福建省泉州市2026届高三质量监测（一）数学试题（含答案）

福建省泉州市2026届高三质量监测（一）数学试题及参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合，，则（）A.B.C.D.3.已知双曲线的一条渐近线的方程为，则（）A.B.C.D.4.已知函数的图象关于点中心对称，则其图象的一条对称轴方程可以是（）A.B.C.D.5.定义在奇函数满足，且当时，，则（）A.B.C.D.6.一条河来归纳平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行.已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响.当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（）A.B.C.D.7.若实数满足，则的大小关系不可能是（）A.B.C.D.8.已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于60°，则的取值范围为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在直三棱柱中，，，为的中点，则（）A.B.平面C.D.平面平面10.在平面直角坐标系中，设为抛物线的焦点，是上一点，点，若的延长线与交于点.记，，，则（）A.B.C.D.11.在中，若，则（）..的最大值为60°..三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一个等差数列的前3项和为9，前7项和为35，则该数列的第6项为.13.若函数在处取得极小值，则.14.已知：（ⅰ）在一系列独立重复的伯努利试验中，用表示事件第一次发生时已经进行的试验次数，记每次试验中事件发生的概率为，则的分布列为，.如果随机变量具有上式的形式，则称随机变量服从几何分布，且；（ⅱ）若随机变量，满足.连续不断地抛掷一枚骰子，记录下它每次落地时朝上的面的点数，知道2,4,6点均出现为止，则抛掷总次数的数学期望为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算两种教学系统在提升步骤.15.（13分）为比较两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招募了200名教师，并随机分配其中100名使用系统A，其余100名使用系统B.经过一个月的使用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表：使用的教学系统备课效率显著提升没有显著提升合计系统A7525100系统B5545100合计13070200（1）记事件“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的概率为，求的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面是否存在差异.附：.0.050.0050.0013.8417.87910.82816.（15分）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中.记为正项数列的前项和，已知.（1）写出，并求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.17.（15分）矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点.（1）求的方程及离心率；（2）若三点在以为直径的圆上，且直线均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形.18.（17分）已知正方体的棱长为2.（1）证明：平面；（2）动点满足，且点在同一球面上.设该球面的球心为，半径为.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）当最大时，求二面角的余弦值.19.（17分）已知函数，.（1）当时，求的值域；（2）若存在唯一的极值且为极小值，求的取值范围；（3）设，若存在使得对恒成立，求的最大值.参考答案一、选择题1.D2.C3.A4.C5.B6.B7.D8.C二、多项选择题9.BCD10.AC11.BCD三、填空题12.13.14.四、解答题15.解：（1），故由频率估计概率，的估计值为.（2）零假设为：这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面内有差异.根据表中数据可得，.根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面存在差异，此推断犯错误的概率不超过.16.解：（1）由已知.曲线在点处的切线方程为，即.令，得.∵，∴，.∵，∴,得.∴.∴数列为等比数列，首项为1，公比为.∴.（2）由（1）可得，则，，两式相减得：，∴，∵，∴.17.解：（1）由已知可得，，∴，，.∴，的方程为.（2）由已知，圆的方程为：.当点是矩形的顶点时，均与坐标轴垂直，则此时.当点不是矩形的顶点时，设点的坐标为，直线的方程为，即.联立，整理得：，由，化简得.设直线的方程为，同理可得：，则是关于的一元二次方程的两根，故，又，∴，∴.综上，，是直角三角形.18.解：（1）在正方体中，连接，则，∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴，同理可得，又∵，平面，∴平面，（2）（ⅰ）取中点，取中点，依题意得：球心在直线上.∵，∴，即，延长至，使得，连接.∵，，∴四边形是平行四边形，∴，.同理得：，，∴，，故，∴点在线段上.设，则，则.易得，则有，∴，故有.∴，整理得：，由，得.∴，∴的取值范围是.（ⅱ）当最大时，，，此时点与点重合.∵，，，平面，∴平面.∵平面，∴，，∴即为二面角的平面角.在中，，，，∴，∴，∴二面角的余弦值为0.19.解：（1）当时，由，得，又，，，∴，∴在上单调递增.又，，∴在上的值域为.（2）由（1）可知；依题意得：；（ⅰ）若，①当时，，，此时，∴在无极值.②当时，令，得.由，，，则，从而在上单调递增，又，，由零点存在性定理可知，存在，使得.从而当，，当，.在单调递减，在单调递增；∴是在上唯一的极值且为极小值，故符合题意.（ⅱ）若，，，令，，则.令，则，∴在递增，∴，即,∴在递增.∵，时，