提分点 8　实际背景中的决策问题

提分点8实际背景中的决策问题真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列．(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？请说明理由．2．(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；(2)假设0<p<q.(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：现实生活中的决策问题是近几年高考中比较常见的一类创新性应用问题，主要考查概率的计算，强化对数学建模、逻辑推理等关键能力的考查，难度中等．预测角度1现实生活中的游戏决策问题预测1在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭．主持人知道奖品在哪个箱子里，获奖规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得．现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人将随机打开2号箱之外的一个空箱子．(1)计算主持人打开4号箱的概率．(2)若主持人打开4号箱，现在为抽奖人甲提供两种选择方案：方案一是不做更改，坚持选2号箱；方案二是做更改，改选1号箱或3号箱，以获得奖品的概率最大为决策依据，甲是做更改还是不做更改？如果做了更改，改选几号箱与获奖概率是否有关系？请说明理由．[听课笔记]解决此类问题分三步：(1)确定决策所需要的数据，如概率、期望等；(2)计算各个方案对应的数据，并比较大小；(3)根据比大小的结果说明理由，选择方案．[对点练1](2025·山东烟台模拟)某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定a，b，c三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．甲员工猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲a，b，c歌名的概率分别为p1，p2，p3(其中0<p3<p2<p1<1)，猜对时获得的奖励分别为1千元、2千元、3千元．(1)若甲按照a，b，c的顺序猜，至少猜对两首的概率为P1；按照c，b，a的顺序猜，至少猜对两首的概率为P2，比较P1与P2的大小．(2)已知p1＝45，p2＝34，p3＝12.甲考虑了两种方案，方案一：按照a，b，c的顺序猜；方案二：按照b，a，c预测角度2现实生活中的比赛决策问题预测2某学校在年度体育节活动中设置了一项趣味轮滑比赛，比赛设置了2个动作项目组，其中项目组一中有3个规定动作，项目组二中有2个自选动作．比赛规则：每位运动员从2个项目组的5个动作中选择3个参赛，最后得分越多者，排名越靠前．评分规则：对于项目组一中的每个动作，若没有完成得0分，若完成得10分．对于项目组二中的动作，若没有完成得0分，若只完成1个得20分，若完成2个得50分.已知甲运动员完成项目组一中每个动作的概率均为12，完成项目组二中每个动作的概率均为1(1)若甲运动员选择项目组一中的3个动作参赛，设甲的最后得分为X，求X的分布列与数学期望．(2)以最后得分的数学期望为依据，判断甲运动员应选择怎样的方案参赛，请说明你的理由．[听课笔记][对点练2](2025·河南平顶山模拟)甲、乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1－p，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择：方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败方得0分，则首次比对手高两分的一方获胜．方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜．(1)若p＝0.75，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率．(2)若0<p<0.5，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由．附：当0<q<1时，1＋q＋q2＋…＝11-q请完成：专题强化练25提分点8实际背景中的决策问题真题重做1．答案：(1)由题可知X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列为X020100P0.20.320.48答案：(2)由(1)知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．2．答案：(1)甲参加第一阶段比赛，则该队进入第二阶段的概率为P1＝1－(1－0.4)3＝0.784.第二阶段乙进行投篮，则乙至少投中一次的概率为P2＝1－(1－0.5)3＝0.875，故甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为P＝0.784×0.875＝0.686.答案：(2)(ⅰ)若甲、乙所在队的比赛成绩为15分，则第二阶段的3次投篮全中．当甲参加第一阶段比赛时，甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P3＝[1－(1－p)3]q3.当乙参加第一阶段比赛时，甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P4＝[1－(1－q)3]p3.则P3－P4＝[1－(1－p)3]q3－[1－(1－q)3]p3＝3pq(q－p)[p＋q(1－p)]，因为1≥q>p>0，所以q－p>0，所以P3－P4>0，即P3>P4.故应该由甲参加第一阶段比赛．(ⅱ)若甲参加第一阶段比赛，则设该队比赛成绩为X分，X的所有可能取值为0，5，10，15，进入第二阶段的概率为1－(1－p)3，未进入第二阶段的概率为(1－p)3，则P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3](1－q)3，P(X＝5)＝[1－(1－p)3]c31q(1－P(X＝10)＝[1－(1－p)3]c32q2(1P(X＝15)＝[1－(1－p)3]q3，则E(X)＝5×[1－(1－p)3]c31q(1－q)2＋10×[1－(1－p)3]c32q2(1－q)＋15×[1－(1－p)3]q3＝若乙参加第一阶段比赛，则设该队的比赛成绩为Y分，同理可得E(Y)＝15pq(q2－3q＋3)，则E(X)－E(Y)＝15pq(p2－3p－q2＋3q)＝15pq(p－q)(p＋q－3)，因为1≥q>p>0，所以pq>0，p－q<0，p＋q－3<0，所以E(X)－E(Y)>0，即E(X)>E(Y).