七年级数学下册期末几何压轴题试题(带答案)

一、解答题

1.如图，A点的坐标为（0.3）,B点的坐标为（-3,0）,D为x轴上的一个动点且不

与B,0重合，将线段AD绕点A逆时针旋转90。得线段AE,使得AE_LAD,且AE=AD,连

接BE交y轴于点M.

（1）如图，当点D在线段OB的延长线上时，

①若D点的坐标为（-5,0）,求点E的坐标.

②求证:M为BE的中点.

③探究：若在点D运动的过程中，黑■的值是否是定值？如果是，请求出这个定值：如

果不是，请说明理由.

2.如图，直线PQ”MN,一副直角三角板AA8cAz儿/中，

ZACB=Z.EDF=90\ZARC=NBAC=45°,NDFE=30°,ZD7?F=60.

（1）若ADE/如图1摆放，当E。平分NP痔时，证明：FD平分/EFM.

（2）若MBC,ADEF如图2摆放时，则/丹把=

图2

（3）若图2中AA8C固定，将ADE/沿着AC方向平移，边OF与直线产。相交于点G,

作NFGQ和NGQ4的角平分线G"、77/相交于点”（如图3），求的度数.

图3

（4）若图2中ADE/的周长35"〃,AF=5C7〃，现将A48c固定，将AD所沿着C4方向平

移至点尸与A重合，平移后的得到拉/七力，点。、E的对应点分别是。'、£,请直接写

出四边形OE4Q'的周长.

（5）若图2中ADM固定，（如图4）将AA3c绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转

至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段8c与ADEF的一条边平行时，请直接写出旋

3.已知：ABWCD,截线MN分别交AB、CD于点M、N.

（1）如图①，点8在线段MN上，设N£BM=a。，ZDNM=^°,且满足&-30+（。-

60）2=0,求NBEM的度数；

（2）如图②，在（1）的条件下，射线。F平分NCDE,且交线段8E的延长线于点F：请

写出N与NCOF之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点P在射线N7■上运动时，/。。「与/8”7的平分线交于点必则/。与

NCPM的比值为:直接写出答案）.

（1）如图1,若8M、0M分别是NA8F和NCOF的角平分线，且N8£。=100。，求NM的

度数：

（2）如图2,若NA8M=：N48F,ZCDM=|ZCDF,ZBED=a\求NM的度数；

（3）若NABM=，NA8F,ZCDM=-ZCDF,请宜接写出NM与N8红＞之间的数量关系

nn

5.己知：如图，直线48〃C。，直线“交48,CD于P,Q两点，点M,点N分别是直线

CD,EF上一点（不与P,Q重合），连接PM,MN.

（1）点M,N分别在射线QC,QF上（不与点Q重合），当NAPM+NQMN=90。时，

①试判断与MA/的位置关系，并说明理由；

②若以平分NEPM,ZMNQ=20°,求NEP8的度数.（提示：过N点作AB的平行线）

（2）点M,N分别在直线CD,EF上时，请你在备用图中画出满足PM_LMN条件的图形，

并直接写出此时N4PM与NQMN的关系.（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）

6.问题情境：

如图1,48IICD,ZPAB=13Q°,ZPCD=120°.求N4PC的度数.小明的思路是：过P作

PEWAB,通过平行线性质，可得N4PC=N4PE+N。£=50。+60。=110。.

问题解决：

（1）如图2,ABWCD,直线；分别与48、CD交于点M、M点P在直线/上运动，当点P

在线段M/V上运动时（不与点M、N重合），ZPAB=a,ZPCD=p,判断N4PC、a、B之

间的数量关系并说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在线段MN或NM的延长线上运动时.请直接写出

NAPC、a、8之间的数量关系；

（3）如图3,4811CD,点、P是AB、CD之间的一点（点P在点4C右侧），连接力、

PC,N8AP和NOCP的平分线交J•点Q.若N4PC=116。，请结合(2)中的规律，求NAQC

的度数.

