2027届江苏省联考高三月考质量监测数学试题（含解析）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）高三年级10月份质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数（其中为虚数单位），则（

）A． B． C． D．3．已知点P是的重心，则（

）A． B．C． D．4．“”是“函数在上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知是等比数列，且，则（

）A． B． C． D．6．已知是定义在上的奇函数，且，若当时，，则（

）A． B． C． D．7．已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知，满足，，则（

）A． B．C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的．若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．9．已知，，则下列选项中正确的有（

）A． B．C． D．10．已知函数，其中.则下列说法正确的有（

）A．的最小正周期为B．若的图象关于点中心对称，则的取值范围为C．若将的图象向左平移个单位后，所得图象关于y轴对称，则D．若在区间上单调递增，则的取值范围是11．已知，则下列正确的是（

）A．直线为的切线B．若，则的取值范围为C．若在上单调递增，则D．设为曲线在处的两条切线，若，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上．12．根据成对样本数据建立变量关于的成对数据如下表所示：1234547910若由该数据得到的线性回归方程为，则的值为_____.13．______.14．已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是_________四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.16．某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下：企业ABCDEFG研发投入（万元）3006009001200200028004000年度专利产出数（件）357691011(1)现从这7家企业中随机抽取1家．记事件M：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件N：抽到的企业“专利产出数超过8件”．求条件概率的值；(2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列和数学期望．17．如图，已知直角梯形绕旋转得到四边形，其中.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.18．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上不是单调函数，求实数的取值范围．19．已知函数，．(1)若，且在点处的切线与直线垂直，求的值；(2)设函数．（ⅰ）当时，求的最小值；（ⅱ）当时，讨论的零点个数．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．C【分析】由对数函数单调性解不等式可化简集合A，后由并集定义可得答案.【详解】，则，又，则.故选：C.2．B【分析】利用复数的除法和复数的模的运算，直接求解即可.【详解】，故.故选：B3．D【分析】根据平面向量基本定理逐项验证判断即得.【详解】取的中点，根据中线性质可得，因为是的重心，所以,将上式代入，得，故A,B错误；又因,故C错误；，故D正确.4．A【分析】利用导数求出在上单调递增的值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】函数，求导得，若函数在上单调递增，则对恒成立，而当时，，则，因此，所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A5．C【分析】设等比数列的公比为，利用条件，得到，再由，得，即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，得到，所以，由，得到，所以，故选：C.6．A【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，由，得，则，即，所以函数的一个周期为4，又，则.7．D【分析】由面积求得侧棱与底面边长的关系，再根据线面角定义求解．【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，则是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，设底面边长为，，由已知，则，又，所以，而，所以，.故选：D．

