2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学六年级上册（第5-9单元、总复习）每课教学设计P218

2026-2027学年北师大版（新教材）小学数学六年级上册（第5-9单元）每课教学设计目录第五单元比的认识生活中的比（一）生活中的比（二）比的化简比例的认识整理与复习第六单元确定位置象群北迁（一）象群北迁（二）象群北迁（三）数学好玩五子棋第七单元百分数的认识与应用（一）百分数的认识合格率餐桌上的百分数储蓄中的百分数整理与复习第八单元观察物体（二）有趣的投影搭积木第九单元数据的表示和分析（三）建设适老社会（一）建设适老社会（二）身高的情况身高的变化整理与复习综合实践制订营养食谱一日三餐调查营养要求分析一日三餐食谱优化设计新食谱一日食谱交流会总复习数与代数图形与几何统计与概率综合与实践（第5-9单元）每课教学设计第五单元比的认识生活中的比（一）一、学情分析学生在三年级已学习除法和分数的初步认识，之前也积累了用“倍”表示两个量关系的经验，能感知照片“像与不像”、跑步“快与慢”等现象。六年级学生具备一定的观察、比较和抽象概括能力，但“比”这一概念是首次接触，需要借助具体情境理解“两个数相除又叫两个数的比”这一抽象定义，尤其要弄清前项、后项、比值以及比与除法的联系。二、教材分析《生活中的比（一）》是北师大版（2026年秋季新教材）六年级上册第五单元《比的认识》的第一课时。教材以“淘气的照片像不像”这一生活情境引入，引导学生测量照片的长和宽，通过计算长÷宽的商，发现相像照片的商相同，从而自然引出“比”的概念，并认识比的意义、读写方法、各部分名称以及求比值的方法。本课是学生第一次正式学习“比”，是后续学习比的化简、比例的认识以及按比分配的基础，具有重要的起始意义。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，结合本课内容，确定以下核心素养目标：1.结合具体情境理解比的意义，能正确读写比、指出各部分名称，会求比值，发展数感和符号意识，会用数学的语言表达现实世界。2.经历“测量—计算—比较—抽象”的探究过程，体会两个量之间的倍数关系可以用比表示，发展推理意识和模型意识，会用数学的思维思考现实世界。3.在解决实际问题的过程中，感受比在生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系，发展应用意识，会用数学的眼光观察现实世界。四、教学重难点教学重点理解比的意义，能正确读写比、指出各部分名称并求比值。教学难点从“倍数关系”抽象出“比”的概念，理解比与除法的联系。五、教学过程第一课时：认识比环节一情境导入，观察图片像与不像同学们，今天老师带来了几张照片，它们都是淘气同学的照片，只是有的被拉长了，有的被压扁了。请大家仔细观察，说说哪几张照片看起来“像”淘气，哪几张“不像”？（课件出示一组照片）A和D看起来像，B、C、E看起来不像。大家都凭直觉做出了判断。照片的“像与不像”，其实藏着数学的秘密。今天这节课，我们就一起来探究这个秘密，认识一种新的表示数量关系的数学方法——“比”。（板书课题：生活中的比（一））【设计意图】用贴近学生生活的照片情境导入，激发兴趣，制造认知冲突，为引出“比”埋下伏笔。环节二测量计算，探究“像”的秘密我们把每张照片看成一个长方形。要想知道它“像不像”，可以从照片的长和宽入手。请拿出学习单，量一量下面这几张长方形照片的长和宽，并计算“长÷宽”的商，把结果填在表格里。（出示表格）长方形长宽长÷宽像不像A641.5像B321.5像C383/8不像D1281.5像E683/4不像（学生独立测量、计算，教师巡视指导）谁来汇报一下A和B这两张“像”的照片，长÷宽的商是多少？A是6÷4＝1.5，B是3÷2＝1.5。这两张照片长÷宽的商有什么关系？相等，都是1.5。再看“不像”的照片C，长÷宽的商是多少？和它们相等吗？C是3÷8＝3/8，不相等。通过计算，你发现了什么规律？相像的照片，长÷宽所得的商相同；不像的照片，长÷宽所得的商不同。再观察一下，这些“像”的照片除了长÷宽相同，你还有什么发现？它们的形状是一样的，只是大小不同。对！正因为长和宽的倍数关系相同，照片看起来才像。长和宽之间的这种倍数关系，决定了照片的“像与不像”。【设计意图】通过动手测量、计算、比较，让学生在操作中自主发现规律，从具体数据中抽象出“倍数关系”，为理解比的意义提供感性支撑。环节三揭示概念，认识比的意义像这样，A照片的长是6、宽是4，长和宽之间就存在一种倍数关系——长是宽的几倍？我们可以用除法怎么表示？6÷4。对。像这样，两个数相除，又叫作这两个数的比。长和宽的倍数关系，就可以写成长和宽的比。比如，A照片长和宽的比写作6∶4，读作“6比4”；B照片长和宽的比写作3∶2，读作“3比2”。谁来完整地说一说，什么叫作两个数的比？两个数相除，又叫作这两个数的比。说得很准确。所以，比表示的是两个数相除的关系，也就是两个量之间的倍数关系。像照片的长和宽、路程和时间、总价和数量，都可以用比来表示。【设计意图】由除法引入比，借助“长÷宽”自然过渡到“长和宽的比”，帮助学生理解比的意义本质上就是两个数相除。环节四学习比的读写与各部分名称我们具体来看“6∶4”这个比。“∶”叫作比号，读作“比”。比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项。请同学们跟老师一起说：“6∶4，前项是6，后项是4，比号是‘∶’。”（学生跟读）那前项除以后项所得的商，叫作这个比的比值。6÷4＝1.5，1.5就是“6∶4”的比值。谁能结合“3∶2”，说说它的前项、后项和比值？前项是3，后项是2，比值是3÷2＝1.5。说得真好。请大家把比的前项、比号、后项和比值填在下面的表格里。（出示表格）我们再来写一写、读一读：C照片长3、宽8，长和宽的比写作3∶8，读作“3比8”；D照片长12、宽8，长和宽的比写作12∶8，读作“12比8”。比前项比号后项比值6∶46∶41.53∶23∶21.5填表时大家要注意：前项在比号的前面，后项在比号的后面，不能弄反；比值是前项除以后项所得的商。【设计意图】结合具体比讲清前项、比号、后项、比值的概念，通过填表强化对各部分名称的记忆，突破学习难点。环节五求比值与比同除法的关系我们已经会求比值了，比值就是前项除以后项的商。请大家求出下面各比的比值：4∶8，12∶4，3∶5。（学生独立完成，指名汇报）4∶8＝4÷8＝0.5；12∶4＝12÷4＝3；3∶5＝3÷5＝3/5。比值可以用什么数来表示？可以用整数、小数或分数表示。观察这些比和它们的除法算式，你发现比和除法有什么关系？比的前项相当于除法的被除数，比的后项相当于除法的除数，比号相当于除号，比值相当于商。归纳得很完整。可以说“两个数的比就是两个数相除”，a∶b＝a÷b（b≠0）。这里要注意，比的后项不能是0，因为除数不能是0，例如“6∶0”就没有意义。再比如，4∶8的比值是0.5，表示前项4是后项8的一半，也就是0.5倍。比值能帮助我们看出两个量之间的倍数关系。【设计意图】通过求比值练习，总结比与除法的关系，渗透“除法是比的另一种表达”的思想，同时强调比的后项不能为0这一易错点。环节六课时小结这节课我们通过探究照片“像不像”的秘密，认识了比：两个数相除又叫作两个数的比，会读写比，认识了比的前项、比号、后项和比值，还知道了比和除法的关系。下节课，我们继续学习生活中的比，看看比还能帮助我们解决哪些问题。第二课时：生活中的比环节一复习导入上节课我们认识了比。谁来回顾一下，什么叫作两个数的比？两个数相除，又叫作两个数的比。一个比中有哪些部分？前项、比号、后项，还有比值。很好。今天这节课，我们就用“比”的知识，去解决生活中的实际问题。先来回顾一下，比和除法有什么关系？比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比号相当于除号，比值相当于商。环节二用比表示两个量的倍数关系请看，淘气跑800米用了4分钟，他跑步的速度是多少？800÷4＝200（米/分）。