61　第七章　第56课时　向量法求空间角(一)

1/23第56课时向量法求空间角(一)[考试要求]能用向量法解决与异面直线所成的角、直线与平面所成的角有关的问题，体会向量法在研究空间角问题中的作用．知识点1异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝|u·知识点2直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝|u·1．(人教A版选择性必修第一册P38练习T1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是()A．3010 B．C．3015 D．A[如图，建立空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝1，则A(1，0，1)，B(0，1，1)，D112，12，所以|cos〈BD1，AF1〉|]2．(苏教版选择性必修第二册P35练习T1(3)改编)已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则直线l与平面α所成的角为(A．30° B．60°C．120° D．150°A[设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，n〉|＝12所以直线l与平面α所成的角为30°．故选A．]考点一异面直线所成的角[典例1](1)(2026·安丘模拟)已知圆台的上底面圆O'的半径为1，下底面圆O的半径为2，点A'，A分别在上、下底面圆周上，且O'A'⊥OA，OO'＝1，则直线AA'与OO'所成角的余弦值为()A．66 B．C．63 D．(2)(2026·佛山模拟)正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形)．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2，M，N分别为棱AD，AC的中点，则直线BN和FM所成角的余弦值为()A．56 B．C．216 D．(1)A(2)D[(1)设圆台经过点A'的母线为A'B，∵O'A'⊥OA，∴OA⊥OB，以O为原点，OA，OB，OO'所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则O(0，0，0)，A(2，0，0)，A'(0，1，1)，O'(0，0，1)，可得AA'＝(－2，1，1)，|AA'|＝4+1+1＝∵OO'＝(0，0，1)，∴cos〈AA'，OO'〉＝AA'·OO'|AA'||故选A．(2)法一：连接BD，AF交于点O，连接OC，易知OC，OD，OA两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0，－2，0)，C(2，0，0)，A(0，0，2)，D(0，2，0)，F(0，0，－2)，所以N22，0，BN＝所以|cos〈BN，FM〉|＝即直线BN和FM所成角的余弦值为156法二：由题意，可得BN＝FM＝FD＋连接BD(图略)，由正八面体ABCDEF的棱长都是2，且各个面都是等边三角形，易知四边形BCDE为正方形，在△ABD中，由AB＝AD＝2，BD＝22，可得AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，所以FM·BN＝-12AD-AB·12AC-AB＝－14AD·AC＋12AD·AB－12AB·AC＋AB2＝－1|FM|＝-＝1＝14所以|cos〈FM，BN〉|＝即直线BN和FM所成角的余弦值为156．通性通法：向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点1．两种方法(1)基向量法：利用线性运算．(2)坐标法：利用坐标运算．2．一个注意点注意异面直线所成的角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．[多维变迁]1．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝22，若直线CA1与直线AB所成的角为60°，则AA1＝()A．3 B．2C．22 D．23B[如图，以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，22，0)．设A1(2，0，z)，z>0，则BA＝(2，0，0)，CA1＝(2，－22，z所以|cos〈BA，CA1〉|＝4212+z2解得z＝2，故AA1＝2．故选B．]2．(2026·张掖模拟)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AA1＝A1B1＝12AB＝1，∠ABC＝π3，则直线AC与直线BB1所成角的余弦值为(A．24 B．C．62 D．A[取BC的中点F，连接AF，则由题意可得AF⊥BC，AF⊥AD，且BF＝1，AF＝3，以A为坐标原点，AF，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(3，－1，0)，B132，-12，1，C(∴BB1＝-32，12∴|cos〈BB1，AC〉∴直线AC与直线BB1所成角的余弦值为24故选A．]【教用·备选题】1．(2025·海南期末)如图，在棱长为6的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为()A．16 B．C．12 D．A[作AO⊥平面BCD，垂足为O，因为四面体ABCD为正四面体，所以O为△BCD的中心，连接OC，则OC⊥BD，则以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，26)，B(3，－3，0)，C(0，23，0)，D(－3，－3，0)，所以E-32，-所以BE＝设异面直线BE，CF所成的角为θ，所以cosθ＝|cos〈BE，CF〉|＝故选A．]