］.

2.（浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题（理）5）已知，点P在直线AB

上，且满足，则=（）

A.B.C.2D.3

K解析放□图所示，不妨设；找共线，对于点P在直线AB上，有；列方程，因此有，即

:而，即有，因此时.即有=.

K答案》B.

3（江苏省南通市2008-2009学年度第一学期期末调研测试数学试卷13）.在4ABC中，，D是

RC边上任意一点（。与R.C不重合），且，则等于▲

K解析工当点D无限逼近点C时，由条件知趋向于零，，即AABC是等边三角形.

R答案》.

4.12010•茂名市二模】如右缸在中，，AD是边BC上的高，则的值等于（）

A.0B.4C.8D.-4

【答案】B

【解析】因为，AD是边BC上的高,AD=2所以

AZZAC=AD（A8+BC）=ADA8+AD-8C=2x4x'=4,选择B

2

5（2007年山东理II）.在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（）

A.B.

C.D.

K解析》由于csoNCAB=||2,可排除A.cosZABC=2,可排除B,而cos（n-Z

ACD）=-|cosZACD<0,|>0,H,可知选C.

K答案Xc.

6.（2（）09湖北卷理）函数的图象按向量平移到，的函数解析式为当为奇函数时，

向量可以等于（）

A.（-二,-2）8.（-1,2）C.（-,-2）⑵

6666

答案B

解析直接用代入法检验比较简单.或者设，根据定义，根据y是奇函数，对应求出，

7.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，且，其

中，则=.0

答案:4/3

一.1---1――—

解析:设3C=〃、84=〃则A/=一匕一。,AE=b一一a,AC=b-a

22

24

代入条件得A=u=-:.Z+u=-

33

8.（2008•广东理,8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与

交于点.若，，则（）

A.B.C.D.

答案B

9.（2009昆明市期末）在aABC中，

（）

A.B.C.D,1

答案:B

10.（2007天津）设两个向量和，其中

为实数.若，则的取值范围是（）

A.[-6,1]B.C.（-6,1]D.[-1,6]

答案:A

11.（2006四川）如图,已知正六边形，下列向量的

数量积中最大的是（）

A.B.

C.D.

答案A

12.（江西省五校2008届高三开学联考）已知向量W,||=1,对任意tCR,恒有|

tI冽-I，则（）

A.〃_LeB.eA.（a—e）C.a±（a—e）D.（（i+e）±（a—e）

答案:B

※※有.（山东省博兴二中高三第三次月考）已知A,B,C是平面上不共线上三点，动点P

满足，则P的轨迹一定通过的

A.内心B.垂心C.重心D.AB边的中点

答案C

14.如图所示，在△ABO也=,=,AD与BC相交于点M,设=,=.试用和

表示向量.

解设=ma+nb,贝I]=・=ma+nb-a=(m-l)a+nb.

■，・■I■.

AD=OD-OA=-OB-OA=-a^-b.

22

又TA.M、D三点共线，・♦・与共线.・•.存在实数1,使得=1,

即(m-l)a+nb=t(-a+b)./.(m-l)a+nb=-ta+tb.

,消去t得：m-i=-2n»即m+2n=1.①

又CM=OM-OC=ma+nb--a=(m--)a+nb.

44

CB—OB-OC—b--a---a+b.

44

又・・・C.M、B三点共线，・•.与共线.8分

存在实数5使得GW=t|CB,

/.(m--)a+nb=tif--+),

4k4)

*

••，

消去h得,4m+n=l②

由①©得m=y,n=y,

=a+b.

15.如图所示，itAABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC,AM与BN

相交于点P.AP：PM的值为.

解方法一设e1=俞,e]=K,

则=+=-3e2-el,

BN=BC+CN=2e\+e2.

因为A.P、M和B.P、N分别共线，所以存在实数、，使==-3e2-el,

=2el+e2,/.=-=(+2)el+(3+)e2,

另外=+=2el+3e2,

AP=-AM,RP=-R\>,.*.AP：PM=4：1.

方法二设=,

•・•=(+)=+,

—•).3.

AP=-AB+-AAN.

24

VB.P>N三点共线，・•・-=t(-),

/.而=(1+【)而-i而

[A=i+/

♦.*')2

-34.=T

(4

:.+=1,=,AAP:PM=4：I.

16.设OW<2,已知两个向量=(cos,sin),=(2+sin.2-cos),则向量

长度的最大值是.

A.JiB.V3c.3J2D.26

答案c

17.（2010年高考全国卷I理科II）已知圆O的半径为1,PA.PB为该圆的两条切线，A.B

为两切点，那么的最小值为

（A）（B）（C）（D）答案:D

【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法一

一判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运匏能力.

【解析】如图所示：设PA=PB=,ZAPO=，则NAPB=,.