路程和时间的比是800∶4。你能说说这个比表示什么意义吗？表示路程是时间的200倍，也就是速度。对！路程与时间的比其实就是速度。像这样，两个量的倍数关系都可以用比来表示。我们再来看，妈妈买3千克苹果花了15元，苹果的总价和数量的比是多少？它表示什么？15∶3，表示每千克苹果5元，也就是单价。非常好。生活中的“速度”“单价”其实都可以用比来表示。请同学们完成表格。（出示表格）你能自己举一个生活中用比表示两个量关系的例子吗？同桌互相说一说。比如，教室里男生30人、女生25人，男生和女生的比是30∶25。又如，班级图书角有故事书40本、科技书20本，故事书和科技书的比是40∶20。情境两个量比表示的意义跑步路程800米、时间4分800∶4速度买苹果总价15元、数量3千克15∶3单价照片长6、宽46∶4长是宽的1.5倍【设计意图】通过速度、单价等生活实例，帮助学生体会比可以表示两个量之间的倍数关系，感悟比的应用价值，发展模型意识。环节三生活中的比的实际应用比在生活中的应用可广泛了。请看这些例子：（出示）①国旗的长和宽之比是3∶2；②调制糖水时糖和水的比是1∶5；③教室的长和宽大约是8∶6。谁能任选一个，说说这个比表示什么意思？国旗长和宽的比是3∶2，表示长有3份，宽有2份，长是宽的3/2倍。说得真好。那如果要判断一张照片是否变形、像不像原来的照片，我们可以怎么做？算出它的长÷宽的比值，看是否和原来的照片相同。对。比如一张照片长6宽4，把它放大到长9，宽要变成多少才像？6÷4＝1.5，9÷6＝1.5，比值相同，所以长9、宽6的照片和原来的一样像。大家会运用比值来判断照片是否变形，真了不起！像国旗、糖水、教室这些例子都说明，生活中到处都有比，比把两个量的关系表达得很清楚。【设计意图】通过判断、推理的实际问题，引导学生运用比的意义和比值解决问题，体会比在生活中的广泛存在，培养应用意识。环节四综合巩固练习下面我们来检验一下学习成果。请独立完成下面的练习。1.求下面各比的比值：5∶10，3∶4，16∶8。2.写出下面各比的各部分名称，并求出比值：7∶9。3.判断对错并说明理由：①比的后项可以是任何数；②两个数的比就是两个数相除。4.解决问题：张老师骑自行车5分钟行了1200米，你能用比表示路程与时间的比吗？它表示什么？（学生独立完成，集体订正）第1题谁来汇报？5∶10＝0.5；3∶4＝3/4；16∶8＝2。第3题判断，第①题对吗？不对，比的后项不能是0，因为除数不能是0。第②题呢？对，两个数的比就是两个数相除。第4题呢？路程和时间的比是1200∶5，表示速度，每分钟行240米。【设计意图】通过有梯度的综合练习，巩固比的意义、读写、求比值等知识，辨析易错点，提升运用比解决问题的能力。环节五课时小结这节课我们进一步学习了生活中的比，知道两个量的倍数关系可以用比来表示，并能用比解决速度、单价等实际问题。比是我们认识世界、表达数量关系的又一种好工具。希望大家在生活中多观察、多思考，发现更多与比有关的数学问题。六、小结经过两个课时的学习，我们认识了生活中的比：理解了比的意义——两个数相除又叫作两个数的比，学会了比的读写，认识了前项、比号、后项和比值，会求比值，还知道了比与除法的关系，并能用比表示两个量的倍数关系、解决生活中的实际问题。比是数学中表示数量关系的重要方法，希望同学们在今后的学习中，能继续用数学的眼光观察世界，发现比更多的应用。生活中的比（二）一、学情分析六年级学生已经系统学习过除法和分数的相关知识，能够熟练进行整数、小数、分数的除法计算，会求“两个数相除”的结果，具备用“倍数关系”“几分之几”描述数量比较的能力。通过第一课时《生活中的比（一）》的学习，学生已经初步认识了比的意义，会读写比、认识比的前项、后项、比值，并能结合“照片像不像”等情境体会比的产生。但学生对“同类量的比”与“不同类量的比”的区别，以及“不同类量的比”的比值会表示一个新的量（如速度、单价）这一抽象认识仍较为薄弱；对“比与除法、分数的关系”和“比的后项不能为0”需要进一步通过迁移类推来理解。因此，本课应紧扣生活情境，借助直观操作与对比归纳，帮助学生深化对比的意义及其实际应用的理解。二、教材分析《比的认识》是北师大版（2026秋季新教材）小学数学六年级上册第五单元的内容，本单元共6课时，本课为第2课时《生活中的比（二）》。教材在上一课时建立“比的意义”的基础上，进一步通过“试一试”等生活情境，引导学生认识不同类量的比（如路程与时间、总价与数量）——它们的比值表示一个“新的量”（速度、单价），以及同类量的比——其比值表示两个量之间的倍比关系；接着借助表格沟通比、除法、分数三者之间的联系与区别，并由“除数和分母不能为0”推出“比的后项不能为0”，最后辨析“球赛比分”等生活用语并非数学中的比。本课起着承上启下的作用：既深化了对“比的意义”的理解，又为后续《比的化简》《比例的认识》奠定基础。教学中要突出“比是表示两个量之间关系”的本质，注重从生活情境抽象出数学概念，渗透模型思想。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》确立的核心素养导向，结合本课内容，制定以下目标：1.会用数学的眼光观察现实世界：能在“路程与时间”“总价与数量”等真实情境中发现并抽象出比，体会比在生活中的广泛应用，培养数感与量感。2.会用数学的思维思考现实世界：能区分同类量与不同类量的比，理解不同类量比的比值表示新的量、同类量比的比值表示倍比关系；能借助比与除法、分数的关系，迁移类推得出“比的后项不能为0”，发展推理意识与符号意识。3.会用数学的语言表达现实世界：能正确读写比、求比值，并能用比及其比值描述和解释生活中的数量关系，建立模型意识，感受数学语言的简洁性。4.在小组合作与对比归纳中，感悟数学与生活的密切联系，增强应用意识。四、教学重难点教学重点：理解比的意义，能区分同类量与不同类量的比；理解比与除法、分数的关系，知道比的后项不能为0。教学难点：理解不同类量的比，其比值表示一个新的量（如速度、单价）并需带上单位；能辨析生活中“比分”等用语与数学中“比”的区别。五、教学过程第一课时：认识同类量的比与不同类量的比（一）复习导入，唤起认知师：同学们，上节课我们走进了“比的世界”。谁来说一说，什么是比？生：两个数相除，又叫作这两个数的比。师：比的各部分名称是什么？怎么求比值？生：比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项；用前项除以后项所得的商，就是比值。师：请同学们口算下面各比的比值：8:4、6:3、10:5。生：8:4＝2，6:3＝2，10:5＝2。师：这几个比虽然写法不同，但比值都相同，说明它们所表示的两个量之间的关系是相同的。今天，我们继续走进生活，进一步认识比。【设计意图】通过回顾比的意义、读写和求比值，唤醒学生已有知识，为深化理解比的意义作好铺垫，同时用“比值相同的比”自然引出对“比表示两个量关系”本质的关注。（二）合作探究，认识不同类量的比师：请同学们打开课本“试一试”部分。小汽车2小时行驶了200千米。这里提到了哪两个量？生：路程（200千米）和时间（2小时）。师：这两个量是同一类量吗？生：不是。一个是路程，一个是时间，它们是不同类的量。师：我们可以用路程和时间的比来表示它们的关系。请写出这个比，并求比值。生：200:2，比值是200÷2＝100。师：比值100表示什么意思？生：表示每小时行驶100千米，也就是汽车的速度。师：说得好！路程和时间的比值表示的是速度，速度＝路程÷时间。这里的比值是一个新的量，我们要给它加上单位“千米/时”。所以200:2＝100（千米/时）。师：我们再来看“试一试”中的第二个情境：3千克苹果共花去12元。这里又有哪两个量？可以组成比吗？生：总价12元和数量3千克，可以组成比12:3。师：比值是多少？表示什么意思？生：12:3＝4，表示每千克苹果4元，也就是单价。师：对！总价和数量的比值表示的是单价，单价＝总价÷数量，比值要带上单位“元/千克”。师：请同学们观察这两个例子，它们有什么共同点？生：都是两个不同类的量相比，比值都产生了一个新的量。