数学（理科）-江西省宜春市高考理科数学押题试卷

数学(理科)-江西省宜春市高考理科数学押题试卷

单选题(共12题,共12分)

(1.)已知R是实数集，集合A={x《Z||x|V3},B={x|2x2-x-3>

0),(江南博哥)则AH([RB)=()

A.{-1,0}

B.{-1,0,1}

C.{0,1,2}

D.{-1,0,1,2}

正确答案：B

【解答】解：YR是实数集，集合4=(在〃HV3}={.v€弱・3VxV3}={-2,-1,0,

1,2),

4=321-x-3>0}=(xU<-1或

3

-

・・・CK8=M2

AH(CR〃)={-ho,i).

参考解析：故选：从

(2.)已知复数z=(a-2i)(l+3i)(aeR)的实部与虚部的和为12,则

Iz-51=()

A.3

B.4

C.5

D.6

正确答案：C

【解答】解：z=(l+3i)=。+3亩・2i-6尸=a+6+(3«-2)i.

所以复数z的实部与虚部分别为〃+6,M-2,

则“+6+30•2=12,得。=2,

・”-51=134-4/1=V32+42=5,

参考解析：故选‘0

已知向量；=(|,-V7),而=3.彘，=3倔则：与，的夹角为()

nnn2n

A.-B.-C.-D.—

(3.)6433

A.A

B.B

C.C

D.D

正确答案：A

【解答】解：因为；=（1,-夕），i^i=/r+7=2^.

又因为|b|=3，Z・b=3、后，所以cosvZ.b>=3al=Va,b>€(0»nJ.

向闻27234

所以V；,

故选：A.

参考解析:

（4.）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天

心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为a1,a2,

a3，…，a9，设数列｛an｝为等差数列，它的前n项和为Sn,且a

2=18,a4+a6=90,则S8=()

A.189

B.252

C.324

D.405

正确答案：C

【解答】解：因为数列｛0）为等差数列，02=18.0*+痣=〃5=90,

所以<75=45,

所以仁级=竺#=9,切=9,

则S8=8ai+28d=8X9+28X9=324.

参考解析：故选：心

（5,）已知M为抛物线0»=加'5>"）上一点，点M到C的焦点的距离为7,

到x轴的距离为5,则p=

A.3

B.4

C.5

D.6

正确答案：B

【解答】解：设”的纵坐标为W，由抛物线的方程可得准线方程为：>=一号，

由题意可得低及二7,两式相减可得与=2,即〃=4,

Uo=52

参考解析：故密B.

cos"a-cosa

己知lana=2.财

2

3

A.A

B.B

C.C

D.D

正确答案：A

cos^a-cosacos^a-cosa

【解答】解:

「cos2a二1siMa

tanatanasin2a+cos2a

1tan2a142

tanatan2a*l~24+1-5,

参考解析：故选：人,

(7.)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()

口3△

A.18

B.36

C.54

D.108

正确答案：C

参考解析：

【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图为：该几何体为底面腰长为3夜

的等腰汽角三角形，高为6的二:核柱体；

如图所示：

故V=13々x3企x6=54.

故选：C.

（8.）某保险公司销售某种保险产品，根据2021年全年该产品的销售额（单

位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层

饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（）

第四季度

A.2021年第四季度的销售额为380万元

B.2021年上半年的总销售额为500万元

C.2021年2月份的销售额为60万元

D.2021年12个月的月销售额的众数为60万元

正确答案：D

【解答】解：设全年总销售额为X万元，KOxX（5%+5%+6%）=160

故*=1000,

选项4：第四季度销售额为l（XX）X28%=280（万元），故A错误.

选项8：上半年销售额度为160+260=420（万元），故8错误.

选项C：2月份的精售额为l（XX）X5%=50（万元），故C错误.

选项。：由图易知销售额占比为6%的月份最多，故月销售额的众数为1000X6%=60（万

元），故。正确.

参考解析：故选：以

（9.）第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京

市和河北省张家口市举行.现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高

山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆

都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳

台的种数为（）

A.12

B.14

C.16

D.18

正确答案：B

【解答】解：若安排丙J.中的•名志愿者到首钢滑雪大跳台，其余3人到另外两个场馆，

则有仃。3%2=12种，

并安排丙「两名志愿者到首钢滑雪大跳台，甲乙人到另外两个场馆，则有A』=2种.

故有12+2=14种.