,令，……使用基本不等式得

=-3+272.

18.（2010年高考福建卷理科7）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点，点P为

双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】因为是已知双曲线为左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P,则有

，解得，因为，，所以=,此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以

当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。

【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平而向量的数量积的坐标运算、二次

函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运

算能力。

19.（2010年高考上海市理科13）如图所示，直线x=2与双曲线的渐近线交于，两点，记

，任取双曲线上的点，若，则满足的一个等式是

【答案】4ab=lB一〜

20.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它</\

们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其\/j

中，则的最大值是.°A

答案：2

解析：设

,即

x+y=2[cosa+cos（l20°-a）]=cosa+石sina=2sin（a+—）<2

6

21.（江西省八校2010年4月高三联考理科）设，，，，为坐标原点，若、、

三点共线，则的最小值是：）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

22.（江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学、白鹭洲中学、南昌三中

五校2010届高三联考理）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼

在一起，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30。角所对的

直角边重合.若，则x,y等于（）

A.B.

D.

【答案】B

XX23.（江西省重点中学协作体2010届高三第二次联考理科）在中，0为外心，P是

平面内点，且满足，则P是的

（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】D

分析：，再数形结合。

24.（湖北省黄冈市2010年3月份高三年级质量检测理科）向量=（）,是直线的方

向向量，，则数列的前10项的和（）

A.50B.100C.150D.200

答案:A

25.（湖北省武汉市2010年高三二月调研测试理科）己知抛物线的直线交物物线于点M、

N,交y轴于点P.若（）

A.1B.C.D.

答案：C

26.（湖北省武汉市2010年高三二月调研测试文科）在△ABC中，点P是AB上一点，且

Q是BC中点，AQ与CP交点为M,又则1=

（C）

A.B.

C.D.

27.（江西省十所重点中学2010届高三第一次模拟理科）设点O在aABC的外部，且，则

=O

【答案】4

分析•：，再作图。

28.（江西省赣州市十一县市2010届高三下学期期中联考文科）已知向量，，，若点、

、能构成三角形，则实数满足的条件是o

答案：

分析：、、不共线。

29.（重庆一中2008学年高三年级上期半期考试）△ABC,则AABC形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.以上均不正确

答案:A

30.过4ABC内部一点M任作一条直线EEAD1EF于D,

BE上EF于E,CF上EF于F,都有,

则点M是△48C的（）

A.三条高的交点B.三条中线的交点

C.三边中垂线的交点D.三内角平分线的交点

答案:B

31.（济宁・理科）点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点,N是边BC的中点，

则AN•AM的最大值是（）

A.2B.4C.5D.6

答案：D

32.⑴(上海市奉贤区2008年高三数学联考14)设向量=(-2,1),=(入，-1)(人

仁R),若、的夹角为钝角，则X的取值范围是

()

11.I.I

(A)(―co,——)(B)(——,4-oo)(C)(—,+oo)(D)(—―,2)U(2,+s)

2222

答案:D

(2)已知，与的夹角为，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范困是

()

A.B.

C.D.

答案:D

33.【2010•河北隆尧一中三月月考】在AABC所在平面上有三点P、Q、R,满足，，，

则△PQR的面积与△ABC的面积之比为

()

A.1:2B.l:3C.1:4D.1:5

【答案】B

【解析】由，，即，

,P为线段AC的一个三等分点，同理可得Q、R的位置，APQR的血积为AABC的血

积减去三个小三角形面积，.••面积比为1:3.

34.(2007江西，15)如图，在aABC中，点O是BC的中点，过点0的直线分别交直线

AB.AC于不同的两点M、N若的值为。

答案：2

—1—*—tn.n—*

【解析】AO=-(AB+AC)=—AM+-AN

222

M、0、N三点共线，

/.—+—=1,/.m+n-2故填2。

22

35.【温州中学•理】已知，，，点在直线上的射影

为点，则的最大值为()

A.io+VioB.lo-VioC.Vio+iD.VTo-1

答案:c

36.【台州市•埋】17.设点是内一点（不包括边界），且，

则"-+iv-2m-2/7+3的取值范围是.

答案：（，3）

37.（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）已知圆与轴的两个交点为、，若

圆内的动点使、、成等比数列，则的取值范围为

（）

（11「1八1八

（A）0,—（B）—,0（C）（—,0）（D）（—1,0）

I2」L2）2

答案：B

38.（上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科）如图，平行四边形的两条对角线相交

于点，点是的中点.若，，且，则

答案：

39.（2009年天津理15）在匹边形ABCD中，==,,则四边形ABCD的面积

是.

【解析】因为==（1,1）,所以四边形ABCD为平行四边形，所以

^-TBA-V—BC=-^BD=V3..