师：总结：两个不同类的量相比时，它们的比值表示一个新的量，要根据实际生活判断，并加上单位名称。【设计意图】紧扣教材“试一试”情境，让学生经历“找量—写比—求比值—说意义”的完整过程，在具体情境中理解不同类量比值的实际含义，体会比可以产生新的量，培养学生的模型意识和应用意识。（三）对比归纳，认识同类量的比师：生活中除了不同类量的比，还有很多同类量的比。请看：六（1）班男生25人，女生20人。男生与女生人数的比是多少？生：25:20。师：比值呢？表示什么意思？生：25:20＝25÷20＝1.25，表示男生人数是女生人数的1.25倍。师：这两个量都是人数，是同类量。同类量相比，比值表示它们之间的倍比关系，一般不写单位。师：请同学们翻开课本，看“试一试”中糖水、果汁等例子，和同桌互相说一说：这些同类量的比表示什么？生：糖和水的质量比表示糖是水的几分之几，水是糖的几倍。师：我们再来看看国旗。我国国旗的长与宽的比是3:2，这是同类量还是不同类量的比？比值表示什么？生：长和宽都是长度，是同类量的比；比值是3÷2＝1.5，表示长是宽的1.5倍。师：正是这样，像国旗长宽比、人数比、糖水比这些同类量的比，比值都表示两个量之间的倍比关系。师：我们一起来把两类比作个比较。（板书并引导学生完成对比表）比的类型举例比值表示单位同类量的比男生人数:女生人数倍比关系不带单位不同类量的比路程:时间新的量（速度）带单位总价:数量新的量（单价）带单位师：通过比较我们发现，判断一个比是同类量还是不同类量的比，关键是看两个量的属性是否相同；而它们的比值所表示的意义也随之不同。（四）分层练习，巩固深化1.求出下面各比的比值：6:3、10:5、12:4、0.6:0.2。2.判断下面的比是同类量还是不同类量的比，并说一说比值表示什么：（1）路程与时间；（2）男生人数与女生人数；（3）总价与数量；（4）糖与水的质量。师：请同学们先独立完成，再同桌互说。第（2）（4）是同类量的比，比值表示倍比关系；第（1）（3）是不同类量的比，比值分别表示速度、单价，要带单位。3.王叔叔开车3小时行驶了240千米，李阿姨4小时行驶了300千米。请分别写出他们路程与时间的比并求出比值，说一说谁的速度快？生：王叔叔240:3＝80（千米/时），李阿姨300:4＝75（千米/时），所以王叔叔的速度快。师：通过求比值比较速度，正体现了不同类量的比在生活中的应用价值。（五）课时小结师：这节课我们深入认识了比。比的种类有两类——同类量的比，比值表示倍比关系，不带单位；不同类量的比，比值表示一个新的量，要带上单位。你还有什么疑问吗？生：比还能和哪些学过的知识联系起来呢？师：这个问题问得好，我们下节课就一起来研究比与除法、分数的关系。第二课时：比与除法、分数的关系及生活中的比辨析（一）复习引入，承上启下师：上节课我们认识了两类比。谁能分别举一个不同类量的比和一个同类量的比，并说出它们的比值表示什么？生：路程:时间＝速度，是不同类量的比；男生人数:女生人数表示倍比关系，是同类量的比。师：请口算3:4的比值。生：3:4＝3÷4＝0.75。师：3除以4，除了可以写成比，还可以写成什么？生：还可以写成除法算式3÷4，也可以写成分数3/4。师：比、除法、分数这三者之间有什么联系和区别呢？今天我们就来揭开它们的秘密。【设计意图】由复习引入并自然过渡，借助“3:4”引出比、除法、分数三种表示形式，激发学生探究三者关系的兴趣。（二）合作探究，沟通联系师：请同学们完成课本上的表格，把比、除法、分数的各部分名称对应起来填一填。名称前项（相当于）比号（相当于）后项（相当于）比值（相当于）比被除数除号除数商分数分子分数线分母分数值除法被除数除号除数商师：从表格中你发现了什么规律？生：比的前项相当于除法中的被除数、分数中的分子；比号相当于除号、分数线；比的后项相当于除数、分母；比值相当于商、分数值。师：比、除法、分数在表示时是可以相互转化的。那么它们有什么不同呢？生：比表示两个量之间的关系，除法是一种运算，分数是一种数。师：总结得很准确。正因为它们联系密切，我们在以后的学习中可以根据需要灵活选用。比如要表示两个量的关系时用比，要计算时用除法，要求一个数是另一个数的几分之几时用分数。（三）迁移类推，认识比的后项师：请同学们想一想，在除法中，除数能不能为0？在分数中，分母能不能为0？生：都不能为0。师：为什么？生：因为除数为0没有意义，分母为0的分数也没有意义。师：那么比的后项能是0吗？为什么？生：不能。因为比的后项相当于除法的除数、分数的分母，除数和分母不能为0，所以比的后项也不能为0。师：大家推理得很有道理！板书：比的后项不能为0。【设计意图】借助比与除法、分数的关系，引导学生迁移类推得出“比的后项不能为0”，既巩固了三者联系，又发展了学生的推理意识与符号意识。（四）辨析生活，深化理解师：生活中有时候我们会听到“比分”。比如足球比赛中的比分3:0。这里的3:0是数学中的比吗？生：不是，因为比的后项不能为0。师：说得对！体育比赛中的比分只是记录双方得分多少的方式，表示两队得分的一种比较，并不是数学中“比”的意义。数学中的比，后项不能为0。师：请同学们再想一想，生活中哪些是“真的比”，哪些是“假的比”？生：配消毒液时药液与水的比1:99，是真实的比；篮球比赛比分98:95，只是记分，不是数学中的比。师：又如，榨果汁时橙汁与水的体积比是1:3，就表示橙汁占1份、水占3份，这也是真实的比。师：判断一个“比”是不是数学中的比，关键要看它是否表示两个量之间的相除关系。生活中的“比分”只是记录得分多少，前后两个数并不表示两个量相除，所以它不是数学中的比。（五）综合应用，提升能力1.小明家到学校900米，他步行用了15分钟。路程与时间的比是多少？比值表示什么？生：900:15＝60（米/分），表示小明步行的速度。2.判断对错：比的后项可以是0。（×）3.完成课本“练一练”中的题目，先独立完成，再同桌互评。【设计意图】通过求比值并解释意义、判断正误等练习，综合运用本课所学知识解决实际问题，及时反馈学习效果，也为下一课时《比的化简》作好铺垫。（六）课时小结师：这一节课我们知道了比与除法、分数既有联系又有区别，还知道了比的后项不能为0，并能正确辨析生活中的“比分”与数学中的比。学到这里，相信同学们对比的认识已经更加深刻了。六、小结经过两课时的学习，我们系统认识了比：第一，比的意义——两个数相除，又叫作这两个数的比，比有前项、比号、后项和比值。第二，比的分类——同类量的比，比值表示倍比关系，不带单位；不同类量的比，比值表示一个新的量（如速度、单价），要带单位。第三，比与除法、分数的关系——比的前项相当于被除数、分子，比的后项相当于除数、分母，比值相当于商、分数值，三者可以相互转化。第四，比的后项不能为0，生活中的“比分”不是数学中的比。比在生活中有广泛的应用，学好比，我们就能更好地理解速度、单价等数量关系，也为后续学习“比的化简”“比例”打下坚实基础。比的化简一、学情分析六年级学生已经系统学习了分数的意义与性质、分数乘法和分数除法，能熟练进行分数、小数的乘除运算，理解了分数的基本性质，也掌握了商不变的规律。本单元前几课时，学生已经认识比的意义，知道比与除法、分数之间的关系，能较熟练地求比值，这为本课学习奠定了知识和方法基础。但是，学生对“比的前项和后项同时变化而比值不变”这一现象还缺乏亲身体验，从几个相等的比中归纳规律对部分学生仍有难度。此外，面对分数比、小数比时，学生容易不知如何入手，需要在具体操作中逐步体会、反复巩固，才能形成化简比的熟练技能。二、教材分析本课是北师大版六年级上册第五单元《比的认识》的第5课时，对应教材第61页“比的化简”。教材以“按1∶4配制一种绿色颜料”的生活情境引入，给出淘气用4份蓝色和7份黄色、笑笑用4份蓝色和16份黄色混合的两种方案，让学生判断谁的配色方案符合要求。在此基础上，教材用“4∶16=4/16=1/4=1∶4”这一连串等式，把两个相等的比写在一起，引导学生通过观察前项、后项的变化，发现“比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变”这一比的基本性质，并提示这与分数的基本性质类似。