参考解析：故选:尻

（10.）在四边形ABCD中（如图1所示），AB=AD,NABD=45°,BC=BD

=CD=2,将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'BCD（如图2所示），

使得NA'BC=90°，则四面体A'BCD外接球的表面积为（）

即图2

A.9n

B.8n

C.7n

D.6n

正确答案：D

【解答】解：9：AB=AD./ABD=45：

参考解析：/8八/)=90L

乂，；BC=BD=CD=2,

则4层+心=4,

：.AB=AD=V2,

可知△ABOZkAOC,则N48C=NAOC=90",

取AC的中点O,连接40,D0,

则30=00=1AC,

所以点O为四面体ABCD外接球的球心，

则外接球的半径为R=/C=\JAB?+8c2=1J(近产+22=当

所以四面体A3CD外接球的表面枳$=4n2=4nX(-)2=6n,

已知双曲线C：鸟一片=l(aX)，b>0)的左、右焦点分别为Q，F”左，右顶点分别

为小，A2,P为双曲线的左支上一点，且直线与用2的斜率之枳等于3,则下列说法

(]])正确的是()

A.双曲线C的离心率为仃

B.若PFiLPF?.且$"「/=3,则。=2

C.以线段P/i4A2为宜径的两个园外切

D.若点户2到C的一条渐近线的距禹为百.则C的实轴长为4

A.A

B.B

C.C

D.D

正确答案:C

2

【解答】解：对「A,设P（x,v）,则、2=扇（fxl）,

因为4（-小0）,A2（小0）,直线外与周的斜率率之枳等『3,

2力2

所以kpAjk/A2=备・£==3=3,得

=2,故A错误:

参考解析:

对于8：因为e=2,所以c=2小

而P为双曲线的左支上点，根据双曲线的定义可得|?乃|・俨川=2a，

又PF4F1，且5“户历=3,则|P&|•仍尸i|=6,

22

由伊川2+|PFI，=（2r）.口［得（\PF2\-|PFi|）^2\PF2\*\PFI\=4^.

即4“*12=1&』，解得a=l，故8错误:

对于C：设呻的中点为Q，O为坐标原点，则OOi为△?「［出的中位线.

所以|OOi|=**2|=：（|PFi|+2a）=||PFiH-a*

则以线段。"i为百径的圆，圆心为5，半径〃=；出八

以线段P行;为直径的圆，圆心为0，半径/•z：。.

所以|0。||=3户为什。=八+门，故两个圆外切，故C正确；

对于。：因为点八到C的一条渐近线的距离为6,所以方二百，

乂由前面的推理可媚=G所以E，故C的实轴长为加=2.”错误.

故选：C.

Q2)已知汇N*,数列1,1,2,1,1,2,4,2,1,1,2,4,8,4,2,1,…，1,2,4,…

2。…，2,1,…的前〃项和为S”，若附>2022,则〃的最小值为()

A.81

B.90

C.100

D.2021

正确答案：B

参考解析：

【解答】解：观察数列，第1项为1,第2〜4项为1,2,\,第5〜9项为I,2.4,2.

1,

则第(卜1)?+[〜好项为],2.4,…,24'1.-4,2,L—

则第(卜I):+]〜炉项，这仅・1项之和为2X(1+2+4+-+2*■2)+2*1

k—1

其中A-I项等比数列求和1+2+4+…+2k~2=I"：2__1=2-1-1,

】一/

则2X(1+2+4+…+2卜2)+卢1=2X(2*1-1)+2*'=3X2*1-2

所以从第I项加到第K项之和5妙=(3x2。-2)+(3x2]-2)+(3x2?-2)+…+

(3x2*-1-2)=3x(2°+21+224-…+2*-1)-2fc=3x卜匕-2k=3x2*-

3-2k,

要使5妙>2022,

则3X2«・3-2A>2022,作N',

9

因为当A=9时，S81=3x2-3-2x9=1515<2020：

10

当k=10时，S100=3x2-3-2xlO=3049>2022,

则所求最小〃必在第81项和第100项之间，

而第82项〜第100项为1,2,4,…，2，…4,2,I,这里前面10项和，即1+2+…

+29=210-1=1023,

而&什1023=1515+1023=2538>2022,这里前9项和，即H2+―+28=29-1=511.

而581+511=1515+511=2024>2022,这里前面8项和，即1+2+-+27=28-1=255,

而SRI+255=1515+255=177(X2022,

若SQ2O22,则最小〃是第81项后而笫9项，即第90项，

故选：B.

填空题(共4题,共4分)

(13.)口已…知f(x)，是奇函数，且当心>0时，/(1=・若八-J)=2,则。=

正确答案：1

【解答】解：根据题意，/<x)是奇函数,且f(・J)=2,

则/•(/)=-/(・/)=-2,

乂由当x>0时，/(x)=■加(ar),则有/(J)=-//»(ae2)=-2,

解可用a=L

故答案为：

参考解析:I.

ry>-1

若x,.、,满足约束条件3%+y-5W0,则z=x+y的最大值为

3x-2y+1>0

(14.)

