2026年离散数学本科考试题库(含答案)

2026年离散数学本科考试题库(含答案)【单项选择题】1.设p：天下雨，q：我去爬山。命题“如果天下雨，我就不去爬山”的符号化表示为A.pB.≠C.pD.≠2.公式≠gA.1B.2C.3D.43.在一阶逻辑中，公式∀xA.永真式B.矛盾式C.可满足式但非永真式D.无法确定4.设集合A=1,2,3，A.自反性与对称性B.自反性与传递性C.对称性与传递性D.自反性、对称性与传递性5.设A=a,b,c，A上的等价关系A.(B.(C.(D.(6.设f:ℝ→ℝ，A.单射但不满射B.满射但不单射C.双射D.既不单射也不满射7.设代数系统(S,)中$为A.半群B.独异点C.群D.交换群8.在群(G,·)中，若=A.eB.aC.D.9.设G是6阶循环群，则G的生成元的个数是A.1B.2C.3D.610.设H是群G的子群，若对于任意a∈G，有aH=HA.正规子群B.交换子群C.循环子群D.极大子群11.下列格中，不是分配格的是A.链B.钻石格C.五边形格D.布尔格12.设无向图G有6个顶点，每个顶点的度数均为3，则G的边数为A.6B.8C.9D.1813.无向连通图G是欧拉图的充要条件是A.所有顶点的度数均为偶数B.所有顶点的度数均为奇数C.恰有两个奇数度顶点D.没有奇数度顶点14.一棵有n个顶点的树，其边数为A.nB.nC.nD.215.设连通平面图G有v个顶点，e条边，f个面，则根据欧拉公式有A.vB.vC.vD.v16.在二部图中，若m≠qA.mB.mC.mD.m17.设A=1,A.3B.6C.8D.918.容斥原理中，对于任意两个有限集合A和B，有|A.|B.|C.|D.|19.线性常系数齐次递推关系−5A.−B.+C.−D.+20.设A=1,2,3,A.1B.2C.3D.4【多项选择题】1.下列公式中，哪些是重言式？A.pB.pC.≠D.p2.设R是集合A上的等价关系，则R必须满足以下哪些性质？A.自反性B.反自反性C.对称性D.传递性3.设G是群，下列关于群的性质的表述中，正确的有A.单位元唯一B.每个元素的逆元唯一C.满足消去律D.满足交换律4.关于无向树，下列说法正确的有A.无回路B.连通C.边数等于顶点数减一D.删除任何一条边后均变为不连通图5.下列关系中，哪些是偏序关系？A.实数集上的小于等于关系B.正整数集上的整除关系C.集合的包含关系D.人群中的朋友关系6.在一阶逻辑中，下列等值式正确的有A.≠B.≠C.∀D.∃7.对于环R，下列说法正确的有A.(RB.(RC.乘法对加法满足分配律D.乘法一定满足交换律8.设图G为连通平面图，且顶点数v≥A.G中至少有一个顶点的度数小于等于5B.eC.若G中不含3阶完全图子图，则eD.G的所有面的度数之和为29.在排列组合中，下列属于多重集组合问题特征的有A.元素可以重复选取B.不考虑选取元素的顺序C.考虑选取元素的顺序D.元素不可重复选取10.设f:A→B，A.若f和g均为单射，则g○B.若f和g均为满射，则g○C.若g○f为单射，则D.若g○f为满射，则【填空题】1.命题公式p→2.设A=1,2,3.设R为整数集上的小于关系，则∈f4.设f(x)=25.Klein四元群的非平凡子群的阶数均为_______________。6.在置换群中，元素(123)7.在布尔代数中，补元是唯一的，且满足a∨8.设G是具有6个顶点的无向简单图，若各顶点度数均为4，则G的边数为_______________。9.设有向图D的邻接矩阵为A，则中第i行第j列的元素表示从顶点到长度为_______________的通路数。10.彼得森图的点色数为_______________。11.将n个不同的球放入n个不同的盒子中，无空盒的放法有_______________种。12.线性常系数齐次递推关系=413.在生成函数中，是数列=_______________的生成函数。14.若集合A和B的基数相等，则存在一个从A到B的_______________函数。15.设G是群，a∈G，若|a【计算题】1.通过等值演算求命题公式p∨2.设集合A=a,(1)写出R的关系矩阵。(2)判断R是否为等价关系。若是，求其商集A/(3)若R不是等价关系，求其自反闭包r(R)、对称闭包s3.设群G=（模12整数加法群），子群H(1)求H在G中的所有左陪集。(2)验证拉格朗日定理成立。(3)求商群G/H的阶，并确定4.给定带权无向连通图G，其顶点集合为V=(,试用Kruskal（避圈法）算法求该图的最小生成树，并计算最小生成树的权值。5.求解递推关系−7+10【证明与分析题】1.在自然演绎系统P中，构造下列推理的形式证明：前提：p结论：s2.设R是集合A上的对称和传递关系。证明：如果对于任意a∈A，存在b∈A使得3.