—(BA+5C)

\BA\BC叫BD

.-.|BD|=G网=.困，即网=|叫=V2,|BD|=V6

则四边形ABCD的面积为S=2x；xJ&x。

40.（湖南理.16）在中，已知，求角A.R.C的大小.

【解析】设8C=a,AC=^48=c.

由得，所以.

又A£（0,4）,因此人=工

6

由得,于是•

所以，,因此

由知,所以，从而

或，既或故

Kn2乃「K--pnn汽c24

A4=—,B=—,C=—,或AA=—,B=—,C=——

636663

41.(天津市六校2010届高三第三次联考理科)已知点，0为坐标原点，点

的坐标x,y满足则向量方向上的投影的取值范围是()

A.B.[-3,3]C.D.

答案：B

42.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足条件，则的最大值

为()

A.-1B.OC.3D.4

答案：D

43.已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，则

答案：4

44.(2012年高考(上海理))在平行四边形ABCD中，，边AB.AD的长分别为2.1.若M、

N分别是边BC,CD上的点，且满足，则的取值范围是一.

答案：如图建系，则A(0,0),B(2,0),D(,),C(,).

।㈣」更L

设西\CD\MU,则1曲1="叫=2,

，色5J5

所以M(2+1,T),N(I-2t,T),

故京=(2+亨卓X#=-C-2+5=-(f+l尸+6=/(f)

因为由0,1],所以f⑴递减,()max=f(0)=5,()min=f(l)=2.

｛评注｝当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点:M在B(N在C)和M在C(N在D),而本案恰

是在这两点处取得最值，蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了！

45.(2012年高考(北京理))已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则

的值为；的最大值为.

答案:

【解析】根据平面向量的点乘公式丽丽二成屈=|场||出|8SS,可知

|朝|co$8=|应I,因此就分=1亩F=1；而厉=1万II泥|cosa=l弧I8吗

而|OE|cQsa就是向量而在比边上的射影，要想让瓦比最大，即让射影最大，此时七点

与5点重合，射影为10cl所以长度为।

【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题，

考查学生最值的求法.

46.（2012年高考（天津理））已知AABC为等边三角形，，设点P,Q满足，，，若，

则（）

A.B.C.D.

答案:A

【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考杳了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理.

共线向量定理及其数量积的综合运用.

【解析】•.•地=前-礼（1T）前-屈，济经-而=痴-前,

BQC^--

又2,且

|福H而|=2＜次,而＞40°拓科拓I的8s60°=2・•・

4|运冠而乜1-3|菊2=2

2,2,所以

21

4力+2（不■4-lyMa-4尸弓4=士

2,解得2.

47.（2009韶关一模理）若=a,=b，则NAQR平分线上的向星为（）

A.B.（）,由确定

ca+bD\b\a+\a\b

\a+b\\a\+\b\

答案：B

XX48.（浙江2007年理5分）若非零向量满足，则)

A.B.C.D.

【答案】Co

【考点】向量的加法及其几何意义。

【分析】V\a+2b\=\a+b+b\<\a+b\+\b\=2\b\,

由于是非零向量，则必有，故上式中等号不成立。

：.\2b\>\a+2b\.故选C。

49.（浙江201（）年理4分）已知平面向量满足，且与的夹角为120°,则的取值范围

是

【答案】（0,]0

【考点】平面向量数量枳的运算。

【分析】如图所示，令、，则。

；与的夹角为⑵：。

又，由正弦定理得，即.

又：:.的取值范围是（0,]»

50.（浙江2011年理4分）若平面向量a,B满足|Q|W1,且以向量a,[3为邻边的

平行四边形的面积为，则a与B的夹角的取值范围是o

【答案】C，3

66

【考点】数量枳表示两个向量的夹角。

【分析】由题意得：O

•••

•，，••°

又•・,一•・。

51.（陕西省宝鸡中学2012届高三上学期月考理】已知O为平面内一定点,设条件p:动点M

满足，R；条件q：点的轨迹通过AABC的重心.则条件p是

条件g的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

52.【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】设乂是^内一点，且，，定义，其中

分别是△,△,△的面积，若，则的最小值是

【答案】18

53.【江西省上饶县中学2012届高三上学期第三次半月考】已知、D是BC边上的一点，

,若记，则用表示

所得的结果为()

A.B.C.D.

【答案】C

55.12012高考上海理12】在平行四边形中，，边、的长分别为2.1,若、分别是边

、上的点，且满足，则的取值范围是

【答案】[2,5].

【解析】法1:设=(0WW1),

则=，=，

则AMANXAZ?++/7AQ=(AB+2AO)[AO+(1

二丽・丽+启+疝*(]一#而.前

又，:=2X1X=1,=4,=1,

*

••=，

〈OWWl,...ZWW5,即的取值范围是[2,5].

法2: