微专题5　数列的基本运算

微专题5数列的基本运算真题重做探究命题人的思维模拟术1．(2023·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：Snn为等差数列，则(A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．(2025·全国二卷)(多选)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则()A．q＝12B．a5＝C．S5＝8D．an＋Sn＝83．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S5＝S10，a5＝1，则a1＝()A．72B．C．－13D．－4．(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝n2+nan，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.命题预测开启高分大门的神秘金钥匙命题依据：数列的基本运算是高考的高频考点，难度不大，多以选择题、填空题的形式出现．预测角度1等差数列的运算预测1已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若S11＝11，则下列各式的值不能确定的是()A．a6B．a2＋a3＋a13C．S1＋S21D．S[听课笔记]熟悉等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1+an2＝na1＋nn-12d[对点练1](1)(2025·河北保定模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S4＝2(S2＋S3)，a1＝1，则a6＝()A．－14B．－12C．12D．14(2)(2025·江西萍乡模拟)已知等差数列{an}满足a3＋a6＋a9＋…＋a3n＝34n(n＋1)(n∈N*)，则{an}的公差为(A．1B．2C．13D．预测角度2等比数列的运算预测2已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，anan＋2＝an+12，且a6a9＝2a4a10，则S4SA．117B．C．1716D．[听课笔记]由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．[对点练2](1)(2025·河南开封模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3＝1，S6＝－7，则公比q＝()A．－12B．C．－2D．2(2)(2025·河北沧州模拟)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若Sn＝3－λ·22n－2，则a3＝()A．72B．－72C．144D．－144预测角度3一般数列的运算预测3已知数列{an}满足4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n(n∈N*)，则an＝__________．[听课笔记]求通项一定要灵活变通，不能死板，这需要掌握常见的方法：(1)累加、累乘法；(2)构造法；(3)两式相减法；(4)取对数、取倒数等．[对点练3](1)(2025·福建漳州模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，Sn＋1－2Sn＝n，则a10＝()A．1024B．1023C．513D．256(2)(2025·河北张家口模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an>0且an+12-an2＝12n＋请完成：专题强化练7微专题5数列的基本运算真题重做1．解析：若{an}为等差数列，设其公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，所以Sn＝na1＋nn-12d，所以Snn＝a1＋(n－1)·d2，所以Sn+1n+1-Snn＝a1＋(n＋1－1)·d2－[a1＋(n－1)·d2]＝d2，为常数，所以{Snn}为等差数列，即甲⇒乙；若{Snn}为等差数列，设其公差为t，则Snn＝S11＋(n－1)t＝a1＋(n－1)t，所以Sn＝na1＋n(n－1)t，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝na1＋n(n－1)t－[(n－1)a1＋(n－1)(n－2)t]＝a1＋2(n－1)t，当n＝1时，S1＝a1也满足上式，所以an＝a1＋2(n－1)t(n∈N*)，所以an＋1－an＝a1＋2(n＋1－1)t－答案：C2．解析：由a3=a1q2=1，S3=a1+a1q+1=7，解得a1=4，q=12或a1=9，q=-13(舍去)，则a5＝a1q4＝4×(12)4＝14，S5＝a11-q51-q＝4答案：AD3．解析：方法一设等差数列{an}的公差为d，∵S5＝5a1＋10d，S10＝10a1＋45d，S5＝S10，∴5a1＋10d＝10a1＋45d，即a1＝－7d.∵a5＝a1＋4d＝1，∴d＝－13，∴a1＝－7d＝73.方法二∵S5＝S10，∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，∴5a8＝0，∴a8＝0.∵a5＝1，a8＝0，∴公差d＝－13，则a1＝a5－4d＝73.答案：B4．答案：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，所以an＝nd.因为bn＝n2+nan，所以bn＝所以S3＝3a1+a32＝3d+3d2＝6d，T3＝b1＋b2因为S3＋T3＝21，所以6d＋9d＝21，即2d2－7d＋3＝0，解得d＝3或d＝1因为d>1，所以d＝3.所以{an}的通项公式为an＝3n.答案：(2)因为bn＝n2+nan，且{bn}为等差数列，所以2b2＝b1＋b3，即2×所以6a1+d-1a1＝6a1+2d，所以a12－3a1d＋2d2＝0①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝n2+nan＝S99＝99a1+a992＝99T99＝99b1+b99因为S99－T99＝99，所以99×50d－99×51d即50d2－d－51＝0，解得d＝5150或d＝－1(舍去)②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝n2+nan＝S99＝99a1+a992＝992d+100d2＝99×51d，T因为S99－T99＝99，所以99×51d－99×50d即51d2－d－50＝0，解得d＝－5051(舍去)或d＝1(舍去)．综上，d＝51命题预测预测1解析：对于A，S11＝11a1+a112＝11a6＝11，则a6＝1，A不是；对于B，设等差数列{an}的公差为d，a2＋a3＋a13＝a6－4d＋a6－3d＋a6＋7d＝3，B不是；对于D，Snn＝a1＋12(n－1)d，则S22+S2020＝a1＋12d＋a1＋192d＝2(a1＋5d)＝2，D不是；对于C，S1＋S21＝a1＋21a1＋210d＝22(a1＋5d)＋100d＝答案：C[对点练1]解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由S4＝2(S2＋S3)，a1＝1，得4＋6d＝2(2＋d＋3＋3d)，解得d＝－3，所以a6＝1＋(6－1)d＝－14.故选A.解析：(2)设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a6＋a9＋…＋a3n＝34n(n＋1)(n∈N*)，可知当n＝1时，a3＝32，当n＝2时，a3＋a6＝34×2×3＝92，解得a6＝3，所以3d＝a6-a3＝答案：(1)A答案：(2)D预测2解析：因为an≠0，anan＋2＝an+12，所以{an}为等比数列．因为a6a9＝2a4a10，所以a5a10＝2a4a10，因为a10≠0，所以a5＝2a4，即{an}的公比q＝a5a4＝2.所以S4S8＝答案：A[对点练2]解析：(1)由题可知S6－S3＝－8，故q3＝S6-S3S3＝－81＝－解析：(2)依题意，a1＝S1＝3－λ，a2＝S2－S1＝(3－4λ)－(3－λ)＝－3λ，a3＝S3－S2＝(3－16λ)－(3－4λ)＝－12λ，由{an}为等比数列，得a22＝a1a3，即(－3λ)2＝(3－λ)(－12λ)，解得λ＝12或λ＝0，由a2＝－3λ≠0，得λ≠0，则λ＝12，所以a3＝－144.答案：(1)C答案：(2)D预测3解析：由4n－1a1＋4n－2a2＋…＋an＝n(n∈N*)，可得a14+a242＋…＋an4n＝n4n(n∈N*)，所以a14+a242＋…＋an-14n-1＝n-14n-1(n∈N*，n≥2)，两式相减得an4n＝n4n-n-14n-1＝n-4n+44n＝-3n+44n(n∈N*，n≥2)，所以an＝4－3答案：4－3n[对点练3]解析：(1)由Sn＋1－2Sn＝n，得Sn＋1＋n＋2＝2(Sn＋n＋1)，因为a1＝2，所以S1