7.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：文=〃*〃(/”，〃是正整数，且

，』)，在上的所有这种分解中，如果切，〃两因数之差的绝对值最小，我们就称mx〃

是x的最佳分解，并规定：/⑴=3■.例如：18可分解成1x18,2x9或3x6,因为

m

18-1>9-2>6-3,所以3x6是18的最佳分解，所以/(18)===:

(1)填空：/(6)=：/(16)=：

(2)一个两位正整数，(z=10a+〃，〃，人为正整数)，交换其个位上的数

字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54,求出所有的两位正整数：并求/(/)

的最大值；

(3)填空：

①622x3x5x7)=；@/(24X3X5X7)=；

8.请观察下列等式，找出规律并叵I答以下问题.

1,1111111111

1x22’2x323’3^4"3-4'4^5-4-5*……

(1)按照这个规律写下去,第5个等式是：:第n个等式是：.

(2一)⑴〜计一舁：——I+I+—!—+•••+—■—.

1x22x33x449x50

②若。为最小的正整数，g=0,求：

1।1।1।1IL।1

~ab+(a+l)(〃+l)+(。+2)(〃+2)+(a+3)(%+3)++(〃+97)(>+97)'

9.阅读理解：

计算("；+泊卜(L++(i+汨+；+纲沼+5时,若把

与分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简

1、，乙。*/

化难度.过程如下；

解:设切+3为A，(短+抬)为B,

则原式=B(1+A)-A(1+B)=B+AB-A-AB=B-A=1.请用上面方法计算：

GL111I1)fl111111

F23456八234567)

f,I11111W11110

I234567)(23456)

②h+U心…」4fi+LL…

23〃八23H+1JI23n+\)[23n)

10.(阅读材料)

数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：

求59319的立方根.华罗庚脱口而出：“39”.邻座的乘客十分惊奇，忙问其中计算的奥

妙.

你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：

第一步：V1000=10,^/1000000=100.1000<59319<1000j(X),

「•10<V59319<100.

二.能确定59319的立方根是个两位数.

第二步：59319的个位数是993=729

能确定59319的立方根的个位数是9.

第三步：如果划去59319后曲的三位319得到数59,

而历<啊<痫，则3<病<4,可得30<V59319V4(),

由此能确定59319的立方根的十位数是3,因此59319的立方根是39.

(解答问题)

根据上面材料，解答下面的问题

(1)求110592的立方根,写出步骤.

(2)填空：冷1952=.

11.阅读下列解题过程：

为了求1+2+2?+23+...+25°的值，«T^S=1+2+22+23+...+2SO,则

25=2+22+23+2"+...+2s,»所以得2S-S=2靠一1,所以

S=251-l,即：1+2+22+23+...+250=2'|-1：

仿照以上方法计算:：

(1)1+2+2?+2、…+2刈。=.

(2)计算：1+3+324-33+...+32019

(3)计算：5—.+5200

12.在已有运算的基础上定义•种新运算⑭：A-0y=|x-y|+y,⑭的运算级别高于加减乘

除运算，即®的运算顺序要优先于+、-6、+运算，试根据条件回答卜.列问题.

(1)“算：50(-3)-；

(2)若x03=5,则"：

(3)在数轴上，数X、「的位置如下图所示，试化简：1③x-y®x：

yox1

(4)如图所示，在数轴上，点A、8分别以1个单位每秒的速度从表示数-1和3的点开始运

动，点4向正方向运动，点4向负方向运动，，秒后点48分另!运动到表示数"和人的点所

在的位置，当a③力=2时，求/的值.

AB

，iiii十

-10123

13.如图所示，A(1,0),点8在y轴上，将三角形。48沿K轴负方向平移，平移后的

图形为三角形。“，点C的坐标为(-3,2).

(1)直接写出点£的坐标;

(2)在四边形A8CD中，点P从点O出发，沿OB玲8C1CD移动，若点P的速度为每杪1

个单位长度，运动时间为t秒，请解决以下问题；

①当［为多少秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数：

②当t为多少秒时，三角形PE4的面积为2,求此时P的坐标

14.如图1,点E在直线八8、DC之间，且NDEB+ZABE-/CDE=18/.

(1)求证：AB//DC；

(2)若点F是直线班上的一点，且ZBEF=/BFE,EG平分NQEB交直线A8于点G,

若/。=20°,求NFEG的度数：

(3)如图3,点N是直线AB、OC外一点，且满足NCDM=!NCD£,

4

/ABN=：/ABE,ND与BE交手煎M.已知NCZW=a(O0<a<12。)，旦DNHDE,则

15.如图1,在平面直角坐标系中,A(a,0),C(〃,2),且满足(a+2y+平-2|=0,过C作

C7?_Lx釉「8.

