上海市黄浦区2026届高三下学期二模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市黄浦区2026届高三下学期二模考试数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1～6题每题满分4分，第7～12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1.若，，则______．【答案】【解析】由题意可知：集合，且集合，所以.2.若直线与垂直，则a的值为______．【答案】3【解析】若直线与垂直，则，解得.3.底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______．【答案】【解析】设侧面展开图中扇形的中心角为，由题意可得：，解得，所以侧面展开图中扇形的中心角为.4.在公比q为正数的等比数列中，，，则q的值为______．【答案】【解析】因为，，则，且，所以.5.在的展开式中，含项的系数为_________．【答案】【解析】的展开式的通项公式：，令，解得，所以含项的系数为.故答案为：.6.如图是某班级30名学生某次数学测验的得分茎叶图（茎为十位，叶为个位），则这些测验分数的第80百分位数是______．【答案】76【解析】因为，可知第80百分位数是第24位数与25位数的平均数由茎叶图可知数据的第24位数与25位数分别为75，77，所以第80百分位数是.7.已知，且，则的值为______．【答案】【解析】因为，即，且，可知角为第四象限角，所以.8.在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】设复数u在复平面内对应的点为A，由题意可知：，，，，则，即，解得，可得，且，可得，所以向量与的夹角为.9.某射击社团共有10名成员，其中社长与副社长各一人，现随机抽取4人组成代表队参加校际联谊活动，则社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为______．【答案】【解析】设“社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动”为事件A，则事件为社长与副社长两人均不参加联谊活动，则，可得，所以社长与副社长两人至少有一人参加联谊活动的概率为.10.已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______．【答案】【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，设，，联立方程，消去可得，则，解得，可得，又因为，则，即，可得，可得，所以双曲线的离心率为.11.在空间直角坐标系中，将点集所表示的立方体的表面满足的部分记为S，同时满足“”与“或”的点P的集合所表示几何体的体积为______．【答案】【解析】点集表示的是以原点为中心的边长为2的正方体，为满足的部分即除去了后剩余的部分，也就是除了上底面以外的五个面，条件“”表示点在以原点为球心的半径为的球体内，因为，所以这个球刚好也是正方体的外接球，即为线段，条件“或”表示线段与要么没有交点，要么交点就是，考虑从点出发的线段，射向上底面的线可以到达球面，这一部分构成个球体，射向包含的五个面可以到达正方体的表面，这一部分构成五个四棱锥，每个四棱锥都是正方体的，所以所求几何体的体积为.12.如图所示，某圆形游乐园的半径为140米，其圆心在点A处，游乐园内有一圆形广场，其半径为20米，圆心在与点A相距60米的点B处，游客中心位于圆形广场的边界线与A，B连线的交点O处．现打算在游乐园的边界线与圆形广场的边界线上各选一点C，D，在这两处各建一座游乐设施（其占地大小忽略不计），将的内部区域作为游客的休闲区并使其面积最大，则此最大面积为______．【答案】平方米【解析】由题意知，，，，，所以.过点作，垂足为，则.记点到直线的距离为，则点到直线的距离的最大值为.如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则.易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则，，所以.的最大面积为.由圆的对称性，不妨令.设，则，令，则恒成立，所以在上单调递减.令，得，即，化简得.因为，所以，所以.所以当时，，；当时，，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以在处取得极大值，即最大值，最大值为.所以的最大面积为平方米.二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．13.若a，b是空间中的两条直线，则“”是“存在平面，使，”的（）．A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】若，可知直线a，b是共面直线，则存在平面，使，，即充分性成立；若存在平面，使，，则直线a，b可能相交，即必要性不成立；综上所述：“”是“存在平面，使，”的充分非必要条件.14.变量，之间的一组相关数据如表所示：若，之间的线性回归方程为，则的值为（）45678.27.86.65.4A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，所以样本点中心：，线性回归方程过样本点中心，则解得：，故选：C.15.设函数的定义域为R，则下列结论：①若是奇函数或偶函数，且在区间上严格增，则对任意的，或；②若对任意的，，则是奇函数或偶函数．其中正确的说法是（）．A.①和②均正确 B.①正确，②错误C.①错误，②正确 D.①和②均错误【答案】B【解析】对于①：若是奇函数且在区间上严格增，则在区间上严格增，可知在定义域R上严格增，因为，则，可得；若是偶函数且在区间上严格增，且，则，且，，可得，所以；综上所述：①正确；对于②：例如，可知对任意的，，但，，所以既不是奇函数也不是偶函数，故②错误.16.