随后，教材安排把3∶12、20∶80这样的整数比化成最简单的整数比。本课既是对比的意义的深化，也是后续学习按比例分配和比例的重要基础。比的基本性质与分数的基本性质、商不变的规律一脉相承，本课引导学生迁移类推、自主发现规律，体现数学知识之间的内在联系。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》及新教材要求，本课以发展学生核心素养为导向，制定如下目标：1.会用数学的眼光观察现实世界：能从“配制绿色颜料”等真实情境中提取数量关系，写出两个量的比，发现并理解相等的比，体会化简比在现实生活中的意义。2.会用数学的思维思考现实世界：经历计算、观察、比较、归纳的过程，自主探索并归纳比的基本性质；能运用商不变的规律、分数的基本性质迁移类推，学会化简整数比、分数比、小数比，形成推理意识和运算能力。3.会用数学的语言表达现实世界：能用准确、简洁的语言描述比的基本性质，能说清算理并规范书写化简比的过程与结果，体会符号表达的价值，增强模型意识和应用意识。四、教学重难点教学重点：探索并理解比的基本性质，掌握化简整数比的方法，能正确地把比化成最简单的整数比。教学难点：从相等的比中归纳比的基本性质；灵活化简分数比、小数比；区分化简比与求比值。五、教学过程第1课时探索比的基本性质，学会化简整数比（一）复习导入，唤醒旧知师：同学们，前面我们认识了比。谁能结合例子说一说，什么叫比？比与除法、分数有什么联系？生：两个数的比表示两个数相除。比的前项相当于被除数、分子，比的后项相当于除数、分母，比值相当于商、分数值。师：我们还学过商不变的规律和分数的基本性质，谁能说一说？生1：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。生2：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。师：比与除法、分数相通，那么比会不会也有类似的性质呢？这节课我们就来研究“比的化简”。（板书课题：比的化简）（二）创设情境，探究比的基本性质师：学校美术组要配制一种绿色颜料。请看教材第61页的情境图，谁来读一读配色要求？生：将蓝色颜料和黄色颜料按1∶4配成一种绿色颜料。师：1∶4表示什么意思？生：1份蓝色要配4份黄色。如果蓝色取2份，黄色就要取8份。师：淘气和笑笑也来配色了。淘气用4份蓝色和7份黄色混合，笑笑用4份蓝色和16份黄色混合。请判断：谁的配色方案符合要求？先自己想一想，再和同桌说一说。（学生独立思考、同桌交流）师：谁来说说你是怎样判断的？生1：我用除法算一算。淘气的方案，黄色是蓝色的7÷4=1.75倍；笑笑的方案，黄色是蓝色的16÷4=4倍，所以笑笑符合1∶4的要求。生2：我把比写成比值的办法。淘气是4∶7，笑笑是4∶16。1∶4的意思是黄色是蓝色的4倍，笑笑正是4∶16=1∶4，所以笑笑符合。师：说得真好！笑笑4份蓝色配16份黄色，把4份蓝色看成1份，黄色正好是4份，符合1∶4。（板书：4∶16=4/16=1/4=1∶4）师：请再想一想，还有哪些配色方案也符合1∶4的要求？请拿出配色卡片，动手摆一摆、写一写。（学生操作卡片，教师巡视，指名板演）生1：1∶4。生2：2∶8。生3：3∶12。生4：5∶20。师：大家写出了这么多相等的比，真了不起！观察这些比，从前项、后项的变化中你能发现什么规律？（三）观察比较，归纳比的基本性质师：请看这一组：1∶4、2∶8、3∶12、4∶16、5∶20。它们的比值相等吗？生：都等于1/4，比值都相等。师：那从前项、后项的变化中，你又发现了什么？生1：1∶4到2∶8，前项、后项都乘了2。生2：从4∶16到2∶8，前项、后项同时除以了2；从3∶12到1∶4，同时除以了3。师：这样看，你能用一句话概括你的发现吗？生：比的前项和后项同时乘或除以同一个数，比值不变。师：这里“同一个数”可以是0吗？为什么？生：不可以。因为乘0后比的前项、后项都变成0，比就失去意义；除以0更不行，0不能作除数。师：说得好！所以要把“0除外”补充进去。（板书：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。这叫作比的基本性质。）师：想一想，比的基本性质和我们学过的分数的基本性质、商不变的规律有什么相同的地方？生：都是“同时乘或除以同一个不为0的数，大小不变”，只是对象不同。师：这正是数学知识之间的内在联系！【设计意图】借助生活情境和动手操作，让学生从具体比中观察、比较、归纳，自主发现比的基本性质，并通过与分数、除法的类比沟通新旧知识的联系，发展推理意识和归纳概括能力。（四）运用性质，化简整数比师：既然比有基本性质，那么像分数可以约分一样，比也可以化简。把一个比化成最简整数比的过程，叫作化简比。什么是最简整数比呢？请看书上介绍。生：最简整数比就是比的前项和后项都是整数，并且只有公因数1。师：请尝试把3∶12和20∶80化简成最简单的整数比。想一想，依据是什么？可以先独立完成，再在小组里交流。（学生尝试，教师巡视指导，指名板演）生1：3∶12，前项和后项同时除以3，得到1∶4。因为12÷3=4，3÷3=1，所以3∶12=1∶4。师：这里为什么除以3？生：3和12的最大公因数是3，除以3后，前项和后项就只剩公因数1了。生2：20∶80，同时除以20，得到1∶4。师：我们化简的依据是什么？生：比的基本性质。师：请再看两组，谁能说说化简的过程？生：100∶60=5∶3（同时除以20）；16∶20=4∶5（同时除以4）。师：化简整数比时，我们要注意什么？生：要找到前项和后项的最大公因数，同时除以它；最后要检查前项、后项是不是只有公因数1。师：刚才我们化简了好几个比。请观察，化简后的结果有什么共同特点？生：前项和后项都是整数，而且它们的公因数只有1，比如1∶4、5∶3、4∶5。师：这样的比就叫“最简整数比”。请判断：下面哪些是已经化简好的最简整数比，哪些还需要再化简？（出示：7∶214∶910∶153∶6）生1：4∶9是最简整数比，因为4和9只有公因数1。生2：7∶21、10∶15、3∶6都不是，应分别化简成1∶3、2∶3、1∶2。师：判断一个比是不是最简整数比，关键是看什么？生：看前项和后项是不是只有公因数1。【设计意图】通过整数比的化简，让学生运用刚学的比的基本性质动手实践，在说清算理中掌握化简方法，并通过辨析判断加深对“最简整数比”含义的理解。（五）练习巩固，课堂小结师：下面我们做一组练习，看谁化简得又对又快。（出示练习：化简下面各比8∶1015∶2036∶2445∶60）（学生独立完成，指名板演并讲评）师：这节课你有什么收获？生1：我知道了比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。生2：我学会了化简整数比，要把比化成最简整数比。师：下一节课，我们还要学习分数比、小数比怎样化简。第2课时分数比、小数比的化简，化简比与求比值（一）复习引入师：上节课我们学习了什么？谁能说说比的基本性质？生：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。师：请化简下面几个整数比。（出示：12∶1824∶3625∶75）（学生口答，教师讲评）师：整数比我们会化简了，那分数比、小数比该怎样化简呢？今天我们就来研究这个问题。（二）探究分数比的化简师：请看这几组比：1/2∶1/4，3/5∶2/5。它们的前项、后项都是分数，不能直接找公因数。那该怎么办？可以借助比的基本性质，先把分数比转化成整数比。想一想，前项、后项同时乘一个什么数，能把分数变成整数？生：同时乘分母的最小公倍数。师：对！以1/2∶1/4为例，两个分母2和4的最小公倍数是4。（板书：1/2∶1/4=（1/2×4）∶（1/4×4）=2∶1）师：再看3/5∶2/5，请你们自己试一试。（学生尝试，指名板演）生：3/5∶2/5=（3/5×5）∶（2/5×5）=3∶2。师：分数比化简的步骤是什么？生：先同时乘分母的最小公倍数，把分数比转化成整数比，再按整数比的方法化简。