(1)求AABC的面积.

(2)若过7?作8O//AC交N轴于。，且AE,Z)E分别平分NCA8,NODB,如图2,求

NAEO的度数.

(3)在)，轴上存在点P使得AABC和AACP的而积相等，请直接写出P点坐标.

图1图2备用图

16.请阅读求绝对值不等式卜<3和凶>3的解的过程.

对于绝对值不等式凶<3,从图1的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值小于3,所以

国<3的解为-3vx<3；

对于绝对值不等式W>3,从图2的数轴上看：小于-3或大于3的数的绝对值大于3,所以

N>3的解为X<-3或x>3.

-3<x<3

-5-4-3-2-101

图1图2

（1）求绝对值不等式卜-3|>2的解

（2）已知绝对值不等式|2x-l|<a的解为力<%<3,求a-加的值

2x-y=-4..

（3）己知关于X,¥的二元一次方程组//।的解满足x+）K2,其中，〃是负

x+4y=-6/〃+l1

整数，求小的值.

17.（了解概念）

在平面直角坐标系xO¥中，若P（a,b）,Q（c,d）,式子|a-c|+M-d|的值就叫做线段PQ的“勾

股距”，记作〃世=卜-。|+忸一闻.同时，我们把两边的"勾股距"之和等于第三边的"勾股距”

的三角形叫做“等距三角形

（理解运用）

在平面直角坐标系xQy中,A（2,3）,5（4,2）,C（〃?,〃）.

（1）线段3的“勾股距"%八=；

（2）若点C在第三象限，且"火.=24"，求"AC并判断AA4C是否为"等距三角形”；

（拓展提升）

（3）若点C在x轴上，AOHC是“等距三角形”，请直接写出川的取值范围.

18.在平面直角坐标系中，431）,8s,3）满足（〃+1>+扬=1=0.

（1）直接写出。、〃的值：。=—;b=一；

（2）如图1,若点尸（3,〃）满足尸的面积等于6,求〃的值；

（3）设线段AB交y轴于C,动点E从点C出发，在）'轴上以每秒1个单位长度的速度向

卜.运动，动点F从点（-8。出发，在X轴上以每秒2个单位长度的速度向右运动，若它们同

图1备用图

19.数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在敝数学问题探究.

（1）小新经过测量和计和得到长方形纸片的长宽之比为3：2,面积为30,请求出该长方

形纸片的长和宽：

（2）小葵在长方形内画出边长为a,b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条

边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50,阴影部分两个

长方形的周长之和为30,由此她判断大正方形的面积为100,何小葵的判断正确吗？请说

明理由.

2Na+〃=230°

20.如图，/a和〃的度数满足方程组3/a=2。。'且8〃M，AJAE.

（1）用解方程的方法求和/夕的度数;

（2）求/C的度数.

21.为了加强公民的节水意识，合理利用水发源，某城市规定用水收费标准如下：每户每

月用水量不超过6米3时，水费按a元/米3收费：每户每月用水量超过6米3时，不超过

的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分按c元/米3收费，该市某用户今年3、4月份

的用水量和水费如下表所示：

月份用水量（rrP）收费（元）

357.5

4927

⑴求a、c的值，并写出每月用水量不超过6米3和超过6米3时，水费与用水量之间的关

系式；

（2）已知某户5月份的用水量为8米3,求该用户5月份的水费.

22.如图，平面直角坐标系中，已知点八（a,0）,B（0,b）,其中a,b满足

J—十|2-9|=O.将点8向右平移24个单位长度得到点C.点。，E分别为线

段8C,。八上一动点，点。从点C以2个单位长度/秒的速度向点8运动，同时点£从点。

以3个单位长度/秒的速度向点A运动，在D,E运动的过程中，DE交四边形B04C的对角

线0c于点F.设运动的时间为t秒（0<t<10）,四边形80£。的面积记为S四边盘BOED（以

下面积的表示方式相同）.

（1）求点4和点C的坐标；

3

（2）若S四边彩8。£应—S四边形ACDff求t的取值范围;

（3）求证：在D,E运动的过程中，SAOEF>5A阳总成立.

B_______g

orEA\

23.对a,b定义一种新运算r,规定：T（a,b'）=（a+2b）（ax+by）（其中x,y均为

非零实数）.例如:T（1,1）=3x+3y.