设G是群，H和K是G的子群。证明：H∩K也是4.证明：若无向图G中恰有两个奇数度顶点，则这两个顶点之间存在一条路径。【综合应用题】1.某逻辑电路接受三个输入信号A,B,C，输出信号F。当且仅当有两个或三个输入信号为1时，输出2.某高校有7名学生申请5个不同的实习岗位。每名学生所能胜任的岗位集合如下：学生1能胜任{1,2}；学生2能胜任{2,3}；学生3能胜任{1,3}；学生4能胜任{4,5}；学生5能胜任{4}；学生6能胜任{5}；学生7能胜任{1,2,3}。问：是否存在一种分配方案，使得每个学生都能分配到他能胜任的岗位，且每个岗位至多分配一名学生？请用二部图匹配理论（如Hall定理）进行分析并说明理由。3.在通信系统中，需要设计一个(6,3)线性分组码，要求码字之间的最小汉明距离为3。已知该码的生成矩阵G可以表示为系统形式G=[(1)写出该编码对应的校验矩阵H。(2)计算该码的校验位的数量。(3)分析该码的检错和纠错能力（能检测几位错误，能纠正几位错误）。【参考答案及详细解析】【单项选择题答案】1.【答案】C【解析】“如果p，那么q”符号化为p→q。“如果天下雨，我就不去爬山”中p为天下雨，q为我去爬山，“不去爬山”即≠g2.【答案】C【解析】公式≠g(p→q)∨(q→p)中，p→3.【答案】A【解析】对于任意非空个体域，如果∀xP(x)为真，则必然存在x4.【答案】D【解析】R包含所有(i,i)，故自反；有5.【答案】B【解析】等价关系必须自反，包含所有(x,x)。划分a,b,c表示a与b等价，6.【答案】C【解析】f(x)7.【答案】B【解析】半群要求结合律；独异点要求结合律且有单位元；群要求结合律、有单位元且所有元素有逆元。题干仅给出结合律和单位元，故为独异点。8.【答案】B【解析】在群中，a·=e。若=e，则9.【答案】B【解析】n阶循环群中生成元的个数等于欧拉函数ϕ(n)10.【答案】A【解析】满足对于任意a∈G，11.【答案】B【解析】链是分配格，布尔代数是分配格。五边形格（）和钻石格（）不是分配格，因此选B（注意选项若包含或则均不是，但题干要求选不是的，一般考察钻石格不满足分配律，因其存在子格同构于）。12.【答案】C【解析】根据握手定理，所有顶点度数之和等于边数的两倍。6×3=13.【答案】A【解析】无向连通图是欧拉图的充要条件是图中没有奇数度顶点（所有度数均为偶数）。14.【答案】A【解析】树的边数等于顶点数减一，即e=15.【答案】B【解析】欧拉公式指出，对于连通平面图，顶点数v、边数e和面数f满足v−16.【答案】A【解析】在二部图中，最大匹配的边数等于较小部分的顶点数，即min17.【答案】D【解析】A×A的基数为18.【答案】B【解析】根据容斥原理，两个集合的并集元素个数为|A19.【答案】A【解析】特征方程将替换为，替换为，替换为，再除以得到−5x+6=0。20.【答案】D【解析】整除关系中，极大元是指没有其他元素能被它整除且比它大的元素。集合1,【多项选择题答案】1.【答案】A,B,C【解析】p→p恒真；排中律p∨≠g2.【答案】A,C,D【解析】等价关系的定义是同时满足自反性、对称性和传递性。3.【答案】A,B,C【解析】群中的单位元唯一，每个元素的逆元唯一，且群满足消去律。群不一定满足交换律，只有交换群才满足。4.【答案】A,B,C,D【解析】树的定义是连通且无回路的图。树的边数等于顶点数减一；树是极小连通图，删去任何一条边都会导致不连通；树中不存在回路。5.【答案】A,B,C【解析】偏序关系满足自反、反对称和传递。小于等于、整除和包含关系均满足；朋友关系是对称而非反对称的，不是偏序关系。6.【答案】A,B,C,D【解析】A和B是量词的德摩根定律；C和D是量词对∧和∨的分配律，均正确。7.【答案】A,B,C【解析】环的定义要求(R,+8.【答案】A,B,D【解析】平面图中至少有一个顶点度数≤5是图论经典定理；连通简单平面图有e≤3v−9.【答案】A,B【解析】多重集组合问题允许元素重复选取，且不考虑顺序。10.【答案】A,B,C,D【解析】若f和g均单射，则g○f单射；若均满射，则g○f满射。若g○f单射，则【填空题答案】1.【答案】p【解析】命题公式的对偶是将∨换为∧，∧换为∨，将→换为∨后原式为≠gp∨q，对偶为≠gp∧q（或根据定义蕴含的对偶为≠gp∧q），一般直接写为p∧q是针对≠gp∨q的对偶，但准确说p→2.【答案】8【解析】含有n个元素的集合的幂集基数为==3.【答案】2【解析】在小于关系下，下确界即为两者中的较小值。4.【答案】(【解析】g○5.【答案】2【解析】Klein四元群=e,a,b6.【答案】3【解析】轮换(1237.【答案】1【解析】在布尔代数中，补元满足a∨8.