人教版高中数学必修二851 直线与直线平行（解析版） 导学案

8.5.1直线与直线平行

导学案

编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波

【学习目标】

1.能用基本事实4解决一些数学问题

2.理解等角定理，能用等角定理解决一些数学问题

【自主学习】

知识点1基本事实4

(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

a//b]

⑵符号表不：...\=>ci//c.

b//c}

知识点2等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应生红，则这两个角相等或互补.

【合作探究】

探究一基本事实4的应用

【例1】如图，氏分别是长方体〃的棱/M、GC的中点，求证：四边形笈

是平行四边形.

［分析］平行四边形是口面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个

四边形就是平行四边形.

［证明］取。4的中点点Q,连接EQ、QC\.

YE是A4的中点，•••E。舔Ai。、

又在矩形AiBiCiDi中AiDi.W51G.

••・£Q〃5G（基本事实4）,

・•・四边形EQGS为平行四边形，

:・B\EHC\Q,

又TQ、尸是矩形。0GC的两边中点，

:.QDHC\F,

・•・四边形OQG”为平行四边形，

：，C\QHDF.

文•：B\EHC1Q,:・&E"DF,

・二四边形为平行四边形.

归纳总结：基本事实4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也

给出空间两直线平行的一种证明方法

【练习1】如图，已知正方体A8CD-Ag(7。中，M、N分别为C。、AO的中点，求证：四

边形MMVC是梯形.

证明：连接AC.

:M、N为CD、A。的中点,

：.MN=^AC.

由正方体性质可知AC//AC.

:.MN〃=14c.

/.四边形MN4C是梯形.

探究二等角定理的应用

【例2】如右图，在正方体45。64从©。|中，E,F,G分别是AB,BBt,8C的中点.求

证：△£FGsZ\GDAi.

I■■■■

1—1

［证明］连接9C.因为G,"分别为SC,BBl的中点,所以GF〃=/c

火ABCD-AiBCDi为正方体，

所以CD〃AB,AM/AB,由基本事实4知CD//4囱，所以四边形ABC。为平行四边形，所

以AiDUBiC.

又8C〃/G,由基本事实4知A】O〃"G.

同理可证：A\C\〃EG,DC\//EF.

又NOACi与NEG",/AiDCi与NEFG,NDGA与NG£“的两边分别对应平行且均为锐

角，所以ND4G=NEG”，ZAiDCi=ZEFG,ZDCiAi=ZGEF.

所以△EFGs4C\DA\.

归纳总结：等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用，

并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补

【练习2］如图，已知线段AA、B&、CCi交于。点，且胃=潦=洗，求证:

△A8CsZ\48iC.

证明：与8Bi交于点O.

且深=器,，AB〃AB.

同理AiG〃AC,B\C\//BC.

义囱和A8,AG和AC方向相反,

.,.ZBAC=Z^AiCi,同理NAZ?C=/4aG.

，AABC^AAIBICI.

课后作业

A组基础题

一、选择题

I.两等角的一组对应边平行，则（）

A.另一组对应边平行

B.另一组对应边不平行

C.另一组对应边不可能垂直

D.以上都不对

【答案】D

解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和等角定理（若两个角的

对应边平行，则这两个角相等或互补）的区别.

2.如图，在三棱柱ABC-AIBCI中,E,F,G分别为棱4G，BQ,3出的中点，则NEFG

与)

A.相等B.互补

C.相等或互补D.不确定

【答案】B

解析：由于£,F,G分别为4G,BiG,88的中点，所以EF〃A|Bi〃48,FG〃8G,所

以NEFG与N48C的两组对边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，故

NEFG与NA8G互补.

3.已知A8〃PQ,BC//QR,/A3C=30。，则NPQR等于（）

A.30°B.30°或150°

C.150°D.大小无法确定

【答案】B

解析：/A8c的两边与NP。/?的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，・•・/PQR=30。

或150°.