（1）已知丁（1,-1）=0,T（0,2）=8,求x,y的值：

（2）已知关于X,y的方程组向0,2）；84，若a"2,求wy的取值范围；

（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x,y）落在坐标轴上，将线段。4

沿X轴向右平移2个单位，得线段。4,坐标轴上有一点8满足三角形80A的而枳为9,

请直接写出点8的坐标.

24.如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个

动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿运动，最终到达点D,若点

Q运动时间为x秒.

（1）当％=1时，SMQ£=_平方匣米：当x=|时，S.QE=_平方厘米：

（2）在点Q的运动路线匕当点Q与点E相距的路程不超过，厘米时，求x的取值范

围；

（3）若AAQE的面积为:平方厘米，直接写出“值.

D

B

25.某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更

多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种"购买个人年票”（个人年

票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法.年票分A、B两类：A类年票每张120

元，抄票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；8类年票每张6。元，持票者进入中心

时，需再购买门票，每次2元.

（1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择-•种购买门票的方

式，她怎样购票比较合算？

（2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？

（3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不

低于多少次？

26.材料1：我们把形如蛇+刀=。（〃、b、c为常数）的方程叫二元一次方程.若。、

h、c为整数,则称一元一次方程如+加=。为整系数方程.若卜|是何.网的最大公约数的

整倍数，则方程有整数解.例如方程3x+4），=2,7x-3y=5,4x-2y=6都有整数解：反过来

也成立.方程6x+3），=10和叔-2），=1都没有整数解，因为6,3的最大公约数是3,而10

不是3的整倍数；4,2的最大公约数是2,而1不是2的整倍数.

材料2：求方程5x+6y=l（X）的正整数解.

100-6y100-5v-y“y公

解：由已知得：A-=———-2-^.=20-y-1….①

设]=4（&为整数），则y=5Z……（2）

把②代人①得：x=20-6k.

x=20-6k

所以方程组的解为u,

y=5k

[20-6JI>0

根据题意得：八.

5">0

解不等式组得OVAV号.所以攵的整数解是1,2,3.

x=14fx=8fx=2

所以方程5x+6y=100的正整数解是：{

>'=5[>,=10[y=15

根据以上材料回答下列问题：

（1）下列方程中：①3x+9y=U,②15x-5y=70,③6x+3），=lll,（4）

27x-9y=99,⑤9次-26=169,®22.v+121y=324.没有整数解的方程是（填方

程前面的编号）；

（2）仿照上面的方法，求方程3x+4y=38的正整数解;

(3)若要把一根长30m的钢丝截成2m长和3m长两种规格的钠丝(两种规格都要有)，

间怎样截才不浪费材料？你有几种不同的截法？(直接写出截法，不要求解题过程)

27.阅读理解：

例1.解方程冈=2,因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2,所以方程|x|=2

的解为x=±2.

例2.解不等式|x-l|>2,在数轴上找出|x-l|=2的解(如图)，因为在数轴上到1对

应的点的距离等于2的点对应的数为-1或3,所以方程|x-1|=2的解为x=-1或*=

3,因此不等式|x-l|>2的解集为xV-1或x>3.

^十2

-2-1~0~1~2

参考阅读材料，解答下列问题：

(1)方程|x-21=3的解为：

(2)解不等式：|x-2|<l.

(3)解不等式：|x-4|+|x+2|>8.

(4)对于任意数x,若不等式|x+2|+|x-4|>a恒成立，求。的取值范围.

28.若关于x的方程ax+b=0("0〉的解与关于y的方程cy+d=0(c*0)的解满足-：!☆

-y<l,则称方程ax+b=0(a#0)与方程cy+d=0(CHO)是“友好方程”.例如:方程2x-1

=0的解是x=0.5,方程y-1=0的解是y=l,因为-1次-"1,方程2x-l=0与方程y

-1=0是“友好方程

(1)请通过计凫判断方程2入-9=5*-2与方程5(丫-：1)-2(1-y)=-34-2y是不是

“友好方程”.

3y+A

(2)若关于x的方程3x-3+4(x-1)=0与关于y的方程+y=2k+l是“友好方

2

程”,请你求出k的最大值和最小值.

29.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A的坐标是(4,0),点B的坐标是(2,3),

点C在x轴的负半轴上，且AC=6.