【答案】12【解析】握手定理：∑deg(v)=9.【答案】2【解析】邻接矩阵A的幂中第i行第j列的元素表示从顶点到长度为k的通路数。因此表示长度为2的通路数。10.【答案】3【解析】彼得森图包含奇环，且不为二部图。其点色数为3。11.【答案】n【解析】每个球放入不同盒子且无空盒，相当于做全排列，有n!12.【答案】2【解析】特征方程为−4x+13.【答案】1【解析】是数列=1的生成函数（无穷等比数列求和）。14.【答案】双射【解析】两集合基数相等意味着存在一一对应，即双射。15.【答案】3【解析】若|a|=6，则||=。【计算题答案】1.【解答】原式为p∨根据蕴含等值式，q→原式化简为p∨这是一个析取式，只要p、≠gq、成假的条件是p=0，≠gq=因此成假赋值只有一个：p=0,由于含有3个命题变元，共有=8种赋值，成真赋值共有8−1主合取范式是由成假赋值对应的大项构成的合取式。成假赋值010对应的大项为p∨≠g主析取范式是由成真赋值对应的小项构成的析取式。将7个成真赋值对应的小项写出：000:≠001:≠011:≠100:p101:p110:p111:p主析取范式为上述小项的析取，即：(≠利用主合取范式求主析取范式也可：主析取范式包含除了010之外的所有小项的析取。2.【解答】(1)顶点顺序为a,R中a与自身及b关联，故第一行为1,1,0,0；R中b与自身及a关联，故第二行为1,1,0,0；R中c与自身及d关联，故第三行为0,0,1,1；R中d与自身及c关联，故第四行为0,0,1,1。关系矩阵=[1(2)判断等价关系：从矩阵对角线可以看出包含所有(x矩阵是对称矩阵，故对称。对于传递性，可以验证R○R⊂eqR。例如因此，R是等价关系。求商集A/R：根据等价关系，a与b等价，c与d等价，因此划分块为a,商集A/(3)因为R已经是等价关系，所以其自反闭包r(R)=R3.【解答】(1)群G=，H求H的所有左陪集：取0∈G，取1∈G，取2∈G，取3∈G，由于4∈H，因此，H在G中的所有左陪集共有4个，分别为：H,(2)验证拉格朗日定理：拉格朗日定理指出子群的阶整除群的阶。|G|=12，|H|=(3)商群G/H的阶为4，即|G由于G是交换群，G/(1+H)的阶：1+或者我们按加法计算：2(2+H)=4+H=H所以各元素的阶分别为：H的阶为1，1+H的阶为4，2+4.【解答】使用Kruskal算法求最小生成树，步骤如下：所有边按权值从小到大排序：(((((((((依次选取不构成回路的边：1.选(,2.选(,3.选(,4.选(,5.选(,此时已选取5条边，顶点数n=6，最小生成树的边数应为最小生成树的边集合为：(,最小生成树的权值为1+5.【解答】该递推关系为线性常系数齐次递推：−7其特征方程为−7解特征方程：(x−2由于有两个不相等的实特征根，通解形式为：=+代入初始条件：n=0时：n=1时：解方程组：由第一式得=2243=−则=2因此该递推关系的解为：=·【证明与分析题答案】1.【证明】(1)≠g(2)s→(3)p→(4)s→(5)q（前提引入）(6)s→r（根据输出律/或假言三段论，由(4)和(5)得：因为q真，所以q→r等价于详细推导：(4)s→因此由q和q→(s在自然演绎系统中形式化步骤如下：1.≠g2.q（前提）3.p→4.s（附加前提，使用演绎定理）5.p（由1、4析取三段论）6.q→7.r（由2、6假言推理）由演绎定理，在前提中加入s推出r，即证明了s→2.【证明】任取a∈A，根据题意，存在b∈因为R是对称关系，所以由(a,b又因为R是传递关系，且(a,b)∈由于a是A中的任意元素，因此R满足自反性。综上所述，R是自反的。3.【证明】要证明H∩K是(1)非空性：因为H和K都是G的子群，所以单位元e∈H且e∈K，因此(2)封闭性：任取a,b∈H∩因为H是子群，所以ab∈H；因为K因此ab(3)逆元：任取a∈H∩因为H是子群，所以∈H；因为K是子群，所以∈因此∈H综上所述，H∩K是4.【证明】设无向图G中奇数度顶点为u和v。若u和v不连通，则u和v之间不存在任何路径。考虑包含u的连通分支，记为。由于u在中，而v不在中。在中，除u之外的所有顶点的度数与在原图G中相同。因为G中只有u和v两个奇数度顶点，所以在中，只有u是奇数度顶点，其余顶点均为偶数度顶点。根据握手定理的推论，任何图（或连通分支）中奇数度顶点的个数必为偶数。这与中仅有一个奇数度顶点u矛盾。因此，假设不成立，u和v必然连通，即它们之间存在一条路径。【综合应用题答案】1.【解答】根据题意，输入A,B,列出真值表：AAAAAAAA主析取范式为：F利用布尔代数化简：F可以合并相邻项：F==A采用卡诺图化简：三个包含1的最小项分别与A∧F这就是最简的“积之和”表达式。