8．C【分析】对做指对互化，换元变形，构造函数，利用单调性得到，利用零点存在性定理可求得，可判断A；根据可求得，可判断B；将代入可判断C；由可判断D.【详解】已知，满足，．对，指对互化得．令，则，代入上式得：，两边乘整理得．构造函数，求导得：．因为，，，故恒成立．这说明在上严格单调递增，方程最多一个解．因为和都满足方程，所以，同时．对于A：，，，因为单调递增，所以，选项A错误．对于B：由，，所以，因此，不成立，选项B错误．对于C：，代入，．因为，，，所以恒成立，选项C正确．对于D：由前面推导，，选项D为，即，矛盾，选项D错误．9．BCD【分析】利用对数函数的性质判断A的真假；利用指数函数的性质判断B的真假；利用基本不等式判断CD的真假.【详解】对A：因为，，所以，所以，故A错误；对B：因为，所以，故B正确；对C：因为，当且仅当即，时取等号.故C正确；对D：因为，故D正确.10．AC【分析】对A：利用周期定义计算即可得；对B：利用正弦型函数的对称性计算即可得；对C：求出平移后函数解析式后利用偶函数性质计算即可得；对D：结合正弦型函数单调性与的范围计算即可得.【详解】对A：函数的最小正周期，故A正确；对B：若的图象关于点中心对称，则，则，由于，则，解得，故B错误；对C：平移后得，若为偶函数，则，，则，，又，则，故C正确；对D：由，得，若在此区间递增，则，，解得，，由，故无满足条件的，故D错误.11．ACD【分析】根据导数的几何意义可求得处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确.【详解】已知，求导得选项A：当时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为，故直线一定是的切线，故A正确；选项B：当时，，故B错误；选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，，因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确；选项D：求导得：，切线等价于，整理得：，因为，两边除以得，即，故D正确.12．5【分析】根据均值点过回归方程，求出代入计算即可.【详解】根据题意，所以，解得.故答案为：5.13．1【分析】应用商数关系、和差角的正余弦公式及诱导公式化简即可得出结果.【详解】方法一：原式=.方法二：令，即.，则，即，即，则.故答案为：114．【分析】将问题转化为在上恒成立，结合局部保号性可求参数的取值范围.【详解】由于函数在上的最小值为1，结合在上恒成立，因此可知，故对任意的恒成立，故，因为，故只需在上恒成立即可，故只需在上恒成立即可，故在上恒成立，故在上恒成立，故，故需在上恒成立，设，则，因为在上为增函数，故当即时有在上恒成立，且不恒为零点，故在上为增函数，故，即在上恒成立，若，则，故存在，使得，总有，即在上为减函数，此时即，这样题设矛盾；综上可得.15．（1）；（2）.【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得，则，所以该函数的最小正周期;（2）由题意，，由可得，所以当即时，函数取最大值.16．(1)(2)0123数学期望【详解】（1）事件：研发投入不超过万元，对应企业，，，，，共5家，在里面，专利产出数超过8件的只有企业，即有1家，条件概率公式：.（2）专利产出数大于6件：，，，，共4家；专利产出数不大于6件：，，，共3家，随机抽取3家，表示其中专利产出大于6件的企业数，的可能取值：0，1，2，3，服从超几何分布，，，，，，，，，，分布列：X0123P超几何期望公式：.17．(1)由题意，平面平面，，，因为平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以.(2)【分析】（1）由由题意可得平面平面，，进而得到平面，进而求证即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】（1）略（2）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，易得平面的一个法向量为，所以，由图可知，二面角为锐二面角，则二面角的余弦值为.18．(1)若，则无单调区间；若，则单调递增区间为，单调递减区间为；若，则单调递增区间为，单调递减区间为.(2)【分析】（1）求定义域，求导，分，和两种情况，得到函数单调区间；（2）根据切线倾斜角得到方程，求出，并得到的解析式，根据函数在区间上不是单调函数，得到不等式组，求出答案【详解】（1）的定义域为，，若，则，此时无单调区间；若，令得，令得，此时单调递增区间为，单调递减区间为；若，令得，令得，此时单调递增区间为，单调递减区间为；综上，若，则无单调区间；若，则单调递增区间为，单调递减区间为；若，则单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）得，由题意得，解得，，，则，所以，因为函数在区间上不是单调函数，所以存在，使得，其中，结合开口向上，必有，由题意可得，对于任意的，恒成立，故只需，其中，，故，解得.19．(1)(2)（ⅰ）1；（ⅱ）当时，无零点；当时，有且仅有1个零点；当时，有2个零点．【分析】（1）求导，得到在点处的切线斜率，再根据两直线垂直斜率的关系建立方程，求出；（2）（ⅰ）求导，根据导数符号判断单调性，进而求出函数的最小值；（ⅱ）分三种情况讨论，当，通过构造结合函数单调性与零点存在定理证明.【详解】（1）若，则，，得，若在点处的切线与直线垂直，则，解得；（2）（ⅰ）由题知，的定义域为，所以的定义域为，当时，，所以，故，则，由函数与在上的图象知，存在唯一的使，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在处取得最小值，又由得，故的最小值为1；（ⅱ）的定