【设计意图】让学生经历“分数比→整数比→最简整数比”的转化过程，体会转化思想，掌握分数比化简的方法。（三）探究小数比的化简师：那小数比呢？比如0.4∶0.8，该怎样化简？同桌讨论一下。（学生讨论交流）生：可以先把小数比化成整数比。0.4和0.8都乘10，得到4∶8，再化简成1∶2。师：为什么乘10？生：因为0.4和0.8都是一位小数，乘10后小数点移走，变成整数。师：如果遇到0.25∶0.5这样的比呢？生：0.25是两位小数，要乘100，得到25∶50，再同时除以25，得到1∶2。（板书：0.25∶0.5=（0.25×100）∶（0.5×100）=25∶50=1∶2）师：小数比化简，先根据小数的位数同时乘10、100等，把小数比转化成整数比，再化简。同学们掌握得真快！【设计意图】通过小数比的化简，引导学生灵活运用比的基本性质，感受数学方法的多样性与一致性，突破本课难点。（四）辨析化简比与求比值师：化简比和求比值是同一回事吗？以3∶6为例，请分别求比值和化简比。（学生计算并汇报）生1：求比值：3∶6=3÷6=0.5（或1/2），比值是一个数。生2：化简比：3∶6=1∶2，结果是一个比。师：你发现它们有什么不同？生：求比值的结果是一个数（整数、小数或分数）；化简比的结果是一个比，前项和后项都是整数且只有公因数1。师：虽然化简比和求比值都用除法，但结果形式不同：求比值得“数”，化简比得“比”，这就是根本区别。师：请看下面几个，请你说说结果是比值还是化简比。（出示：8∶4，10∶5，6∶8，1/2∶1/4）（学生逐一判断，教师强调书写格式）【设计意图】通过对比辨析，让学生厘清化简比与求比值的区别，避免概念混淆，深化对比的意义的理解。（五）综合练习，课堂小结师：下面我们综合练一练。（出示练习：化简下面各比15∶101/3∶1/60.6∶1.82/5∶4/5）（学生独立完成，同桌互查，指名讲评）师：比的知识在生活中有很多用处。学校长方形操场的宽是60米，长是90米，长与宽的比是多少？化简后再说说它的实际含义。（学生列式并化简）生：长与宽的比是90∶60，同时除以30，得到3∶2，意思是长是宽的1.5倍。师：如果把操场缩小，宽改成6米，长要保持原来的比例，长应是多少米？生：90∶60=3∶2，宽是6米时，长应是9米。师：大家利用化简比找到了长与宽的比例关系，还能根据比推算出另一组对应的长和宽，这就是比的价值的体现。师：这节课你又学会了什么？生1：我会化简分数比和小数比了，要先把它们转化成整数比。生2：我分清了化简比和求比值：化简比结果是比，求比值结果是数。师：通过两节课的学习，我们掌握了化简整数比、分数比、小数比的方法，这些方法都建立在比的基本性质之上。希望大家在今后学习比的应用时，继续用好这个本领。六、小结（板书设计）比的化简比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。化简方法：整数比同时除以最大公因数；分数比、小数比先转化成整数比再化简。最简整数比：前项、后项都是整数，且只有公因数1。化简比结果是一个比，求比值结果是一个数。比例的认识一、学情分析六年级学生已系统学习过除法的意义与计算、分数的意义和性质，在本单元《比的认识》的前面课时中，学生认识了比的意义、比的各部分名称，会求比值，掌握了化简比的方法，理解了比与除法、分数之间的联系，为本课学习比例奠定了扎实的基础。但学生对“比”与“比例”这两个概念容易混淆，判断两个比能否组成比例的方法运用还不够熟练。因此，本课教学要充分借助生活情境，引导学生从相等的比中抽象出比例的概念，认识比例各部分名称，探索比例的基本性质，沟通比与比例的联系，发展推理意识和抽象概括能力。二、教材分析《比例的认识》是北师大版（2026年秋季新教材）小学数学六年级上册第五单元《比的认识》中的内容。本单元按“认识比、化简比、认识比例”的逻辑编排，比例的认识是在学生掌握了比的意义、比的化简之后，进一步认识“表示两个比相等的式子”，为后续学习比例的应用、正反比例、比例尺等内容奠定基础。教材以“调制蜂蜜水、图片像不像、颜料配色”等生活情境引入，引导学生找到相等的比，抽象出比例的意义，认识比例的两种表达形式，学会用求比值、化简比的方法判断两个比能否组成比例；再进一步认识比例各部分名称，探索并运用比例的基本性质。教材强调从具体到抽象、从实例到规律，突出数学与现实生活的联系，发展学生抽象能力、推理意识和应用意识。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对核心素养的要求，结合本课内容与六年级学生实际，确立如下目标：1.抽象能力与模型意识：结合生活情境理解比例的意义，能用“a∶b＝c∶d”等式子表示比例，建立比例模型，认识比例各部分名称。2.运算能力：能正确求比值、化简比，能通过求比值或化简比判断两个比能否组成比例。3.推理意识：经历观察、计算、比较、归纳的过程，探索并总结比例的基本性质，能运用基本性质判断两个比能否组成比例。4.应用意识：能从路程与时间、总价与数量等生活情境中发现比例，体会数学与生活的密切联系。四、教学重难点教学重点：理解比例的意义，认识比例各部分名称，掌握比例的基本性质；能用求比值、化简比、基本性质等方法判断两个比能否组成比例。教学难点：区分“比”与“比例”的概念，正确读写比例；理解并运用比例的基本性质解决较复杂的问题。五、教学准备教师：多媒体课件、蜂蜜水情境图、图片、方格纸、直尺。学生：练习本、彩笔、课前准备的比与比例知识梳理。六、教学过程第一课时认识比例的意义（一）情境导入，调制蜂蜜水师：同学们，口渴的时候喝一杯甜甜的蜂蜜水最舒服了。今天老师想请大家帮个忙：怎样调制出和妙想配的一样甜的蜂蜜水呢？（教师出示教材“调制蜂蜜水”情境图）师：妙想配了一杯蜂蜜水，用了4小杯蜂蜜和14小杯水。想一想，蜂蜜和水的比是多少？生：蜂蜜和水的比是4∶14。师：这个比表示什么？生：表示蜂蜜和水的份数关系，4份蜂蜜配14份水。师：如果要配出和它一样甜的蜂蜜水，你有什么办法？生：只要蜂蜜和水的比相等，甜度就一样了。师：真会思考！甜度一样，关键在“蜂蜜和水的比”相同，而不在于放多少。我们就带着这个想法，继续往下研究。【设计意图】从“调制一样甜的蜂蜜水”这一生活情境导入，唤起学生已有经验，点明“比相等则甜度一样”这一关键，为认识比例作铺垫。（二）探秘情境，找相等的比1.蜂蜜水情境师：小明想配一杯和妙想一样甜的蜂蜜水，他放了2小量杯蜂蜜和7小量杯水。想一想，小明配的蜂蜜水会一样甜吗？生：要比较两个比，4∶14和2∶7是否相等。师：怎样判断这两个比是否相等？生：可以先求比值。4∶14＝4÷14＝七分之二，2∶7＝2÷7＝七分之二，比值相等，所以两个比相等。生：还可以化简。4∶14化简成2∶7，所以相等。师：所以4∶14＝2∶7，小明配的蜂蜜水确实和妙想的一样甜。师：小红又放了6勺蜂蜜和21勺水，她的甜度呢？生：4∶14＝6∶21，因为化简后都是2∶7，或比值都是七分之二，所以一样甜。2.图片像不像情境师：除了蜂蜜水，图形里也有相等的比。请看这两张图片，怎样的两张图片看起来像？（出示图片A，长6格、宽4格；图片B，长3格、宽2格）生：图片要像，长和宽的比要相等。师：图片A长和宽的比是多少？图片B呢？生：A是6∶4，B是3∶2。师：这两个比相等吗？生：相等，6∶4＝3∶2，化简后都是3∶2，所以两张图片形状相同、看起来像。3.颜料配色情境师：看这幅图。要将蓝色颜料和黄色颜料按1∶4配成一种绿色颜料，小明把蓝色和黄色按4∶16混合，这样配出的颜色符合要求吗？生：要看4∶16和1∶4是否相等。4∶16化简后是1∶4，所以符合要求，4∶16＝1∶4。师：蓝色和黄色的比要一样，配出的颜色才一样。【设计意图】通过蜂蜜水、图片、配色三个贴近生活的情境，引导学生“找到相等的比”，经历观察、计算、比较的过程，为抽象比例概念积累丰富的感性经验。（三）抽象概括，认识比例的意义师：我们找到了这么多相等的比——4∶14＝2∶7、6∶4＝3∶2、4∶16＝1∶4。像这样表示两个比相等的式子，叫作比例。师：请你读一读这几个比例。