江苏南通市如东县2025-2026学年度高一年级第二学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏南通市如东县2025-2026学年度高一年级第二学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知扇形的半径为10cm，圆心角为，则该扇形的弧长是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，扇形的半径为10cm，所以该扇形的弧长是.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.3.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为角的终边经过点，所以，所以，所以.4.函数，的值域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由正弦函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，又时，；时，；时，，所以函数，的值域是.故选：B.5.在一座高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则该水塔的高度是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如图所示，DM=AB=10m，，，易知，所以是等腰直角三角形，所以，，故，因此塔高为CD=CM+DM=106.已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由a-3b⊥a得：a由b-3a⊥b得：b故a2=b2=3则与的夹角余弦值为：cosa→,7.在中，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，由余弦定理AC2=A得，即，而，解得，所以.8.在中，已知，．为的中点，且，则的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，，则BM2=1则，又，所以sin∠ABC=23所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在边长为的等边中，，，，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】如图以点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系.则，，，由AF→=1由，得AD→=由，得AE→=选项A：EF→右边=12AB选项B：DE→右边=-23AB选项C：DF→，C错误，选项D：，D正确.10.已知是复数，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】设，，对于A，z1-z2而z1-z2=对于B，z1zz1z2=a-b对于C，z=ac-bd2而z1z2=a对于D，因z1则；z1·z2=11.在中，已知内角的对边分别为，其面积为，外接圆的半径为，且．下列说法正确的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.若，则【答案】BCD【解析】根据正弦定理，可得，则2sinA+B=csinC对于A，若，则，所以，A错误；对于B，由点向作垂线，垂足为，因为为外接圆圆心，所以为中点，从而在上的投影向量为，则，B正确；对于C，若，则，根据余弦定理，，即，又根据基本不等式，得4≥2ab-3则，当且仅当时，等号成立，则Smax当且仅当时，等号成立，C正确；对于D，，则ab=4sin又，即4=b当且仅当时，等号成立，因为，所以，所以sinC≥21-cosC则sin2C≥41-即，解得，，所以，而，所以，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数满足，则的取值范围是______________．【答案】【解析】设，由z-1-2i=2，可得x-12所以，所以复数在复平面内对应的点为以为圆心，2为半径的圆上的点，又OM=所以的取值范围是.13.为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都为．经工作人员测量得，则两条钢丝绳拉力的合力大小为______________N．【答案】【解析】设两条钢丝绳的拉力分别为，合力为，且，，所以，所以两条钢丝绳拉力的合力大小为N．14.在中，已知内角的对边分别为，且，则_______________．若为边上的点，且，，则的最小值是_______________．【答案】；9【解析】由，可得，所以，所以，所以，所以，又，所以.因为，又，所以.又，所以，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知点A（1，0），B（0，1），C（2，5），求：（1）的模；（2）．解：（1）由题意，，故，故.（2），16.如图，在中，，，，，（1）求的长；（2）求的面积.解：（1）过点作，垂足为，∵，，，，在中，，在中，，由余弦定理可得，，∴；（2），.17.如图，有两条相交成角的直路，，交点是.甲、乙分别在，上，起初甲离点3km，乙离点1km，后来甲沿着方向，乙沿着方向，同时以4km/h的速度步行.（1）起初两人间的距离是多少？（2）经过多长时间，两人间的距离是4km？（3）什么时候两人间的距离最短，并求出最短距离.解：（1）设两人间的距离为，起初位置时，甲、乙的位置分别为，，起初位置时，，.在中，由余弦定理得，得，所以.（2）设经过小时后，甲、乙的位置分别为，.当时，，当时，，所以.若，则，所以或（舍去）.所以经过小时，两人间的距离是4km.（3）由（2）得，所以当时，，所以经过小时后，距离最短，最短距离是2km.18.在四边形中，，，.（1）若四边形是圆的内接四边形，求①；②；（2）求四边形的面积的最大值.解：（1）连接，在圆中，，所以.在中，由余弦定理，得.在中，由余弦定理，得.所以，所以.方法一：以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，D(-2,23)，，则，，解得(舍)或x=87因为BC=(-67,所以．方法二：在中，由余弦定理，得.在中，由余弦定理，得.所以，所以.所以.延长交于点，则.所以.所以．（2）四边形的面积为：．所以S4由（1）得，所以.所以.因为，当且仅当时等号成立，所以，所以.所以四边形的面积的最大值是.19.在平面直角坐标系中，对于非零向量和角，定义变换如下：，且．（1）若，求的值；（2）求证：与的面积相等；（3）设，，是否存在，使得，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围．解：（1）因为，所以，，所以，所以．（