2．(2025·全国一卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD．(2)设PA＝AB＝2，BC＝2，AD＝1＋3，且点P，B，C，D均在球O的球面上．(ⅰ)证明：点O在平面ABCD内；(ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值．[解](1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB．(2)(ⅰ)证明：以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向分别为x，y，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，1＋3，0)，P(0，0，2)，设O(a，b，c)，因为点P，B，C，D均在球O的球面上，所以|OB|＝|OC|＝|OD|＝|OP|，则(a－2)2＋b2＋c2＝(a－2)2＋(b－2)2＋c2＝a2＋(b－1－3)2＋c2＝a2＋b2＋(c－2)2，得a＝0，b＝1，c＝0，即O(0，1，0)，所以点O在AD上，即点O在平面ABCD内．(ⅱ)AC＝(2，2，0)，PO＝(0，1，－2)，则cos〈AC，PO〉＝所以直线AC与PO所成角的余弦值为23考点二直线与平面所成的角[典例2](2025·哈尔滨期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)已知AB＝2，AA1＝AC＝CB＝2，求CD与平面A1CE所成角的大小．[解](1)证明：连接AC1，交A1C于点P，连接DP，因为点D，P分别是AB，AC1的中点，所以DP∥BC1，因为DP⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．(2)因为AB＝2，AA1＝AC＝CB＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥CB，如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，D22，22，0，A1(2，0，2)，E0，2，设平面A1CE的法向量为m＝(x，y，z)，则m令x＝2，则y＝1，z＝－2，所以平面A1CE的一个法向量为m＝(2，1，－2)．设CD与平面A1CE所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈CD，m〉|＝CD·又θ∈0，所以直线CD与平面A1CE所成角的大小为π4通性通法：线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|．【教用·通性通法】空间向量求直线与平面所成角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角．[多维变迁](2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1．(1)证明：A1C＝AC；(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．[解](1)证明：过A1作A1D⊥CC1，垂足为D，∵A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵A1C，AC⊂平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∵A1D⊂平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，又CC1，BC⊂平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1．由已知条件易证△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D为CC1的中点，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC．(2)连接A1B，由(1)易证A1B＝A1B1，故取BB1的中点F，连接A1F，∵AA1与BB1的距离为2，∴A1F＝2，又A1D＝1且A1C＝AC，∴A1C＝A1C1＝AC＝2，AB＝A1B1＝5，BC＝3．建立空间直角坐标系Cxyz如图所示，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，3，0)，B1(－2，3，2)，C1(－2，0∴CB＝(0，3，0)，CC1＝(－2，0，2)，AB1设平面BCC1B1的法向量为n＝(x，y，z)，则n即3y＝0，-2x+2z＝0，∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1)．设AB1与平面BCC1B1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，AB1〉|＝∴AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为1313【教用·备选题】如图，四棱锥P-ACDB中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝4，C，D是平面ABC内以AB为直径的半圆弧的三等分点．(1)证明：平面PAC⊥平面PBC；(2)求PD与平面PBC所成角的正弦值．[解](1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为C是平面ABC内以AB为直径的半圆弧的三等分点，所以AC⊥BC，因为PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．