⑴直接写出点C的坐标.

2

⑵在丫轴上是否存在点P，使得SAPOB=JSAABC若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明

理由.

⑶把点C往上平移3个单位得到点H,作射线CH,连接BH,点M在射线CH上运动(不与点

NMAC之间的数量关系，并证明你的结论.

30.阅读以卜内容:

3，"+2〃=7k—4

已知有理数m,n涉足m+n=3,且，2,〃+3-2求卜的值.

三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：

甲同学：先解关于m,n的方程组'，再求k的值；

乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；

丙同学：先解方程组',.，再求k的值.

2〃?+3〃=-2

（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题：

（2）在解关于x,y的方程组他+2]，,=[②时，可以用①x7-②x3消去未知数x,

也可以用①x2+②x5消去未知数y.求a和b的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、解答题

1.（1）（DE（3,-2）②见解析；③空•=4，理由见解析；（2）OD+OA=2AM或OA

BD2

-OD=2AM

【分析】

（1）①过点E作EH_Ly轴于H.证明△DO2△AHE（AAS）可得结论.

②证明△BOM空△EHM（AAS）可得结论.

③是定值.证明^BOM拶△EHM可得结论.

（2）根据点D在点B左侧和右侧分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判

定及性质即可分别求出结论.

【详解】

解：（1）①过点E作EH_Ly轴干H.

,/A(0,3),B(-3,0),D(-5,0),

0A=0B=3,0D=5,

'.­ZAOD=ZAHE=ZDAE=90%

ZDAO+ZEAH=90°,ZEAF+ZAEH=90°,

ZDAO=ZAEH,

△DO的△AHE(AAS),

/.AH=OD=5,EH=OA=3,

OH=AH-OA=2,

/.E(3,-2).

②EH_Ly轴，

ZEHO=ZBOH=90°,

,/ZBMO=ZEMH,OB=EH=3,

△BOM^△EHM(AAS),

/.BM=EM.

③结论:

理由：:△DOA^△AHE,

OD=AH,

,/OA—OB,

BD=OH,

,/△BOM合△EHM,

OM=MH,

OM=!OH=4BD.

22

(2)结论：OA+OD=2AM或OA-OD=2AM.

理由：当点D在点B左侧时，

,/△BOMm△EHM,△DOA^△AHE

OM=MH,OD=AH

OH=2OM,OD-OB=AH-OA

BD=OH

/.BD=2OM,

OD-OA=2(AM-AO),

OD+OA=2AM.

当点D在点B右侧时，过点E作EHJ_y轴于点H

,/ZAOD=ZAHE=ZDAE=90°,

ZDAO+ZEAH=90°,ZEAF+ZAEH=90°,

ZDAO=ZAEH,

*/AD=AE

△DOA^AAHE(AAS),

/.EH=AO=3=OB,OD=AH

ZEHO=ZBOH=90°,

/ZBMO=ZEMH,OB=EH=3,

△BOM兰△EHM(AAS),

/.OM=MH

OA+OD=OA+AH=OH=OM+MH=2MH=2(AM+AH)=2(AM+OD)

整理可得OA-OD=2AM.

综上：OA+OD=2AMfigOA-OD=2AM.

【点睛】

此题考查的是全等三角形的判定及性质、旋转的性质和平面直角坐标系，掌握全等三角形

的判定及性质、旋转的性质和点的坐标与线段长度的关系是解决此题的关键.

2.(1)见详解；(2)15°；(3)67.5°；(4)45cm；(5)10s或30s或40s

【分析】

(1)运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论：

(2)如图2,过点£作EKIIMN,利用平行线性质即可求得答案；

(3)如图3,分别过点F、”作FLIIA4N,HR11PQ,运用平行线性质和角平分线定义即可

得出答案；

(4)根据平移性质可得。2=DF,DD,=EE/=AF=5cm,再结合DE+EF+DF=35cm,可得

出答案；

(5)设旋转时间为t秒，由题怠旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。，分三种情况：

①当8CIIDE时，②当8CIIEF时，③当8CIIDF时,分别求出旋转角度后,列方程求解

即可.