6∶4＝3∶2，怎么读？生：6比4等于3比2。师：组成比例的两个比，可以写成带比号的形式，也可以写成分数形式，读法相同。比如6∶4＝3∶2，也可以写成六分之四等于二分之三。师：想一想，比例和比有什么区别？生：比是两个数相除，只有两项；比例是表示两个比相等，有四个数。师：说得很清楚。比表示两个量的关系，比例表示两个比相等。同学们以后要分清“比”和“比例”这两个不同的概念。【设计意图】在大量实例基础上，引导学生用自己的语言概括比例的意义，认识比例的两种表达形式，并通过对比辨析，明确比与比例的区别。（四）方法提炼，判断两个比是否相等师：判断两个比是否相等，有哪些方法？生：一是求比值，看比值是否相等；二是化简比，看能否化成相同的比。师：非常好。我们来看一组比。2∶3和4∶6能组成比例吗？生：2∶3的比值是三分之二，4∶6的比值也是三分之二，比值相等，能组成比例，2∶3＝4∶6。师：10∶15和20∶30呢？生：10∶15化简成2∶3，20∶30也化简成2∶3，相等，能组成比例。师：那1∶2和2∶3呢？生：1∶2的比值是二分之一，2∶3的比值是三分之二，不相等，不能组成比例。师：判断两个比能否组成比例，就用“求比值”或“化简比”的方法，看两个比是否相等。【设计意图】引导学生总结判断两个比是否相等的方法，并通过正反例的辨析，掌握判断组成比例的关键。（五）生活中的比例师：比例在我们生活中处处可见。请看这两组情境。1.汽车行驶的路程和时间师：一辆汽车2小时行驶160千米，3小时行驶240千米。路程和时间的比分别是多少？生：160∶2和240∶3。师：它们能组成比例吗？生：160∶2＝80，240∶3＝80，比值相等，能组成比例，160∶2＝240∶3，说明汽车的速度不变。2.苹果的总价和数量师：苹果2千克9元，5千克22.5元。总价和数量的比分别是多少？能组成比例吗？生：9∶2和22.5∶5，比值都是4.5，能组成比例，说明苹果的单价一定。师：只要两个比的比值相等，就能组成比例。像速度、单价这样“一定的量”，往往就能找到比例关系。【设计意图】通过路程时间、总价数量等生活中的比例，让学生体会比例在描述数量关系中的作用，感受数学的应用价值。（六）课时小结过渡师：通过这节课，我们认识了比例——表示两个比相等的式子，学会了判断两个比能否组成比例的方法。那么，比例里各部分叫什么名字？比例还有什么奥秘？我们下节课继续研究。第二课时比例的各部分名称与基本性质（一）回顾引入师：上节课我们认识了比例。什么是比例？举例说一说。生：表示两个比相等的式子叫作比例，比如2∶3＝4∶6。师：这节课我们继续认识比例，看看比例里藏着怎样的规律。（二）认识比例各部分名称师：请看比例2∶3＝4∶6。组成比例的四个数，叫作比例的项。比号两边分别是什么？生：2和3组成一个比，4和6组成另一个比。师：比例有四个项。两端的两项叫作外项，中间的两项叫作内项。师：在2∶3＝4∶6中，哪两项是外项？哪两项是内项？生：两端的是2和6，是外项；中间的是3和4，是内项。师：比例通常写成带比号的形式，也可以写成分数形式，读法相同。写分数形式时，外项、内项的位置要看清楚。【设计意图】借助具体比例认识各部分名称，明确外项与内项，为探索比例的基本性质作准备。（三）探索比例的基本性质师：请同学们算一算，在比例2∶3＝4∶6中，外项的积是多少？内项的积是多少？生：外项积＝2×6＝12，内项积＝3×4＝12，相等！师：是不是所有比例都有这样的规律？再找一个比例试一试。生：6∶4＝3∶2，外项积＝6×2＝12，内项积＝4×3＝12，也相等。师：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。师：用字母怎样表示？如果a∶b＝c∶d，那么……生：a×d＝b×c，外项积等于内项积。【设计意图】通过计算、举例、归纳，引导学生自主发现并总结比例的基本性质，发展推理意识和抽象概括能力。（四）用基本性质判断能否组成比例师：有了比例的基本性质，判断两个比能否组成比例，又多了一种方法——算外项积和内项积。师：判断2∶5和4∶10能否组成比例。生：如果组成比例2∶5＝4∶10，外项积＝2×10＝20，内项积＝5×4＝20，相等，能组成比例。师：3∶4和6∶9呢？生：3×9＝27，4×6＝24，不相等，不能组成比例。师：用基本性质判断，既快又准。这和前面“求比值、化简比”的方法可以互相验证。【设计意图】引导学生用比例的基本性质判断两个比能否组成比例，掌握判断的第三种方法，并体会不同方法的联系。（五）综合应用师：我们已经会用多种方法判断两个比能否组成比例了。来看几道综合练习。1.下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。（1）10∶15和20∶30（2）2.7∶3.6和1.5∶2生：（1）10∶15＝20∶30，因为化简后都是2∶3。生：（2）2.7∶3.6化简成27∶36＝3∶4，1.5∶2＝3∶4，两个比相等，能组成比例。2.给出四个数2、3、4、6，它们能组成比例吗？如果能，写出所有可能。生：2×6＝12，3×4＝12，外项积等于内项积，能组成比例，如2∶3＝4∶6、2∶4＝3∶6等。师：四个数只要能满足“两组数的乘积相等”，就可能组成比例，而且往往不止一种写法。3.在比例3∶12＝9∶36中，如果第一个比的后项增加6，前项不变，要使比例依然成立，第二个比的前项应该怎样变化？生：第一个比变成3∶18，外项积是3×36＝108，要使内项积也是108，内项另一个数＝108÷18＝6，9变成6，减少了3，也就是缩小到原来的三分之二。师：综合运用比例的意义和基本性质，就能解决这样稍有难度的问题。【设计意图】通过层层递进的练习，巩固判断组成比例的方法，训练用比例基本性质解决较复杂的问题，提升综合运用能力。（六）课时小结师：通过这节课，你认识了比例的哪些知识？生：认识了比例各部分名称——外项、内项。生：知道了比例的基本性质——外项积等于内项积。生：会用求比值、化简比、基本性质等方法判断两个比能否组成比例。七、小结师：通过两节课的学习，我们认识了比例。同学们想一想，比例和比有什么联系与区别？生：比是两个数相除，比例是表示两个比相等的式子；比有两项，比例有四项。师：我们还发现，比例的基本性质“外项积等于内项积”，是判断组成比例、解决比例问题的重要依据。希望大家在以后的学习中，能像今天这样，从生活情境中发现数学、用数学解决问题。八、板书设计比例的认识比例的意义：表示两个比相等的式子如2∶3＝4∶6、6∶4＝3∶2判断两个比是否相等：求比值化简比比例各部分名称：2∶3＝4∶6外项内项内项外项比例的基本性质：外项积＝内项积a×d＝b×c整理与复习一、学情分析学生在日常生活中已积累丰富的有关“比”的经验，本单元前四节课系统学习了比的意义、比与除法分数的关系、求比值、比的基本性质、化简比、比例的认识和按比分配的应用，为本课复习奠定基础。六年级学生具备一定的归纳概括能力，但知识点较零散，容易把“化简比”与“求比值”、“比”与“比例”混为一谈，需要通过系统梳理构建知识网络，突破易混点。二、教材分析《整理与复习》是北师大版（2026年秋季新教材）六年级上册第五单元《比的认识》的收尾课。本单元内容包括：生活中的比（比的意义、比与除法分数的关系、求比值）、比的化简（比的基本性质、化简比）、比例的认识（比例的意义、各部分名称、比例的基本性质），并渗透按比分配的实际应用。整理与复习通过回顾、梳理、巩固、提升，引导学生把零散知识点串联成结构化知识网络，沟通内在联系，提升综合运用能力。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，结合本单元内容，确定以下核心素养目标：1.通过回顾梳理，理解比的意义，能正确读写比并指出各部分名称，掌握比与除法、分数的联系与区别，发展数感和符号意识，会用数学的语言表达现实世界。2.能根据比的基本性质正确化简比、求比值，理解比例的意义和基本性质，会用比例的基本性质判断两个比能否组成比例，发展运算能力和推理意识，会用数学的思维思考现实世界。3.