故应该由甲参加第一阶段的比赛．命题预测预测1答案：(1)设A1，A2，A3，A4分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，设B1，B2，B3，B4分别表示主持人打开1，2，3，4号箱子，则Ω＝A1∪A2∪A3∪A4，且A1，A2，A3，A4两两互斥．由题意知事件A1，A2，A3，A4发生的概率都是eq\f(1,4)，P(B4|A1)＝eq\f(1,2)，P(B4|A2)＝eq\f(1,3)，P(B4|A3)＝eq\f(1,2)，P(B4|A4)＝0，所以P(B4)＝eq\i\su(i＝1,4,P)(Ai)P(B4|Ai)＝eq\f(1,4)×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2))＝eq\f(1,3).答案：(2)在主持人打开4号箱的条件下，奖品在2号箱的概率为P(A2|B4)＝eq\f(P（A2B4）,P（B4）)＝eq\f(P（A2）P（B4|A2）,P（B4）)＝eq\f(1,4).若甲改成1号箱，获奖概率为P(A1|B4)＝eq\f(P（A1B4）,P（B4）)＝eq\f(P（A1）P（B4|A1）,P（B4）)＝eq\f(3,8)，同理，若甲改成3号箱，获奖概率为P(A3|B4)＝eq\f(P（A3B4）,P（B4）)＝eq\f(P（A3）P（B4|A3）,P（B4）)＝eq\f(3,8).eq\f(1,4)<eq\f(3,8)，可见不更改中奖概率小于更改后中奖概率，所以甲应该做更改．无论改选1号箱还是3号箱，中奖概率是相同的，因而只要改选即可，与改选1号箱还是3号箱无关．[对点练1]答案：(1)因为P1＝p1p2p3＋p1p2(1－p3)＝p1p2，P2＝p3p2p1＋p3p2(1－p1)＝p2p3，且0<p3<p2<p1<1，所以P1>P2.答案：(2)方案一设获得奖励的金额为X，则X的值可以为0，1000，3000，6000，且P(X＝0)＝eq\f(1,5)，P(X＝1000)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,5)，P(X＝3000)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，P(X＝6000)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，所以E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1000×eq\f(1,5)＋3000×eq\f(3,10)＋6000×eq\f(3,10)＝2900.方案二设获得奖励的金额为Y，则Y的值可以为0，2000，3000，6000，且P(Y＝0)＝eq\f(1,4)，P(Y＝2000)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,5)＝eq\f(3,20)，P(Y＝3000)＝eq\f(3,4)×eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，P(Y＝6000)＝eq\f(3,4)×eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10)，所以E(Y)＝0×eq\f(1,4)＋2000×eq\f(3,20)＋3000×eq\f(3,10)＋6000×eq\f(3,10)＝3000.所以E(X)<E(Y)，所以甲应该选择方案二．预测2答案：(1)由题意得X的所有可能取值为0，10，20，30，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))×(1－eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8)，P(X＝10)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))2＝eq\f(3,8)，P(X＝20)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×(1－eq\f(1,2))1＝eq\f(3,8)，P(X＝30)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)，故X的分布列为X0102030Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)所以E(X)＝0×eq\f(1,8)＋10×eq\f(3,8)＋20×eq\f(3,8)＋30×eq\f(1,8)＝15.答案：(2)由题意，甲运动员的参赛方案有3个，讨论如下．方案一从项目组一中选择3个动作参赛．由(1)知甲的最终得分的数学期望为15.方案二从项目组一中选择2个动作、从项目组二中选择1个动作参赛．设甲的最终得分为Y，则Y的所有可能取值为0，10，20，30，40，则P(Y＝0)＝(1－eq\f(1,2))2×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(1,6)，P(Y＝10)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(1,3)，P(Y＝20)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×(1－eq\f(1,3))＋(1－eq\f(1,2))2×eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，P(Y＝30)＝eq\f(1,3)×Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,6)，P(Y＝40)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,12)，所以E(Y)＝0×eq\f(1,6)＋10×eq\f(1,3)＋20×eq\f(1,4)＋30×eq\f(1,6)＋40×eq\f(1,12)＝eq\f(50,3).方案三从项目组一中选择1个动作、从项目组二中选择2个动作参赛．设甲的最终得分为Z，则Z的所有可能取值为0，10，20，30，50，60，则P(Z＝0)＝(1－12)×(1－13)2＝29，P(Z＝10)＝12×(1－13P(Z＝20)＝C21×13×(1－13)×(1－12)＝29，P(Z＝30)＝1P(Z＝50)＝132×(1－1