【详解】

(1)如图1,在ADEF中，NEDF=90°,ZDFE=30°,NDEF=60°,

E

图1

•••ED平分NPEF,

ZPEF=2APED=2ZDEF=2x60°=120°,

•••PQIIMN,

ZMFE=180°-ZPEF=180°-120°=60°,

/.ZMFD=4MFE-Z.DFE=60>-30°=30°,

/.ZMFD=ADFE,

：.FD平分NEFM：

(2)如图2,过点£作£KIIMN,

图2

,/ZBAC=45°,

NKE4-84c=45。，

PQIIMN,EKWMN,

/.PQIIEK,

：.ZPDE=ZDEK=£DEFYKEA,

又「ZDEF=60°.

ZPO£=60°-45°=15°,

故答案为:15。；

(3)如图3,分别过点F、H作FillMN,HRIIPQ,

图3

Zt£4=ZBAC=45°,NRHG=NQGH,

,/FLWMN,HRIIPQ,PQWMN,

：.FLIIPQIIHR,

...ZQGF+NGFL=180°,ZRHF=/HFL=Z.HFA-Z.LFA,

1•,ZFGQ和NGFA的角平分线GH、FH相交于点H,

二/QGH=；2FGQ,ZHE4=yZGFA,

,/ZDFE=3Q0,

ZGE4=180°-ZDFE=150°,

ZHFA=NGFA=75°,

ZRHF=ZHFL=ZHFA-ZLFA=75°-45°=30°,

ZGFL=ZGFA-Z.LFA=150°-45°=1059,

；./RHG=NQGH=；NFGQ=；(180°-105°)=37.5°,

ZGHF=ARHG+N砂=37.5。+30。=67.5。：

(4)如图4,••・将△OEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△OE4

O£+£F+DF=35cm,

O£+EF+O3+4F+OD，=35+10=45(cm),

即四边形DEAD'的周长为45cm；

(5)设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3。,

分三种情况：

BCIIDE时，如图5,此时4711DF,

..31=30,

解得：t=10;

BCWEF时，如图6,

图6

,/BCWEF,

/.ZBAE=48=45°,

/.ZBAM=ZME+NEAM=450+45°=90°,

/.3t=90,

解得：t=30；

图7

,/ZDRM=Z.EAM+Z.OF£=45°+30°=75°,

Z8KA=NDKM=75”，

,/ZACK=1800-NACB=90\

：.ZCAK=900-N8/64=15°,

/.ZCAE=130°-Z.EAM-4CAK=180°-45°-15°=120°,

3t=120,

解得：t=40,

综上所述,△ABC绕点4顺时针旋转的时间为10s或30s或40$时，线段8c与△OEF的一

条边平行.

【点睛】

本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平

行线性质是解题关键.

3.(1)30°；(2)/OEF+22CDF=150°,理由见解析：(3)y

【分析】

(1)山#负性可求a,B的值，山平行线的性质和外角性质可求解：

(2)过点E作直线EHWAB,由角平分线的性质和平行线的性质可求NDEF=180°-300-

2x°=150°-2x°,由角的数量可求解；

(3)由平行线的性质和外角性质可求NPM8=2/Q+/PCD,/CPM=2NQ,即可求解.

【详解】

解：(1),/Ja-3()+(P-60)2=0,

a=30,P=60.

,/ABWCD,

：.ZAMN=Z.MND=60°,

,/ZAMN=48+NBEM=60°,

：.ZBEM=60°-30°=30°；

(2)ZOEF+2NCDF=150°.

理由如下：过点£作直线EHIIAB,

逐2

,/DF平分/CDE,

二设NCDF=ZEDF=x°x

,/EHWAB,

/.ZDEH=ZEDC=2x°,

/.ZDEF=180°-30°-2x°=15O°-2x°：

ZDEF=150°-2ZCDF,

即NDEF+2NCDF=150°:

(3)如图3,设MQ与CD交于点£,

MB

,/MQ平分NBMT,QC平分/DCP,

：.ZBMT=2ZPMQ,ZDCP=2Z.DCQ,

--->4811CD,

Z8ME=ZMEC,Z8Mp=NPND,

ZMEC=NQ+ZDCQ,

：.2ZMEC=2AQ+2ZDCQ,

ZPMB=2AQ+ZPCD,

,/ZPND=NPCD+Z.CPM=/PMB,

ZCPM=2Z.Q,

二./Q与NCPM的比值为

故答案为；*.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键.