能运用比和比例的知识解决生活中的按比分配问题，体会数学与生活的密切联系，发展模型意识和应用意识，会用数学的眼光观察现实世界。四、教学重难点教学重点系统梳理本单元知识，沟通比与除法、分数以及比例之间的联系，正确进行化简比和求比值。教学难点正确区分“化简比”与“求比值”、“比”与“比例”，灵活运用比和比例的知识解决实际问题。五、教学过程第一课时：梳理知识结构，巩固比的意义与求比值环节一创设情境，唤醒记忆同学们，第五单元《比的认识》我们已经学完了。老师昨天配制了两杯糖水，一杯糖和水按1∶3调制，另一杯按2∶5调制。请你观察，这里的1∶3和2∶5表示什么意思？1∶3表示糖有1份，水有3份，糖是水的三分之一；2∶5表示糖有2份，水有5份，糖是水的五分之二。大家说得很准确。像这样用“比”表示两个量之间关系的方式，生活中处处可见。今天这节课，我们就对这一单元的知识进行一次系统的整理与复习。（板书课题）【设计意图】从学生熟悉的生活情境切入，激活已有经验，自然引出课题，激发复习积极性。环节二回顾内容，构建知识网络请同学们打开课本目录，看看第五单元我们一共学了哪些内容？生活中的比（一）、生活中的比（二）、比的化简、比例的认识、整理与复习。你能分别回忆一下，这些课时主要研究了哪些知识吗？先和同桌说一说。生活中的比讲的是比的意义和各部分名称，还有比和除法、分数的关系。比的化简讲的是比的基本性质和怎么化简比。比例的认识讲的是比例的意义和比例的基本性质。同学们回忆得真全面。老师把大家的发言整理成了一幅“知识网络图”，请看。（课件出示）比的认识——比的意义（两个数相除）；各部分名称（前项、比号、后项、比值）；比与除法、分数的关系（a∶b＝a÷b＝a/b，b≠0）；求比值；比的基本性质；化简比；比例（意义、内项与外项、基本性质）；比的应用（按比分配）。这节课我们先围绕“比的意义和求比值”进行整理复习，下节课再复习化简比、比例和比的应用。【设计意图】通过回忆并整理成知识网络图，帮助学生从整体上把握本单元知识结构，形成系统认知。环节三深化理解比的意义与各部分名称先来回顾，什么叫作两个数的比？两个数相除，又叫作两个数的比。对。比如“6∶4”，谁能说说它各部分的名称？“6”是比的前项，“4”是比的后项，“∶”是比号。那这个比的比值是多少？6÷4＝1.5，比值是1.5。比值就是前项除以后项的商，可以用整数、小数或分数表示。要注意，“∶”是比号，读作“比”，和除号、分数线要区分开。老师还要考考大家，比的后项可以是0吗？不可以。为什么？因为比的后项相当于除数，0不能作除数，除法没有意义，所以比的后项不能是0。说得非常好！比的后项不能为0，大家一定要牢记。【设计意图】通过问答回顾比的意义与各部分名称，抓住“比的后项不能为0”这一易错点，深化概念理解。环节四整理比与除法、分数的关系接下来，我们来看比、除法、分数三者之间的关系。老师给出一张表格，请大家结合表格思考。名称比除法分数各部分名称前项、后项被除数、除数分子、分母符号比号“∶”除号“÷”分数线“—”结果比值商分数值谁能根据这张表格，说一说比、除法、分数之间有什么联系？比的前项相当于除法中的被除数、分数中的分子；比号相当于除号、分数线；比的后项相当于除数、分母；比值相当于商、分数值。可以用一个式子来表示吗？a∶b＝a÷b＝a/b（b≠0）。这就是三者之间的联系。那它们有没有区别呢？比表示两个量之间的关系，是一种关系；除法是一种运算；分数是一种数。总结得很到位。正因如此，我们才能灵活地运用比、除法、分数互相转化来解决问题。【设计意图】借助表格系统梳理比与除法、分数的关系，既加深理解，又渗透“知识之间相互联系”的思想。环节五巩固练习，内化应用下面我们来检验一下学习成果。请大家独立完成下面的练习，注意书写规范。1.求下面各比的比值：4∶8，2.5∶5，3/4∶1/2，12∶4。2.填空：比的前项相当于除法的（），后项相当于除法的（），比值相当于（）。（学生独立完成，教师巡视，指名汇报）4∶8＝0.5；2.5∶5＝0.5；3/4∶1/2＝3/2；12∶4＝3。求比值时要注意什么？用前项除以后项，能约分的要约分，结果可以写成整数、小数或分数。第2题谁会填？比的前项相当于除法的被除数，后项相当于除法的除数，比值相当于商。全对。通过练习，老师发现大家对比的意义和求比值掌握得比较扎实。【设计意图】通过分层练习及时巩固本课时重点，检验学习效果，帮助学生查漏补缺。环节六课时小结这节课我们一起整理了比的意义、各部分名称、比与除法分数的关系以及求比值的方法，还构建了本单元的知识网络。下节课继续复习比的化简、比例的认识和比的应用，请大家课后先自己梳理一下。第二课时：复习化简比、比例的认识与按比分配环节一复习导入上节课我们整理了比的意义和求比值，构建了本单元的知识网络。今天这节课，我们继续沿着这张知识网络，重点复习比的基本性质与化简比、比例的认识以及比在实际生活中的应用。环节二复习比的基本性质与化简比首先，谁来回顾一下，比的基本性质是什么？比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。比的基本性质是怎么得来的？它和商不变的性质、分数的基本性质有什么关系？因为比、除法、分数是相通的，所以商不变的性质和分数的基本性质可以类推出比的基本性质。正是根据比的基本性质，我们可以把比化成最简整数比。什么叫最简整数比？前项和后项都是整数，并且只有公因数1的比。请看下面三个比，请把它们化成最简整数比，并说说化简方法。（出示）24∶36，0.75∶2，5/8∶3/4。（学生独立完成，小组交流，指名汇报）24∶36，前项和后项同时除以它们的最大公因数12，得到2∶3。这是化简整数比的方法。那小数比0.75∶2呢？先把0.75和2同时乘100变成75∶200，再同时除以最大公因数25，得到3∶8。也可以这样想，0.75∶2＝0.75÷2，先算比值再化成最简整数比。不过要注意，化简比的结果必须是一个比。那分数比5/8∶3/4呢？前项和后项同时乘分母的最小公倍数8，变成5∶6，5和6只有公因数1，最简整数比是5∶6。大家掌握了化简整数比、小数比、分数比的三种方法。老师要特别提醒：化简比和求比值是两个不同概念，化简比的结果是一个比，求比值的结果是一个数。比如24∶36化简比是2∶3，比值则是2/3。【设计意图】通过对比复习比的基本性质与化简比，强化“化简比的结果是比、求比值的结果是数”这一易混点。环节三复习比例的认识接下来我们复习比例。什么叫作比例？表示两个比相等的式子叫作比例。比如6∶4＝3∶2就是一个比例。组成比例的四个数叫作比例的项，两端的两项是外项，中间的两项是内项。谁来指出它的外项和内项？6和2是外项，4和3是内项。比例的基本性质是什么呢？在比例里，外项之积等于内项之积。我们验证一下：6×2＝12，4×3＝12，果然相等。那比例的基本性质有什么用呢？可以用来判断两个比能不能组成比例。说得对。请看：3∶4和6∶8能不能组成比例？能。因为3×8＝24，4×6＝24，外项积等于内项积，所以能组成比例。那比和比例有什么区别呢？比是两个数相除，只有两项；比例是表示两个比相等，有四项。归纳得非常准确。比是“两个数的关系”，比例是“两个比相等”，这是本单元又一个容易混淆的地方，大家要仔细分辨。【设计意图】通过层层设问复习比例的意义、各部分名称与基本性质，并辨析比与比例的区别。环节四复习按比分配的实际应用比的知识在生活中有着广泛的应用。请看这道题：（出示）学校把140本图书按3∶4分给五、六年级，每个年级各分到多少本图书？请同学们先独立思考，再在小组内交流各自的解法。（学生思考、小组讨论，教师巡视指导）我用“份数法”。一共是3＋4＝7份，每份是140÷7＝20（本），五年级分3份是3×20＝60（本），六年级分4份是4×20＝80（本）。为什么能先求出每份是多少？因为按3∶4分配，就是把总数平均分成7份，五年级取3份，六年级取4份。分法真清楚。还有其他方法吗？我用“分数法”。五年级占总数的3/7，六年级占总数的4/7，所以五年级是140×3/7＝60（本），六年级是140×4/7＝80（本）。这个办法把比转化成了分数，也很巧妙。