(2)以A为坐标原点，垂直于AB的直线为x轴，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(0，4，0)，C(3，1，0)，D(3，3，0)，故PD＝(3，3，－4)，PB＝(0，4，－4)，CB＝(－3，3，0)，设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，则PB则PB·m可以取m＝(3，1，1)为平面PBC的一个法向量，设直线PD与平面PBC所成角为θ，所以sinθ＝|cos〈PD，m〉|＝PD·故PD与平面PBC所成角的正弦值为35351．(链接考点一)(人教B版选择性必修第一册P37练习AT3改编)已知直线l1的方向向量为s1＝(1，0，1)，直线l2的方向向量为s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2所成角的余弦值为()A．24B．12C．22C[因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝s1·s2|s1||s2|＝-1-22×2．(链接考点二)(2025·庐山月考)在三棱锥P-ABC中，P(0，0，1)，A(0，3，0)，B(1，3，0)，C(2，0，0)，则PC与平面PAB所成角的正弦值为()A．23 B．C．1510 D．C[因为P(0，0，1)，A(0，3，0)，B(1，3，0)，C(2，0，0)，故PA＝(0，3，－1)，PB＝(1，3，－1)，PC＝(2，0，－1)，设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则n令y＝1，则x＝0，z＝3，故n＝(0，1，3)为平面PAB的一个法向量，设PC与平面PAB所成的角为θ，则sinθ＝|n故选C．]3．(链接考点一)(2026·白银模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，BB1＝2，DM＝23DB，A1N＝1A．63 B．C．59 D．B[如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，BB1＝2，DM＝则A1(3，0，2)，M(2，2，0)，B(3，3，0)，N(2，1，2)，所以A1M＝(－1，2，－2)，BN＝(－1，－2，2设异面直线A1M和BN所成的角为θ，则cosθ＝|A1M故选B．]4．(链接考点二)(人教A版选择性必修第一册P43习题1.4T10改编)设M，N分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的中点，则直线MN与平面A'BCD'所成角的正弦值为______________．

12[建立空间直角坐标系如图，设AB＝2则M(2，2，1)，N(1，2，2)，B(2，2，0)，A'(2，0，2)，C(0，2，0)，则MN＝(－1，0，1)，BA'＝(0，－2，2)，BC＝(－2，0，0)．设平面A'BCD'的法向量为n＝(x，y，z)，故BA'令z＝1，则y＝1，x＝0，所以平面A'BCD'的一个法向量为n＝(0，1，1)，所以MN与平面A'BCD'所成角的正弦值为|cos〈MN，n〉|＝12×课时作业(五十六)向量法求空间角(一)一、单项选择题1．(2025·盐城月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝2DC，E为PC上一点，且PC＝4EC，则异面直线AC与BE所成角的余弦值为()A．－4214 B．C．2114 D．－B[以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设PD＝2，则AB＝AD＝BC＝CD＝1，可得A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，由PC＝4EC，得E0，34，12，所以AC＝(－可得cos〈AC，BE〉＝1-14+01+1+0×1+116+142．(2025·宿迁期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1，P为B1C1的中点，则直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值为()A．1510 B．C．104 D．A[以过点A作平面ACC1A1的垂线为x轴，以AC，AA1所在直线分别为y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则平面ACC1A1的一个法向量为n＝(1，0，0)，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AB＝AA1＝2，则B(3，1，0)，P32所以BP＝设直线BP与平面ACC1A1所成的角为θ．则sinθ＝|cos〈n，BP〉|＝n·所以直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值为1510故选A．]3．(2026·合肥模拟)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种名为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分)．现有一个如图所示的曲池，它的高为2，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为()A．45 B．C．34 D．A[设上底面圆心为O1，下底面圆心为O，连接OO1，OC，OB，O1C1，O1B1，以O为坐标原点，分别以OC，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则C(1，0，0)，A(0，2，0)，B1(0，1，2)，D1(2，0，2)，则CD1＝(1，0，2)，AB1＝(0，－1cos〈CD1，A又异面直线所成角的范围为0，故异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为45故选A．]