36()0_40

4.(1)65°：(2)-------:(3)2nZM+ZBED=360°

6

【分析】

(1)首先作EGIIA8,FHWAB,连结MF,利用平行线的性质可得NA8E+NCDE=260。，再

利用角平分线的定义得到N48F+NCDF=130%从而得到NBFD的度数，再根据角平分线的

定义和三角形外角的性质可求NM的度数：

(2)先由已知得到NA8E=6NA8M,ZCDE=6ZCDM,由(1)得N48E+NCDE=360。-

ZBED,ZM=NABM+ZCDM,等量代换即可求解：

(3)由(2)的方法可得到的NM+N8ED=360".

【详解】

解：(1)如图1,作EG//A8,FHHAB,连结

图1

AB//CD,

:.EG//A13//FH//CD,

：.ZABF=ZBFH,NCDF=4DFH,ZABE+ZBEG=180°,ZG/€D+ZCDE=180°,

...ZA8上+/A上G+NG上。+NC/犯=360°,

ZBED=NBEG+NDEG=l(XF,

/.ZABE+ZCDE=260°,

•.•448E和NCDE的角平分线相交于E，

:.ZABF+ZCDF=\3(r,

ZBFD=NBFH+Z.DFH=130。，

•/BM.DW分别是NA5尸和NCD/7的角平分线，

:"MBF=-ZABF,NMDF=-ZCDF,

22

/.ZMBF+^MDF=65°,

NBMD=130°-65°=65°:

(2)如图1,vZAfiA/=-^ABF,NCDM=、NCDF,

33

:ZABF=3ZABM,，CDF=3KDM,

NAB£与NCDE两个角的角平分线相交于点F，

:.ZABE=6ZABM,NCDE=64CDM,

6ZABM+6/CDM+NBED=360°,

•/NBMD=ZABM+NCDM,

6/BMD+/BED=360°,

w360°-a°

NBMD=------------；

6

(3)由(2)结论可得，2nZABM+2nZCDM+ZE=36()°,NM=NA8W+NCDW,

则2/叱M+/BED=360°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和四边形的内角和，关键在于掌握两直线平行同位角相等，

内错角相等，同旁内角互补的性质.

5.(1)Q)PM-LMN,理由见解析；②NEPS的度数为12S。：(2)ZAPM+ZQMA/=90°

或/APM-ZQMN=90°.

【分析】

(1)①利用平行线的性质得到NAPM=NPMQ再根据已知条件可得到PM_LMN：

②过点N作NHIICD,利用角平分线的定义以及平行线的性质求得NMNH=35。，即可求

解；

(2)分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决.

【详解】

解：(1)①PM_LMN,理由见解析：

,/AB//CD,

/.ZAPM=NPMQ,

,/ZAPM+ZQMN=90°,

：.ZPMQ+ZQMN=90°,

r.PM±MN；

,/AB//CD,

/.AB//NHWCD,

：.ZQM/V=ZMNH,ZEPA=Z.ENH,

,/PA平分NEPM,

：.ZEPA=Z.MPA,

■：ZAPM+AQMN=90°,

ZEPA+ZMNH=90°,即NENH+ZMNH=90°,

：.ZMA/Q+ZMNH+ZMNH=9D°,

,：ZMNQ=20°,

..ZMNH=35°,

ZEPA=ZENHMMNQ+ZMNH=55°,

：.Z£PB=180°-55°=125%

AZEPB的度数为125°；

（2）当点M,N分别在射线QC,QF上时，如图:

,:PM工MN,AB//CD,

r.ZPMQ+ZQMN=90°,ZAPM=NPMQ,

：.ZAPM+ZQM/V=90°：

当点M,N分别在射线QC,线段PQ上时，如图:

E、

N

D

MQ

PM±MN,AB//CD,

：.ZPMN=90°,ZAPM=ZPMQ,

ZPMQ-ZQM/V=90",

ZAPM-ZQM/V=90°：

当点M,N分别在射线Q。，QF上时，如图:

•/PM±MN,AB//CD,

/.ZPMQ+ZQA4/V=90°,ZAPM+NPMQ=180°,

/.ZAPM+900-ZQM/V=180°,

ZAPM-ZQMN=90o：

综上，ZAPM+ZQMN=90°或NAPM-ZQMN=90°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行,

同旁内角互补：两直线平行，同位角相等等知识是解题的关键.