这两种方法有什么共同点？都要先确定总份数，再求各部分占总数的几分之几或占几份。说得真好。解决按比分配的问题，关键是先求出“一份是多少”，或者把比转化成分数来求。分完以后还可以用“各部分相加等于总数”来检验，60＋80＝140，正好符合。【设计意图】以生活实际问题为载体，让学生经历用多种策略解决按比分配问题的过程，沟通比与分数的联系，培养模型意识和应用意识。环节五综合练习，查漏补缺两个课时下来，我们已经把本单元的知识系统地复习了一遍。下面进入综合练习，检验大家能否灵活运用。1.化简下面各比并求比值：18∶24，1.2∶0.6，2/3∶4/5。2.判断对错并说明理由：①a∶b＝3，说明a＝3，b＝1；②比的前项和后项同时乘或除以同一个数，比值不变。3.甲、乙两队人数的比是5∶3，甲队比乙队多12人，甲、乙两队各有多少人？（学生独立完成，教师巡视，集体订正）第1题谁来汇报？化简比和求比值的结果一样吗？18∶24化简比是3∶4，比值是3/4；1.2∶0.6化简比是2∶1，比值是2；2/3∶4/5化简比是5∶6，比值是5/6。化简比和求比值虽然结果有时看起来一样，但意义和书写形式不同，一个写比的形式，一个写数的形式。第2题谁来判断？第①题不对，a∶b＝3只表示a是b的3倍，不能确定a＝3、b＝1，比如a＝6、b＝2，6∶2＝3。第②题也不完全对，应强调“同一个不为0的数”，因为除以0没有意义。大家辨析得很到位。第3题呢？5－3＝2份，甲队比乙队多2份，每份是12÷2＝6（人），甲队5×6＝30（人），乙队3×6＝18（人）。这道题通过“相差的份数”来求每份，是“按比分配”的灵活运用。大家掌握得很好。【设计意图】通过有层次、有梯度的综合练习，帮助学生查漏补缺，辨析易混易错点，提升综合运用能力。环节六课时小结这节课我们重点复习了比的基本性质与化简比、比例的认识以及按比分配的实际应用，进一步沟通了比、除法、分数和比例之间的联系。本单元的知识已经形成了一个完整体系，希望大家今后能自觉运用这种“整理与复习”的方法来巩固所学知识。六、小结经过两个课时的整理与复习，我们系统回顾了第五单元《比的认识》的全部知识：理解了比的意义，认识了比的各部分名称，掌握了比与除法、分数的关系，学会了求比值和化简比，认识了比例及比例的基本性质，并能解决生活中的按比分配问题。希望同学们在今后的学习中，能善于梳理、善于比较，用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。第六单元确定位置象群北迁（一）一、学情分析六年级学生已经认识东、南、西、北等基本方向，会使用量角器量角，能从简单的情境中辨认方向。经过前面各单元的学习，学生具备了一定的动手操作和合作探究能力。但是，学生“用方向和距离确定位置”的经验较为缺乏，往往只凭“方向”或“距离”中的某一个要素来描述位置，对“观测点”的概念以及“方向与距离缺一不可”的理解还不够深刻，将比例尺知识转化为实际距离、按方向和距离在图上确定位置也较为困难。因此，本课应以“象群北迁”的真实情境贯穿始终，引导学生经历“比较—辨析—归纳—应用”的过程，逐步建立用方向和距离确定位置的数学模型。二、教材分析《确定位置》是北师大版（2026秋季新教材）小学数学六年级上册第六单元的内容，本单元共4课时，本课为第1课时《象群北迁（一）》，对应教材第67—68页。教材以“象群北迁”这一真实事件为情境，让学生帮助指挥部报告象群的位置，通过比较“只说方向”“只说距离”“方向和距离合起来”三条信息，使学生体会到确定位置需要观测点、方向和距离三个要素，缺一不可；接着引导学生借助方向标和比例尺，学会按“先方向后距离”的顺序描述位置。本课是学生从“定性描述方向”走向“定量确定位置”的关键一课，为后续学习根据方向和距离描述路线、绘制平面图以及初中学习坐标奠定基础。教学中要突出“方向与距离相结合确定唯一位置”这一核心，渗透几何直观和模型思想。三、核心素养教学目标依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》确立的核心素养导向，结合本课内容，制定以下目标：1.会用数学的眼光观察现实世界：能在“象群北迁”等真实情境中发现确定位置需要观测点、方向与距离，体会数学在生活中的广泛应用，培养量感与空间观念。2.会用数学的思维思考现实世界：能通过比较三条信息，理解“只说方向”“只说距离”都不能确定唯一位置，推理得出方向和距离缺一不可，发展推理意识与几何直观。3.会用数学的语言表达现实世界：能按“先说观测点，再说方向，最后说距离”的顺序，用方向和距离准确描述物体的位置，建立模型意识。4.在动手测量、合作交流中，感受数学与生活的密切联系，增强应用意识。四、教学重难点教学重点：掌握用方向和距离确定物体位置的方法，理解观测点、方向、距离三要素缺一不可。教学难点：理解方向（角度）与距离是确定位置的必要条件；能根据方向和距离在图上确定物体位置，并正确描述。五、教学过程第一课时：认识用方向和距离确定位置（一）情境导入，激发兴趣师：同学们，2020年至2021年，云南西双版纳的一群野生亚洲象离开栖息地，一路向北迁徙，引起了全国乃至世界的关注。为了保障象群和沿途群众的安全，有关部门成立了指挥部，随时掌握象群的动向。师：看课本第67页的情境图，指挥部的工作人员正在用无人机监控象群。现在，指挥部需要向救援人员发布一条信息，告诉他们象群在什么位置。如果你是工作人员，你会怎样描述象群的位置呢？师：这就是我们今天要研究的问题——怎样用方向和距离确定物体的位置。【设计意图】以“象群北迁”这一真实事件导入，激发学生兴趣，使学生在解决真实问题的需求中进入学习，体会数学的应用价值。（二）自主探究，编写位置报告师：请同学们打开课本附页3中的图2，仔细观察这幅图，找到“指挥部”和“象群”的位置。师：请同学们自己尝试编写一条信息，告诉救援人员象群的位置。写好后在小组里交流。（学生活动：观察图、尝试编写信息、小组交流）师：谁来汇报一下，你写的信息是什么？生1：象群在指挥部的北边。生2：象群离指挥部大约6000米。生3：象群在指挥部的北偏东30°方向，距离6000米。师：同学们编写了三条不同的信息。哪一条能准确确定象群的位置呢？下面我们一起来分析。【设计意图】让学生先自主尝试编写位置信息，暴露学生只凭方向或只凭距离描述位置的认知漏洞，为后续辨析三要素的必要性作好准备。（三）比较辨析，感悟三要素师：我们来看第①条信息“象群在指挥部的北边”。这条信息能确定象群的具体位置吗？生：不能。因为指挥部北边有很多地方，只知道方向，不知道在哪里。师：说得好！只给方向，就像从指挥部向北画出一条射线，这条射线上的每一点都“在指挥部北边”，所以无法确定唯一的位置。师：再看第②条信息“象群离指挥部大约6000米”。这条信息能确定位置吗？生：也不能。因为距离指挥部6000米的点有很多，形成一个圆圈。师：真棒！只给距离，只能确定以指挥部为圆心、6000米为半径的一个圆，圆上的点都符合条件，还是不能确定唯一位置。师：那么第③条信息“象群在指挥部的北偏东30°方向，距离6000米”呢？我们把方向和距离合起来，能确定几个位置？生：只有一个。先沿北偏东30°方向画一条射线，再在这条射线上找到距离指挥部6000米的点，这个点就是象群的位置。师：通过比较，你发现了什么？生：只说方向或只说距离都不能确定位置，只有方向和距离合起来，才能确定唯一的位置。师：我们来完成下面的表格。给出的信息能确定的位置数原因只说方向：北偏东30°无数个只能确定一条射线只说距离：6000米无数个只能确定一个圆方向＋距离一个方向和距离结合，位置唯一师：所以，要确定一个物体的位置，需要知道观测点、方向和距离这三个要素。这节课我们要重点理解：方向和距离缺一不可。【设计意图】通过“方向—一条射线”“距离—一个圆”的直观比较，让学生深刻体会方向和距离缺一不可，发展推理意识与几何直观。（四）认识观测点，学习看图师：刚才我们说的“在指挥部的北偏东30°”，“指挥部”在这里起什么作用？生：它是我们观察的出发点，是观测点。师：对！描述位置时，首先要确定观测点。请看方向标，图中的30°是什么意思？生：是