若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（）．A.任意一个T数列均不是等差数列 B.任意一个T数列均不是等比数列C.T集中含有且仅含有有限个等差数列 D.T集中含有无穷多个等比数列【答案】D【解析】对于选项AC：例如等差数列的公差为，则，，注意到能表示大于的所有正整数，且为整数，必能用两个大于的整数之差表示，所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误；对于选项BD：设等比数列的公比为，则，对于确定的，令，，令，因为，则，可知函数在内单调递增，且，，可知函数在内有且仅有一个零点.即存在使得，即，此时，对于不同的，的零点可以看出方程的解，即与在交点的横坐标，当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个，所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确；故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足．（1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率；（2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率；（3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差．解：（1）设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B．由题意可知：，，，，由全概率公式可得，所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7．（2）由题意可知：，所以小明出发时不下雨的概率为．（3）由题意可知：，则，；；；可知X的分布列为，所以X的数学期望，方差．18.如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且．（1）求证：平面平面；（2）若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的倍，求与平面所成的角的大小．（1）证明：因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：法一：由平面，平面，可知，又因为是正三角形，所以．设，由，，可得，故，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，设与平面所成的角为，则，所以与平面所成的角的大小为．法二：连接，过作平面，垂足为，连接，则就是直线与平面所成的角，取的中点，连接，取的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，因为、分别为、的中点，所以，则，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，因为平面，所以平面，且，因为，故，因为平面，平面，所以，又因为，，所以，所以，解得，又，故，则，所以与平面所成的角的大小为．法三：设是的中点，连接、、，因为，，故四边形为平行四边形，所以，，因为、分别为、的中点，所以，，故四边形为平行四边形，所以，，又因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，点与到平面的距离相等．由四边形是正方形，、、分别为、、的中点，故，所以，故，即，又平面平面，平面，平面平面，故平面，易知，故到平面的距离也为，又，设与平面所成的角为，则，故，所以与平面所成的角的大小为．19.已知．（1）求函数的最小正周期与单调增区间；（2）将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围．解：（1）因为，所以函数的最小正周期为，由，可得，所以函数的单调增区间为．（2）由（1）知，将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象，所以，由的图象关于点对称，可得，所以，解得，又，可知，故，当时，，由②知，解得，故的取值范围是．20.已知点、分别是曲线的左、右焦点，动直线过点且不过点，它与交于点、．（1）求点、的坐标；（2）若，求直线的方程；（3）设直线过点且与垂直，直线与的交点为，求证：存在唯一的常数，使得点与的中心的连线平分线段，并求此时的最大值．解：（1）椭圆的半焦距，故、.（2）由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设、，将代入，得，则，故，，又，，，解得，所以直线的方程为或．（3）设线段的中点为，由（2）知，，直线的斜率，易知直线的方程为，将代入直线的方程，可得，直线的斜率，因为直线平分线段，则，所以对任意的实数恒成立，则，解得，故存在唯一的常数，使得平分线段．此时，，所以，令，则，故（当且仅当时，），所以的最大值为．21.对于公共定义域为D的函数与，定义集合.（1）若，，求；（2）若，，且，求的最小值；（3）已知是定义在上的增函数，其图像是连续曲线，且存在正数，使得．若，，且，求证：．（1）解：由题意，.因为，所以.当时，等号成立．故=.（2）解：令.由题设可知，的值域为非负实数集，从而其最小值为.设时取到最小值，则，且，因为所以.又由，得即.从而.由可得故令，则当且仅当时，等号成立.此时，由得，于是，又，故．所以的最小值为.（3）证明：法一：由可知，对任意，都有.而所以.(1)已知存在正数，使得.对任意整数，令.由式（1）可得即.所以为常量，即对任意，都有.于是.(2)下面证明.先证对任意都成立．任取，必存在，使.因为在上为增函数，所以.故对任意，都有．(3)再由式（2）知且.由于的图像是连续曲线，且在上单调递增，因此的值域为．又因为所以当取遍时，也取遍．故.法二：由可知，对任意，都有.而所以．(1