正确答案:

y2-1

【解答】就：1.v满足约束条件3x+y-5<0,

3x-2y+1>0

参考解析：则筋y满足的可行域如图所示：

联立方程解得A(1.2),

(。人4yTA~~~U

由图可得z=K.v在点4处取得最大值,即z=1+2=3,

故答案为：3.

五十》一5二0笊

函数/3)=一/+我图象在点(|,/⑴)处的切线的斜率为

(15.)

正确答案：-3

【解答】解：由/(%)=-/+%得

:•/(1)=-2X1-1=-3.

即函数f（x）=-x2+；的图象在点（]./“））处的切线的斜率为-3.

・

参考解析:故答案为：3.

.函数/（x）=2§in（o）x+<p）（3>0,OV<pVn）的部分图象如图所示,其中f（0）=/得）,

〃一等=0,若对于任意的必门弋，〉孙€（?/（xi）-A>cos2xj-sin3xi

恒成立，则实数人的取值范围为

正确答案：（-8,-1/2]

参考解析.解：因为/'（0）=/（等），所以〉=/«）的图象关于直线户招对称,

又个2第n=0,由.图叱3T*==Sit+}2■n=；n•・

*rloVL

所以7=筝从而3=3,

由3X(—+(p=0»f*|<p=

所以/(外=2sin(3x+郛,

f(xi)-A>COS2JT2•sin3xi»可化为V3COS3XI>CO§ZT2+A.

力X]W[-5，看)，“2W(着，电时，V3cos3xi€(0>V3|,COS2H+入Wg,A+；),

所以4+；<0»解得A<H|.入w(■8,一会.

故答案为：(-°°»—

问答题(共6题,共6分)

(17.)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AABC的

面积为S,已知acosC+ccosA=V3,a=V2b.

(I)求o：

(2)若S=W(02+cZ—82).求4

正确答案:

【解答】解:(I)因为flcosC+(vosA=V3.

由余弦定理得，"X尤墉三！+»色毒包二代.

因为a-\[2b.

整理得，b—V3.a—\[2b=瓜,

(2)若S=书(a2+c2—bz)=X%CCOS8=0。彳°、8,

]V3

所以—acsEB=-accosB,

26

所以(anB=*

由8为三角形内角得.B=

o

由正弦定理得，"岑=6

bsinB

所以sinA=芋,

因为A为三角形内角且A>8,

所以A—亲或子.

(18.)某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深

入居民小区开展一些社会公益活动.现从参加了环境保护和社会援助这两项社

会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查

(假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项)，整理数据后得到如下统计

表：

女生男生合计

环境保护8040120

社会援助404080

合计12()802()0

(1)能否有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别

有关？

(2)以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生

中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为X,求X的分布列和

期望.

附：依=回燕髭E,其中二"从MZ.

P(启包)0.0250.0100.0050.001

回5.0246.6357.87910.828

正确答案:

【解答】解：(l)由表中的数据可得A'2=2叫熏烧哈黑鬻)2356V6.635,

1ZUXoUXIZUXoU

故没有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关；

802

⑵女生共有⑵人，参加环境保护的人数为8。人，则妣参与率七二

由已知可得X可取0,1,2,3,4,

所以P(X=0)~C—勺，=奈，P(X—1)=C；x[x(l-1)3=—,

P(X=2)=CJx(1)2x(l-1)2=1j,P(X=3)=Cjx(1)3x(l-1)l=1j,

P(X=4)=C：x(W.

所以X的分布列如卜.:

X01234

P18243216

8181818181

因为X股从二项分布，即X〜H(4,1),

8

-

所以X的数学期望为E(X)=4x13

(19.)如图，AB是圆。的直径，PA，圆0所在的平面，C为圆周上一点,

D为线段PC的中点.ZCBA=30°,AB=2PA.

(1)证明：平面ABDJ_平面PBC.

(2)若G为AD的中点，求二面角P-BC-G的余弦值.

8

正确答案:

【解答】(I)证明：因为鬼，圆O所在的平面,所以周

因为C为圆周上一点，A8是圆O的直彳仝，所以8C_LAC,

因为用CAC=A,所以8C_L平面以C,

因为AOu平面附C,所以ACL4。,

因为/C84=30°,所以八8=2AC,又因为人8=2而，所以AC=A/\

因为。为PC中点，所以ADJ_PC,

乂因为PCC\BC=C,所以AO_L平面P8G

因为AOu平面ABI),所以平面A8〃_L平面PBC.