6.（1）N4PC=a+6,理由见解析；（2）NAPC=a-6或N4PC=8-a；（3）58°

【分析】

（1）过点P作PEHA8,根据平行线的判定与性质即可求解；

（2）分点P在线段MN或NA4的延长线上运动两种情况，根据平行线的判定与性质及角

的和差即可求解；

（3）过点P,。分别作PEII/8,QFIIA8,根据平行线的判定与性质及角的和差即可求

解.

【详解】

解：（1）如图2,过点P作PEIM8,

图2

ABWCD,

PEWABWCD,

：.ZAPE=a,ZCPE=6,

ZAPC=NAPE+Z.CPE=a+6.

（2）如图，在（1）的条件下，如果点P在线段M/V的延长线上运动时,

.w

B

:4811CD,ZPAB=a,

Z1=ZPAB=a,

*/Z1=ZAPC+NPCD,ZPCD=6,

a-Z.APC+6,

r.zAPC=a-6；

如图，在（1）的条件下，如果点P在线段的延长线上运动时,

・「4811CD,ZPCD=6,

：.Z2=ZPCD=6,

,：Z2=Z%8+NAPC,ZPAB=ot,

6=a+NAPCf

：.ZAPC=6-a：

<3）如图3,过点P,Q分别作PGIA8,QFIIA8,

图3

•「4811CD,

二.4811QFIIPEIICD,

NBAP=4APE,NPCD=NEPC,

,/ZAPC=116°,

ZB4P+ZPCD=116",

,/AQ平分NBAP,CQ平分NPCD,

Z84Q=g/BAP,ZDCQ=^ZPCD,

ZBAQ+Z.DCQ=-(ZBAP+Z.PCD)=58。，

---ABWQFWCD,

ZBAQ=ZAQF,ZDCQ=ZCQF,

Z4QF+NCQF=ZBAQ+ADCQ=58°,

ZAQC=5S°.

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线将两条平行线相关的角联系到一起是解题的

关键.

7.(1)1；(2)两位正整数为39,28,17,/⑺的最大值为，(3)①当；

②型

^21

【分析】

(1)仿照样例进行计算即可；

(2)由题设可以看出交换前原数的十位上数字为a,个位上数字为b,则原数可以表示为

10〃+6,交换后十位上数字为b,个位上数字为a,则交换后数字可以表示为1仍+a,根据

“交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”确定出a与b的

关系式，进而求出所有的两位数，然后求解确定出了⑴的最大值即可；

(3)根据样例分解计算即可.

【详解】

解：(1)6=Ix6=2x3»

6-1>3—2,

2

••/(6)=p

16=1x16=2x8=4x4

---16-1>8-2>4-4,

A/(16)=1,

2

故答案为：—:1：

(2)由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：

i()/?+«-10a-/?=9(/?-«)=54,

b—a=6,

'：\<a<b<9,

b=9fa=3或〃=8,a=2或。=7,a=\,

二.t为39,28,17：

39=1x39=3x13,

3

••/(39)=-;

28=1x28=2x14=4x7,

/(要)=y；

17=1x17,

川力万；

的最大值

（3）①:22X3X5X7=2OX2I

.・•[22x3x5x7）=条

②24x3x5x7=40x42

/（2"x3x5x7）W=条

故答案为：II5II

【点睛】

本题主要考查了有理数的运克，理解最佳分解的定义，并将其转化为有理数的运兜是解题

的关键.

1114651

8-（1）/三十菽(/i+l)=H-^+T;(2)®50;②

19800

【分析】

（1）根据规律可得第5个算式；根据规律可得第n个算式：

（2）①根据运算规律可得结果.

②利用非负数的性质求出”与力的值，代入原式后拆项变形，抵消即可得到结果.

【详解】

⑴根据规律得：第5个等式是六=H,第〃个等式是

/?x(/j+1)n〃+1:

lIII

@------1--------1>H,

1x22x33x4------49x5()

11111111

=-------1---------1---------HH-----------,

1223344950

=1-1.

50

=49

=50：

②。为最小的正整数，加b=0,

a=I,〃-3,

E-U1111TI

原式=----1--------1--------1--------i-LH-----------,

1x32x43x54x698x100

1,11I11JLIII1,11、

=—x(l——)+—x(------)+—x(-------)