4．(人教A版选择性必修第一册P41练习T3改编)在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2AD＝1，则SC与平面ABCD所成角的余弦值为()A．63 B．C．33 D．A[因为SA⊥平面ABCD，AD，AB⊂平面ABCD，所以SA⊥AD，SA⊥AB，又底面ABCD是直角梯形，且BC＝2AD＝1，∠ABC＝90°，所以∠BAD＝90°，即AD⊥AB．如图，以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由SA＝AB＝BC＝2AD＝1，可得A(0，0，0)，S(0，0，1)，C(1，1，0)，所以SC＝(1，1，－1)，因为SA⊥平面ABCD，所以AS＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，设SC与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AS，SC〉|＝即直线SC与平面ABCD所成角的正弦值为33，则SC与平面ABCD所成角的余弦值为1-13＝6二、多项选择题5．(2025·长沙月考)在三棱锥P-ABC中，P(2，2，0)，A(4，0，6)，B(0，4，2)，C(0，0，4)，则()A．|PB|＝23B．直线CA与直线CB所成角的余弦值为－1C．向量n＝(－1，1，2)是平面ABC的一个法向量D．PB与平面ABC所成角的正弦值为2ACD[∵P(2，2，0)，B(0，4，2)，∴|PB|＝(2-0)2+(2-4)2+(0-2∵A(4，0，6)，B(0，4，2)，C(0，0，4)，∴CA＝(4，0，2)，CB＝(0，4，－2)，∴cos〈CA，CB〉＝CA·∵两直线所成角的取值范围为0，∴直线CA与直线CB夹角的余弦值为15，故B∵n＝(－1，1，2)，且CA·n＝4×(－1)＋0×1＋2×2＝0，CB·n＝0×(－1)＋4×1＋(－2)×2＝0，∴n是平面ABC的一个法向量，故C正确；∵P(2，2，0)，B(0，4，2)，∴PB＝(－2，2，2)，∴PB与平面ABC所成角的正弦值为|cos〈PB，n〉|＝PB·n|PB故选ACD．]6．(人教A版必修第二册P152例4改编)如图，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱CD上的两点，且AB＝2，EF＝1，则下列说法中不正确的有()A．异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45°B．异面直线B1D1与EF所成的角的大小为30°C．直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为45°D．直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为60°BCD[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，B1(2，2，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，易知D1B1＝(2，2，0)，EF＝(0，1，0)，所以cos〈D1B1，EF〉＝D1B1·EF|D1B1||EF|＝222×1＝22，所以异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45°，故A正确，B错误．连接A1D，B1C，由题意可知平面B1EF即为平面A1B1CD，设平面A1B1CD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B1＝n·DA1＝0．又A1B1＝(0，2，0)，DA1＝(2，0，2)，所以2y＝0，2x+2z＝0，令x＝1，得n＝(1，0，－1]三、填空题7．(2025·牡丹江月考)若直线l的方向向量为a＝(2，－3，3)，向量n＝(1，0，0)是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的大小为______________．

π6[设直线l与平面α所成的角为θ因为直线l的方向向量为a＝(2，－3，3)，向量n＝(1，0，0)是平面α的一个法向量，所以sinθ＝|cos〈a，n〉|＝|a·因为θ∈0，所以θ＝π6．8．(人教B版选择性必修第一册P48练习BT3改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线AD1与平面BDE所成角的正弦值为______________．

36[由题意，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为xy轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，E(0，2，1)，D1(0，0，2)，所以DB＝(2，2，0)，DE＝(0，2，1)，AD1＝(－2，0，2设平面BDE的法向量为m＝(x，y，z)，则m即2x+2y＝0，2y+z＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝2，则m设直线AD1与平面BDE所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AD1，m〉|＝|四、解答题9．(2025·商洛期末)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形AA1B1B是菱形，点P在线段B1C1上，AB⊥AD，平面AA1B1B⊥平面ABCD．(1)证明：A1B⊥B1D；(2)已知∠ABB1＝π3，AB＝AD＝2，B1P＝3，求直线A1B与平面ABP所成角的正弦值[解](1)证明：设AB1∩A1B＝O，因为平面AA1B1B⊥平面ABCD，且平