86　第十章　第79课时　概率与统计的综合问题(进阶课)

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布*第79课时概率与统计的综合问题(进阶课)[总体概览]

近几年高考特别注重对概率和统计结合、概率和其他知识(如数列与函数)结合的综合考查，通常以实际问题为背景，通过构建数学模型，突出考查统计与概率思想、数据处理能力和应用意识．复习备考时，要把基础知识理解透彻，在情境问题中能够发现考查的本质问题．(1)注重情境，注重审题考查概率、统计的试题多以生产生活中的实际问题为背景，阅读量大，首先根据文字信息、图表信息了解考查的知识点，再结合考查目标，理解图文的内在含义，最后整合有效信息，明确数据关系．对题目的准确理解，找到数学模型是解答题目的关键．(2)关注素材，注重图表图表语言具有直观、简洁、信息量大等特点，高考试题经常以图表作为情境材料呈现，准确读表(图)、识表(图)和用表(图)的能力至关重要，要从图表中获取有效信息，灵活运用图表信息作出统计推断和决策．(3)关注生活，注重应用多关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展、体育精神等各个方面，培养和提升数据处理能力、数学建模能力，培养用数据说话的理性思维．(4)重视交汇，提升能力统计与概率具有广泛应用性，一方面，统计和概率、计数原理等知识可以有机结合，即以统计知识为背景，以频率来估计概率或计数为基础，过渡到概率问题；另一方面，统计与概率可以和其他数学知识相结合，如可以和函数、数列、不等式等结合．因此在复习备考中，有必要针对统计与概率和其他知识相结合的问题进行训练．类型一

统计图表与概率[典例1]

某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求m的值；(2)以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值；(3)若采用分层按比例抽样的方法从成绩在[40，70)的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回地抽取3份试卷，记得到分数在[50，60)内的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

所以随机变量ξ的分布列为ξ0123P

通性通法：频率分布直方图与概率的综合问题有两个考查方向：(1)通过阅读频率分布直方图，寻找规律的统计类或综合类问题，用样本估计总体，特别是平均数、方差的计算等；(2)以综合事件为载体，通过对事件进行分解求事件发生的概率，也可能通过随机变量的分布研究期望和方差，进行统计决策等．【教用·备选题】(2025·昭通月考)甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值(单位：分)作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”．(1)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望；(3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀品”率分别为0.60，0.30，三家产品数在市场中所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？

X0123P0.2160.4320.2880.064E(X)＝3×0.4＝1.2．

类型二

回归分析与概率[典例2]

已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量(单位：万次)如下：样本号i12345第xi天12345点击量yi2.42.74.16.47.9

通性通法：破解概率与回归分析的综合问题的关键：(1)求两个变量的平均值；(2)能根据已知数据求回归方程；(3)能利用概率公式、离散型随机变量的分布列等处理数据．

A型充电桩投资金额x/百万元3467910所获利润y/百万元1.5234.567

X01234P类型三

独立性检验与概率[典例3]

某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取200人进行调查，得到如下列联表：单位：人年龄周平均锻炼时长合计少于4小时不少于4小时50岁以下406010050岁以上(含50)2575100合计65135200

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

X123P

通性通法：高考常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检验问题，要注意“三关”：假设关、公式关、对比关．解决概率问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型．

【教用·备选题】(2026·南通模拟)跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能，抑制人体癌细胞生长和繁殖．为了解人们是否喜欢跑步，某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查，统计结果如表．单位：人性别是否喜欢跑步合计喜欢不喜欢男12820女101020合计221840

α0.10.050.0250.010.001xα2.7063.8415.0246.63510.828

X1234P【教用·微点突破】概率与函数、数列在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式、数列的有关性质去实现．一、概率与函数[典例1]

小甲参加商场举行的玩游戏换代金券的活动．若参与A游戏，则每次胜利可以获得该商场150元的代金券；若参与B游戏，则每次胜利可以获得该商场200元的代金券；若参与C游戏，则每次胜利可以获得该商场300元的代金券．已知每参与一次游戏需要成本100元，且小甲每次游戏胜利与否相互独立．(1)若小甲参加4次A游戏，每次获胜的概率为p(0<p<1)，记其最终获得450元代金券的概率为F(p)，求函数F(p)的极大值点p0；

通性通法：概率与函数交汇问题常需根据题意列出某个事件发生的概率表达式，表达式中通常含有未知数，此时可将概率表达式看作函数，通常会利用导数判断函数的单调性，进而确定概率的最值等．

√√√

通性通法：在概率问题中，经常出现“承上启下”的概率关系，也就是说，第n＋1(n∈N*)步的概率Pn+1与第n步的概率Pn之间有着十分紧密的关系，这种关系正是数列研究的对象问题．解决这类题的步骤如下：(1)厘清初始事件的概率P1(或P0)；(2)利用事件关系寻求第n步的概率Pn与第n＋1步的概率Pn+1之间的关系，即递推关系Pn+1＝f(Pn)；(3)利用数列的相关知识，由已知P1与Pn+1＝f(Pn)求出通项公式Pn．【教用·备选题】1．(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]上的最小值．[解]

(1)由题图知(100－95)×0.002＝1%>0.5%，所以95<c<100．设X为患病者的该指标，则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5．设Y为未患病者的该指标，则q(c)＝P(Y>c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%．

由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增，作出f(c)在区间[95，105]上的大致图象(图略)，可得f(c)在区间[95，105]上的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02．

1．(2025·乳山市期中)为了研究高二学生每天整理数学错题的情况，学校在高二级部学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学成绩与整理数学错题情况，统计数据如下．单位：人课时作业(七十九)概率与统计的综合问题(进阶课)每天整理错题情况数学成绩合计优秀不优秀每天都整理数学错题人数552075不是每天都整理数学错题人数304575合计8565150

参考数据：α0.10.050.0250.010.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828

随机变量X的分布列为X012P

2．(2025·仁怀市期中)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

则ξ的分布列为

ξ

0

1

2

P

3．网络营销是利用互联网和数字技术开展的一种营销方式，包括电子商务营销、搜索引擎营销、社交媒体营销等多种形式．通过网络营销，商家可以更加直接高效地与消费者进行交流和互动，提高品牌名誉度和市场份额．视频营销成为一种网络营销“新宠”．某礼品店应用视频营销销售礼品，2025年1月到8月出售的礼盒数量及利润情况的相关数据如表所示．月份1月2月3月4月5月6月7月8月月销售量x/千个3456791012月利润y/万元3.64.14.45.26.27.57.99.1(1)求出月利润y(