(10.3.1)-10.3 简单线性回归统计推断

简单线性回归及SPSS的实现第十章简单线性回归统计推断建立样本线性回归方程，只是完成了统计分析中两变量关系的统计描述，研究者还须回答它所来自的总体的直线回归关系是否确实存在，即是否对总体有β≠0？

方程为μY|X=μY=α，即β=0。图3总体回归系数与样本回归系数示意图图片来源于网络，仅供教学参考假设由于种种原因，我们不能对总体进行调查，只开展了一次随机的抽样，样本含量为8，抽得的样本为实心圆点所示。根据这8个数据点可以根据最小二乘法可以求得样本的回归直线方程，该样本回归系数b并不等于0。线性回归统计推断X

P

(X,Y)Y图4应变量Y的离均差平方和划分示意图离均差回归的贡献式1：式2：可以证明：

Y的总变异（离均差平方和）分解为Y的离均差平方和，表示Y的总变异。线性回归统计推断回归平方和线性回归统计推断

残差平方和线性回归统计推断

Y的自由度分解总的自由度：n-1回归自由度：1剩余自由度：n-2不考虑回归时，随机误差是Y的总变异𝑆𝑆总；而考虑回归以后，由于回归的贡献使原来的随机误差减小为𝑆𝑆残。如果两变量间总体回归关系确实存在，回归的贡献就要大于随机误差。线性回归统计推断大到何种程度时可以认为具有统计意义?图5回归效果示意图图片来源于网络，仅供教学参考统计量F:线性回归统计推断𝑀𝑆回回归均方，𝑀𝑆残残差均方。F统计量服从自由度为𝜈回，𝜈残的F分布。查F界值表，得P，按所取检验水准作出推断结论。回归系数的ｔ检验回归的剩余标准差样本回归系数的标准误方差分析图片来源于网络，仅供教学参考按α=0.05水准，拒绝H0，可认为血清总胆固醇含量与年龄之间有直线关系。

线性回归统计推断H0：β=0，即血清总胆固醇含量与年龄之间无直线关系

H1：β≠0，即血清总胆固醇含量与年龄之间有直线关系

α=0.05

变异来源自由度SSMSFP总变异88.511

回归17.6117.61159.461<0.05残差70.9000.128

表2方差分析表首先利用方差分析来检验例1数据得到的直线回归方程是否成立。决定系数（coefficientofdetermination）：线性回归统计推断取值在0到1之间且无单位，其数值大小反映了回归贡献的相对程度，也就是在Y的总变异中回归关系所能解释的百分比。决定系数越大（越接近1），回归的拟合效果越好。回归平方和占总平方和的本例，即为R2t检验图片来源于网络，仅供教学参考按α=0.05水准，拒绝H0，可认为血清总胆固醇含量与年龄之间有直线关系。

线性回归统计推断H0：β=0，即血清总胆固醇含量与年龄之间无直线关系

H1：β≠0，即血清总胆固醇含量与年龄之间有直线关系

α=0.05

总体回归系数β

的可信区间线性回归统计推断本例中已计算得到：利用上述对回归系数的t检验，可以得到β的1－α双侧可信区间为按自由度v=7查t界值表，得到代入上式计算得到区间：线性回归统计推断利用回归方程，我们可以进一步进行估计和预测。主要涉及两个方面，一个是估计总体均数μY|X的置信区间，另一个则是可预测个体Y值的区间。总体均数μY|X的置信区间线性回归统计推断总体中X为某固定值时，Y的总体均数的置信区间。给定X=X0时，总体μY|X0的1-α置信区间为

个体Y值的预测区间线性回归统计推断总体中X为某固定值时，个体Y的波动范围。给定X=X0时，个体Y值的1-α预测区间为

用例1所得直线回归方程，计算当𝑋0=30时，

μY|X0的95%置信区间和相应个体Y值的95%预测区间。

图6回归方程、均数的置信区间与个体容许区间图图片来源于网络，仅供教学参考总体均数的置信区间带个体Y值的预测区间带总体均数的置信区间在固定X₀处，反复抽样100次，可算出100个相对应Y的总体均数的置信区间，在概率意义上平均而言，有100*（1