4.（多选）下列命题中，正确的结论有（）

A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相

等

U加果一个角的两边和另一个角的两边分别平行.那么这两个角相等或.互补

D.如果两条直线同时平行于第三条宜线，那么这两条直线互相平行

【答案】BCD

解析：由等角定理得B、C正确，A错误，由基本事实4得D正确.

5.如图所示，在长方体木块AG中，E,尸分别是用。和GO的中点，则长方体的各校中

与E尸平行的有（）

A.3条B.4条

C.5条D.6条

【答案】B

解析：由于£、尸分别是8。、GO的中点，故EF〃BC,因为和棱SG平行的棱还有3

条：A。、BC、4小，所以共有4条.

6.如图，在三棱锥P-A8C中，E,F,G,H,1,J分别为线段月I,PB,PC,AB,BC,CA

的中点，则卜列说法止确的是（）

A.PH//BG

B.IE//CP

C.FH//GJ

D.GI//JH

【答案】C

解析：由题意结合三角形中位爱的性质，可得FH//PA,GJ//PA.由基本事实4可得FH//GJ.

二、填空题

7.已知空间两个角a,仇且a与尸的两边对应平行，«=60°,则/?为.

【答案】60。或120°

解析：根据“等角定理”可知,a与夕相等或互补，故6为60。或120。.

8.若八'B',AC//AfC',则下列结论：

®ZBAC=ZB'A'C：

②4BC+NA'B'C=180°：

③N4c8=NA'C'B'或N4CB+NA'C'B'=180°.

一定成立的是.

【答案】③

解析：'：AB//A'B',AC//A'C,

：./ACB=N4C8'或NAC8+NAC'8'=180。.

9.已知棱长为。的正方体AACO-A'B'CD'中，M,N分别为CD,的中点，贝ijMN

与A'C'的位置关系是.

【答案】平行

解析：因为AN=ON,DM=MCt

所以MN〃AC,因为AC〃4C,

所以MN/ZA'C.

三、解答题

10.如图，在止方体A3C£)-AB1GO|中，E,F,G分别是棱CG，BBi，。。的中点.

求证：(1)GB〃O|B

Q)/BGC=NFDE

证明：(1)因为&F,G分别是正方体的棱CG,B&,。5的中点，所以GO,BF

舔GQ,所以四边形CEOG与四边形BFQG均为平行四边形，所以GC〃0E,GB〃D\F.

(2)因为N8GC与NH)i£两边的方向都相同，所以N8GC=NFOiE

II.如图，梯形A4CZ)中，A3//CD,E、尸分别为3c和A。的中点，将平面0cM沿Er

翻折起来，使C。到C'。'的位置，G、〃分别为4。'和BC'的中点，求证：四边形E/PH

为平行四边形.

证明：•・•梯形八8c。中，AB//CD,E、尸分别为8C、4D的中点,

：.EF//AB且EF=^(AB+CD).

又C'D'〃EF,EF//AB,：,CD'//AB.

VGs〃分别为A。'、8C的中点,

C.GH//AB且G”=g(AB+C7y)=](A8+C£>),

:.GH扬EF,・•・四边形EFGH为平行四边形.

B组能力提升

一、选择题

1.下列结论中正确的是（）

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；

②平行于同一条直线的两条直线平行：

③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；

④空间四条直线a，b,c,d,如果a〃A,c〃乩且a〃d,那么8〃c.

A.①②@B.②④

C.③④D.@@

【答案】B

解析：①错，可以异面；②正确，基本事实4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平

行直线的传递性可知.

二、填空题

2.在空间四边形A8C。中，如图所示，然=黑，音=母条则EH与尸G的位置关系是_______.

AnAUCnC/J-----------

A

题图

【答案】平行

解析：如图，连接B。，在△A3。中，酢=而，则

答图

EH//BD,同理可得/G〃8。，C.EH//FG.

3.己知点£E1分别是正方体/IBCQ-A'B'C。’的棱A。，A'D'的中点，则四边形

BB'EfE的形状为,/BEC与NB'E'C的大小.（填相等或互补）

【答案】平行四边形相等

解析：如图所示，因为总E,£分别是A。，4〃的中点，所以A£〃4E,且AE=AE.

所以