(2)解：不妨设。4=小则以=AC=a,PD=DC=AD=所以。0=?如

山(1)知8C_L平面PAC,所以PC1BC,GCL3C，所以NGCP是二面角P-BC-<

的平面角,

tanZGCF=华=-4-=二面角P-BC-G的余弦值为/〔=―^

DC芋2

已知O为坐标原点，椭园C：^7+77=l(a>b>0)的上顶点为A,右顶点为

(20.)a之旅

y[2任

B，△AOB的面枳为:，原点O到直线八8的距离为手.

(1)求椭圆C的方程：

(2)过C的左焦点〃作弦少£,WV,这两条弦的中点分别为P・Q，^iDE-MN=0.

求△FPQ面枳的最大值.

正确答案：

【解答】解：(1)易知A(0,b),B(A,0).

yJ21F)

因为ZkAOB的面积为y,所以SMOB==今~.

xv.\/6

又直线AB的方程为一+-=1.即加+tfv-必=0，点O到直线AB的距离为二~,

ab3

ab^6

所以7.4广=一•

va^+b23

(ab->/2

联立方程组1y几,

(卬一3

解得。=V2.b=1.

x2

所以椭例C的方程为》+y2=1.

(2)由题意知直线QE,MM的斜率均存在，设DE的斜率为匕D5,yi),E(xi，”)，

由(1)知F(-1,0),

则汽线DE的方程为y=k(.r+i).

联立方程组消去y.得(1+2?)』+4户计2必-2=0,

由韦达定理可得勺+必=-]+25

因为P<.rp>rp)为DE的中点，所以孙=--"F，%>=k(如+1)=―7»即

l+2/c21+2公

P(-%，」-2)，

l+2k2l+2kz

所以|P/q=k一备+i)z+($)z=爆.

7l+2k1+2〃1+2/c

因为直线网的斜率为4用Y代也得Q(-3I川

-帚"QFI2

/C+2

所以SMPQ=4|PF||FQ|=

设t=收+[+2«>2),则SAFPQ=|-=：血«>2),当£L仅当/=殍时取

等号.

^/(t)=2t+l(f>2),由对勾函数的性质知/⑺在区间[2,+~)上单调递增.

所以为r=2时，f(f)最小，即必F0最大，此时a+/+2=2,解得产=1,

所以面积的最大值为3x

(21)已知函数/(X)=/-av-l+siar.

(1)当a=2时，证明：/(x)20：

(2)巧时，讨论函数/(#的零点个数.

正确答案：

【解答】解：(I)证明：当。=2时，f(x)=/-2r-1+siiu,

所以f(x)=ex-2+cos.t.

所以f(JT)="-sinx，

当.v£(-8,o)时，e'Wl,所以：f(x)W-1+cosxW0・

所以/(x)在(・8,0］单调递减，所以/(*)2/(0)=0.

当在(0,+8)时，/所以/'(x)>I-siav^O,

所以/(外在(0,+8)单调递增，所以/(x)>f(0)=0.

所以/(外在(0,+8)上单调递增，/(x)>/(0)=0.

综上所述：/(幻30当口仅当x=0时，等号成立.

(2)由于/(0)=J-0-l+sin0=0,所以0为函数/(.「的一个零点.

/(x)="-a+cosx,f(x)="-siar»

(/)当。=2时，由(I)知函数/J)仅有一个零点，

(//)当。>2时，

①(-8,0)时，f(A)<cft-«+cos0<0.

/(x)在(・8,0)单调递减，/(x)>/(0)=0.

所以当在(・8,0)时，函数/(外无零点.

②当.怅(0,+8)时，f(x)>』・$山20,

所以/(x)在(0,+8)单调递增.

由于/(0)=2-aVO,/(//i(a+2))=eb,u+2>-a+cos［加(«+2)|=2+cos［/n(«+2)|

>0.

所以在(0,+8)上存在唯一的MW(0,In(«+2)),(史得/(xo)=0.

当在(0,即)时，/(x)<0,/(x)在(0,刈)单调递减.

芍/(3)</(0)=0,所以/(1)在(0,如)无零点.

当与W(加，+8)时，f(x)>0,/(.r)在(即，+8)单调递增.

又f(Ina^)=<?-3<iln(i-1+sin(/nt?)><?-3alna-2,

设p<(?)=<?・3a加a•2(a>2),

所以(a)=3(t/2-1-Ina)>

P"(Q)=3(2Q-》X)，

f

所以(a)在(2.